第18講用二分法求方程的近似解

1.了解二分法的原理及其適用條件；

2.掌握二分法的實施步驟；

3.體會二分法中蘊含的逐步逼近思想和程序化思想。

［函基礎(chǔ)知識］|

一、二分法

1、二分法的定義：對于區(qū)間［。㈤上圖象連續(xù)不斷且/（。）?/伍）<0的函數(shù)/（x）,通過不斷把它的零點

所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到近似值的方法。

2、注意點：

（1）二分法的求解原理是函數(shù)零點存在定理；

（2）函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷；

（3）用二分法只能求變號零點，即零點在左右兩側(cè)的函數(shù)值的符號相反，

比如該函數(shù)有零點0,但不能用二分法求解。

二、用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟

1、給定精確度￡，用二分法求函數(shù)y=/（x）零點的近似值的步驟

（1）確定零點%的初始區(qū)間［。,斗驗證〃

（2）求區(qū)間（a⑼的中點c；

（3）計算/（c）,進一步確定零點所在的區(qū)間：

①若/（c）=0（此時x0=c）,則。就是函數(shù)的零點：

②若（此時與￡（氏。），則令b=c；

③若/??/,（/））<0（此時/w（c,b）），則令a=c.

（4）判斷是否達到精確度￡：若|。一回<￡,則得到零點近似值。（或b）；

否則重復（2）~<4）

【注意】初始區(qū)間的確定要包含函數(shù)的變號零點；

2、關(guān)干精確度

(1)“精確度”與“精確到”不是一回事,

這里的“精確度''是指區(qū)間的長度達到某個確定的數(shù)值￡，即|。-耳<￡;

“精確到”是指某謳歌數(shù)的數(shù)位達到某個規(guī)定的數(shù)位，

2

如計算1-一，精確到0.01,即0.33

3

(2)精確度￡表示當區(qū)間的長度小于￡時停止二分；

此時除可用區(qū)間的端點代替近似值外,還可選用該區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)值作零點近似值c

Q考點剖析

考點一：判斷二分法的適用條件

【答案】A

【解析】根據(jù)零點存在定理」對于A,在零點的左右附近，函數(shù)值不改變符號,

所以不能用二分法求函數(shù)零點.故選：A.

【變式訓練】(多選)下列函數(shù)零點能用二分法求解的是()

A.,/(x)=x3-1B./(x)=lru+3

C./(x)=x2+2V2x+2D.f(x)=-x2+4x-l

【答案】ABD

【解析】對于A選項，/(x)=x3_i在R上單調(diào)遞增，且與x軸有唯一交點，

交點兩側(cè)的函數(shù)值異號，則可用一分法求解；

對于B選項，/(x)=ku+3在(0,+co)單調(diào)遞增，且與K軸有唯一交點，

交點兩側(cè)的函數(shù)值異號，則可用二分法求解；

對于C選項，/(力=/+2及工+2=。+6)220恒成立，所以不能用二分法求解:

對于D選項，/(A)=-.V+4X-1=-(X-2)2+3,在(7,2)單調(diào)遞增，(2,+功單調(diào)遞減,

所以“x)a=/(2)=3>0,

則零點處的兩側(cè)函數(shù)值異號，可用二分法求解，故選：ABD.

考點二：二分法的步驟

2.用二分法求方程log4x-：=()近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是()

2x

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析?】令/(x)=log4x—；,

因為函數(shù)y=log』=在(。，+8)上都是增函數(shù)，

2x

所以函數(shù)/(x)=log4X-J在(0,+3)上是增函數(shù)，

/(1)=-；<。,/(2)=1嗚2一；=3一；二10,

所以函數(shù)/(封=1叫》-止在區(qū)間(1,2)上有唯一零點，

所以用二分法求方程10&X-1=0近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是(1,2).故選：B.

3x

【變式訓練】用“二分法”研究函數(shù)〃x)=d+3X-1的零點時,第一次計算〃0)<0J法5)>0,可知必存在

零點(0,0.5),則第二次應計算,這時可以判斷零點/e.

【答案】/(O.25)(0.25,0.5)

【解析】因為第一次計算/(次〈0,〃0.5)>0,可知必存在零點飛￡(0,0.5),

又/(0.25)=0.253+3x0.25-1=-0.234375<0,/(0.5)>0,

由零點存在性定理可知》€(wěn)(0.25,0.5).

故答案為：/(0.25)；(0.25,0.5)

考點三，二分法次數(shù)的確定

/J區(qū)

、1例3.已知函數(shù)/(x)在(10J2)內(nèi)有一個零點，要使零點的近似值的精確度為0.001,若只從二等分

間的角度來考慮，則對區(qū)間(10,12)至少需要二等分()

A.8次B.9次C.10次D.11次

【答案】D

【解析】設(shè)對區(qū)間(10,12)至少二等分〃次，此時區(qū)間長度為2,

【變式訓練】用二分法求函數(shù)/(x)=/+x-3的零點.(精確到0.1)

【答案】1.2.

【解析】易知函數(shù)/(x)=/+x-3在R上遞增，

又/⑴=-1,/(2)=7,且/⑴?/(2)<0,

所以/(x)在(1,2)上存在唯一的零點，

又/(1)=〃15)=1.875,且/⑴?/(1.5)<0,

所以/(x)在(1,1.5)上存在唯一的零點，

又/(手］=/(125卜0.203，/(^^)=/(1.125)?-0.451,

由精確度為0.1得：需計算〃115卜-0.329,

又/。.15)/(1.25)<0,

所以/(x)的零點精確到0.1約是1.2,

考點五:用二分法求方程的近似解

在

|例5.已知函數(shù)/(x)=g+2)+2x-用的一個零點附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表:

X00.50.531250.56250.6250.751

-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099

由二分法，方程n(x+2)+2x—〃?=0的近似解(精確度為0.05)可能是()

A.0.625B.-0.009C.0.5625D.C.066

【答案】C

［解析】由題意得/?=ln(x+2)+2x-m在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增,

設(shè)方程ln(x+2)+2x-m=0的解的近似值為.％,

由表格得“0.53125)-/(0.5625)<0,

所以%€(0.53125,0,5625),

因為10.53125-0.56251=0.03125<0.05,

所以方程的近似解可取為0.5625.故選：C.

【變式訓練】利用二分法，求方程--6x+7=0的近似解.(精確度為0.1)

【答案】x=1.625,x=4.4375.

y

【解析】設(shè)/(x)=f—6x+7,

作出函數(shù)/(x)的草圖如圖所示：

通過觀察函數(shù)的草圖得，

2

/(1)=1-6+7=2>0,/(2)=22-6X2+7=-I<0,6

所以方程V-6X+7=0有一根在(1,2)內(nèi),設(shè)為為，1/

2iW

因為/(1.5)=1.5-6x1.5+7=0.25>0,所以1.5<網(wǎng)<2.

乂因為/=/(1.75)=1.752-6x1.75+7=-0.4375<0,

目〒以1.5〈再<1.75.

由“1.625)<0,則/€(1.5,1.625),由/(1.5625)>0,

則%€(1.5625,1.625),

由于11.5625-1.6251=0.0625<0.1,

所以方程Y-6x+7=0的一個近似解為x=L625,

用同樣的方法，可求得方程的另一個近似解為x=4.43?5.

i[⑨真題演練]

------------------IIIIIIIIIIIIIUIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII--------------------

1.下列函數(shù)中不能用二分法求零點近似值的是()

A.7(x)=3x-lB../U)=NC.,Ax)=|x|D.X-r)=lnx

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,/(x)=3x—l在R上是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點，

且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，可用二分法求零點；

對于B,/(x)=N在R上是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點，

旦函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，可用二分法求零點；

對于C,./(x)=|x|,雖然也有唯一-的零點，但函數(shù)值在零點兩側(cè)都是正號，

故不能用二分法求零點；

對于D,/(x)=lnx在(0,+8)上是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點，

且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，可用二分法求零點：故選：C.

2.如圖是函數(shù)次幻的圖象，它與工軸有4個不同的公共點.給出的下列四個區(qū)間之中，存在不能用二分法求

出的零點，該零點所在的區(qū)間是1)

X7\J/,

O1.92.34'K/6.1

A.[—2.1,—1]B.[4.1,5]C.[1.9,2.3]D.[5,6.1]

【答案】C

【解析】結(jié)合圖象可得：ABD選項每個區(qū)間的兩個端點函數(shù)值異號，可以用二分法求出零點,

C選項區(qū)間兩個端點函數(shù)值同號，不能用二分法求零點故選：C

3.用二分法求函數(shù)/(x)=/+5的零點可以取的初始區(qū)間是()

A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[L2]

【答案】A

【解析】因為/(-2)=-3<0,/11)=4>0,且〃x)單調(diào)遞增,

即當工>-1時，/(x)>0,所以零點在卜2,-1]內(nèi)，故選：A

4.用二分法判斷方程21+3工-3=0在區(qū)間(0』)內(nèi)的根(精確度0.25)可以是(參考數(shù)據(jù)：0.753=0.421875,

0.6253=0.24414)()

A.0.825B.0.635C.0.375D.0.25

【答案】B

【解析】設(shè)f(x)=2/+3x-3,

,-./(0)=-3<0,/(1)=2+3-3=2>0,

?//(0.5)=2x0.5、3x0.5—3<0,

???/(x)在(0,0.5)內(nèi)有零點，

■//(0.75)=2x0.753+3x0.75-3>0

.?./(X)在(0.5,0.75)內(nèi)有零點，

.??方程2-3+3%一3=0根可以是0.635.故選:B.

5.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可以判定方程2=0的一個根所在的區(qū)間為()

X-10123

cv0.3712.277.3920.09

x+212345

A.(-1,0)B.(0J)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【解析】令/(x)=e、-x-2,則/(—l)=o.37—iv。，/(0)=1-2<0,/(1)=2.27-3<0,

/(2)=7.39-4>0./(3)=20.09-5>0,得/⑴?/(2)<0,

由零點存在定理可知：函數(shù)/(X)的存在零點位廠區(qū)間(1,2)內(nèi),

即方程/一%一2二0的一個根所在區(qū)間為(12).故選：C

6.用二分法求函數(shù)/(耳=/+--2》-2的一個零點的近似值(誤差不超過0.1)時，依次計算得到如下數(shù)

據(jù)：/(1.5)=0.625,7(1.25)=-0.984,7(1.375)=-0.260,關(guān)于下一步的說法正確的是()

A.已經(jīng)達到對誤差的要求，可以取1.4作為近似值

B.已經(jīng)達到對誤差的要求，可以取1.375作為近似值

C.沒有達到對誤差的要求，應該接著計算/(L4375)

D,沒有達到對誤差的要求，應該接著計算/(L3125)

【答案】C

【解析】?.?/(1.5)-/(1.375)<0,\/㈤在(1.375,1.5)內(nèi)有零點；

?/1.5-1.375=0.125>0.1,

沒有達到對誤差的要求，應該繼續(xù)計算/(L5+；375)=/,04375).故選:C.

7.已知定義在［。㈤上的增函數(shù)/(x),在用二分法尋找零點的過程中，依次確定了零點所在區(qū)間為［。㈤，

"‘+，"+黃，又/(2"；_5卜0,則函數(shù)“X)的零點為()

7474

A.B.--C,--D---

【答案】C

【解析】由/(x)在可上單調(diào)遞增得：/(?)<0,/(/>)>(),又。十恒成立，

a+brr

a+------i2

?1a=——

----------=a+—,,3

?Y22,解得《

a+bb

24

_4

???/(x)的零點為一§十二7,故選：C.

39

8.(多選)關(guān)于函數(shù)/("=lgd2的零點，下列說法正確的是：()

(參考數(shù)據(jù):lgl.5?0.176,lgl.625?0.211,1g1.75^0.243,lgl.8125?0.258,lgl.875?0.273,

lg1.9375*0.287)

A.函數(shù)/(x)的零點個數(shù)為1

B.函數(shù)/(M的零點個數(shù)為2

C.用二分法求函數(shù)/(x)的一個零點的近似解可取為1.8(精確到0.1)

D.用二分法求函數(shù)/(x)的一個零點的近似解可取為1.9(精確到0.1)

【答案】AC

【解析1易知函數(shù)/(x)=lgx+x-2在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

因為/(1.5)=lgl.5+1.5-2之0.176+1.5-2=-0.324<0,/(2)=lg2+2-2=lg2>0,

所以函數(shù)所x)在(1.5,2)上有1個零點，

取區(qū)間中點x=1.75,WJ/(I.75)=lg1.75+1.75-2?0.243+1.75-2=-0,007<0,

所以函數(shù)/(x)在(1.75,2)上有零點，

取區(qū)間中點x=l.875,RI/(1.875)=1g1.875+1.875-2?0.273+1.875-2=0.148>0,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(L75,L875)上有零點，

取區(qū)間中點x=1.8125,M/(1.8125)=lgl.8125+1.8l25-2?0.258+1.8125-2=0.0705>0,

所以函數(shù)人外在區(qū)間(1.乃,1.8125)上有零點，

又1.75,1.8125精確到0.1的近似值都是1.8,

所以函數(shù)"X)的一個零點的近似解為1.8,故選：AC.

9.函數(shù)y=lgr+2x-5的零點x°e(l,3),對區(qū)間(1,3)利用兩次“二分法”，可確定與所在的區(qū)間為.

(5、

【答案】2,-/(2,2.5)

\2)

【解析】v/(l)=-3,/(3)=lg3+l>0,而/(2)=lg2—1<0,

???函數(shù)的零點在區(qū)間(2,3).

又/侍=*>0,/(2)=lg2-l<0,

???函數(shù)的零點在

故答案為：(24).

10.已知函數(shù)〃x)=x3-/+5在2,-1］上有零點，用二分法求零點的近似值(精確度小于0.1)時，至

少需要進行次函數(shù)值的計算.

【答案】3

【解析】至少需要進行3次函數(shù)值的計算，理由如下：

取區(qū)間［-2,-1］的中點玉=-餐7-1=一：3，且(27—9：+5=-5?<0,

22\2Jo4o

/(-2)=-8-4+5=-7<0,/(-1)=-1-1+5=3>0

-3"

所以/€--.

3—22—1

取區(qū)間-于-i的中點x=2i_=_5,

」2~2-4

且小澤沁)1./5＞。，所以詞-|,4

I4八4JI4JL24

「35]

取區(qū)間一7，-了的中點丫_~4~2”,

24%=-7-=~—

28

[],3、31113u

因為一7一-7<02,所以區(qū)間一彳，一胃的中點丫23

82）28J寸―

即為零點的近似值，即％a-/,

16

所以至少需進行3次函數(shù)值的計算.

故答案為：3

[圉過關(guān)檢測J

--------------iiiiimiiiiiiiiiiiuiiiiiuiiiiiiiiiiiii---------------

1.用二分法求函數(shù)零點的近似值適合于（）

A,變號零點B.不變號零點C.都適合D.都不適合

【答案】A

【解析】由零點存在定理可知，二分法求函數(shù)零點的近似值適合于在零點兩邊的函數(shù)值異號,

即適用于變號零點.故選：A.

2.下列選項中不能用二分法求圖中函數(shù)零點近似值的是（）

【答案】B

【解析】由圖象可知B中零點是不變號零點，其他圖象中零點都是變號零點,

故B不能用二分法求零點近似值.故選：B

3.用二分法求函數(shù)/（x）在（。,力）內(nèi)的唯一零點時，精度為0.001,則經(jīng)過一次二分就結(jié)束計算的條件是（)

A.|0.2B.\a-b\<0.002C.\a-b\>0.002D.|a-/?|=0.002

【答案】B

【解析】根據(jù)二分法的步驟知，經(jīng)過一次計算，區(qū)間長度變?yōu)?a,

2

當上女1<o.ooi時，結(jié)束計算，故|4—印<0.002,故選：B.

2

4.已知函數(shù)/(x)=F+2x-9在(1,2)內(nèi)有一個零點，且求得的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下表所示:

X121.51.751.76561.75781.7617

/(X)-63-2.625-0.140630.035181-0.05304-0.0088

要使/W零點的近似值精確度為0.01，則對區(qū)間(】,2)的最少等分次數(shù)和近似解分別為()

A,6次1.75B,6次1.76C.7次1.75D.7次1.76

【答案】D

【解析】由表格數(shù)據(jù)，零點區(qū)間變化如下：

(1,2)->(1.5,2)->(1.75,2)^(1.75,1.875)->(1.75,1.8125)^(1.75,1.78125)->

(1.75,1.7656)->(1.7578,1.7656),

此時區(qū)間長度小于0.01,在此區(qū)間內(nèi)取近似值，等分了7次，近似解取L76.故選：D.

5.已知函數(shù)/(.E)=/_log/—6,用二分法求/(》)的零點時，則其中一個零點的初始區(qū)間可以為()

A.(1,2)B.(2,2.5)C.(2.5,3)D.(3,3.5)

【答案】C

【解析】因為函數(shù)/(x)=.d-k)g/-6在(0,+。)上顯然是連續(xù)函數(shù)，

y=x?和y=嚏21+6在(0,+8)上都是增函數(shù)，

22

當x￡(1,2)時，,r<2=4<6=log2l+6<log2x+6,

所以/(x)=￡-log2、-6<0在xe(1,2)上恒成立；

22

當x€(2,2.5)時，x<2.5=6.25<7=log22+6<log2A+6,

2

所以/(x)=x-log2x-6<0在xe(2,2.5)卜也恒成立:

22

當xe(3,3.5)時，x>3=9>log,3.5+6>log2x+6,

所以/(切=/一log2X-6>0在xw(3,3.5)上恒成立，

2

又"2.5)=2.5-log22.5-6<0,/(3)=9-log23-6>0,

根據(jù)函數(shù)零點存在性定理，可得/(x)的其中一個零點的初始區(qū)間可為(253).故選：C.

6.用二分法求函數(shù)/(力=11+2.6在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點近似值，至少經(jīng)過次二分后精確度達到

0.1.()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】???開區(qū)間（2,3）的長度等于1,

每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?

經(jīng)過〃次操作后，區(qū)間長度變?yōu)?/p>

故有T7WO.l,解得：4,

???至少需要操作4次.故選：C.

7.在用二分法求方程〃x）=0在［0,1］上的近似解時,經(jīng)計算，/［0.5）＜0,/（0.75）＞0,/（0.625）＜0,即可

得出方程的一個近似解為（精確度為。2）.

【答案】0.6875

【解析】因為10.75-0.51=0.25>0.2,|0.75-0.625|=0.125<0.2,

所以0.7510.625=0627s可作為方程的近似解.

故答案為:0.6875.

8.在用二分法求函數(shù)的零點近似值時，若第一次所取區(qū)間為卜2,6］,則第三次所取區(qū)間可能是

.（寫出一個符合條件的區(qū)間即可）

【答案】［-2,0］或［0,2］或［2,4］或［4,6］（寫一個即可）.

【解析】第一次所取區(qū)間為［-2,6］,則第二次所取區(qū)間可能是［-2,2］,［2,6］；

第三次所取區(qū)間可能是卜2,0］,［0,2］,［2,4］,［4,6］.

故答案為：卜2,0］或［0,2］或［2,4］或［4,6］（寫一個即可）.

9.用二分法求函數(shù)y=/（x）在區(qū)間3力（?！簇埃﹥?nèi)的零點