云南省昆明市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)

學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.在等差數(shù)列｛%｝中，己知牝=11嗎=5,則生。=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.設(shè)片,鳥分別為橢圓。：y+己=1的左，

右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，M是GP的中點(diǎn)，

2516

|。例卜3,則0點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為（）

A.4B.3C.2D.1

3.一批產(chǎn)品共有7件，其中5件止品，24二次品，現(xiàn)從7件產(chǎn)品中一次性抽取3件，設(shè)抽

取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X,則P（X=1）=（）

4.如圖，為某組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，由最小二乘法計(jì)算得到回歸直線4的方程為夕=器（+4,相

關(guān)系數(shù)為不決定系數(shù)為用.若經(jīng)過殘差分析后去掉點(diǎn)P,剩余的點(diǎn)重新計(jì)算得到回歸直線

，2的方程為/=區(qū)工+4，相關(guān)系數(shù)為，3,決定系數(shù)為則下列結(jié)論一定正確的是（）

112

5.若尸（4）=晨P（川8）=葭P[B\A）=-,則P（4+8）=（）

2八11廠13n3

AyB?不C.百D-5

6.某次文藝匯演，要將4SC2旦產(chǎn)這六個(gè)不同節(jié)目編排成節(jié)目單.如果44兩個(gè)節(jié)目要

相鄰，且都不排在第3個(gè)節(jié)目的位置，那么節(jié)目單上不同的排序方式有（）

試卷第1頁，共6頁

A.192種B.144種C.96種D.72種

7.盲盒中有大小相同的3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，隨機(jī)有放回的摸兩次球，記X為摸到黑球的

個(gè)數(shù)，隨機(jī)無放回的摸兩次球，記丫為摸到黑球的個(gè)數(shù)，則（）

A.￡（%）＜￡（/）,D（X）＞D（r）B.E（X）=E（Y）,D（X）＞D（Y）

C.E（X）＜E（Y）,D[X）＜D（Y）D.E（X）=E（Y）tD（X）＜D（Y）

8.已知函數(shù)/（#二工+。二若存在實(shí)數(shù)%使得/（工）=如成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（-8,1—e]B.（1,+8）

C.（l-e,l]D.（-8,1Y]U（1，+8）

二、多選題

9.下列關(guān)于同歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法正確的有（）

A.回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條宜線

B.相關(guān)變量MJ，的線性回歸方程為亍=8..小，若樣本點(diǎn)中心為（嘰14）,則加=2

C.由簡單隨機(jī)抽樣得到的成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)?定能確切地反映變量之間的

相關(guān)關(guān)系

D.在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，隨機(jī)變量的觀測值越小，“認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān),，這種判斷犯錯(cuò)誤

的概率越大

10.對任意實(shí)數(shù)X,有（2工+1）9=%+%（X+1）+%（X+1）2+…+（X+1）’?則下列結(jié)論正確的

是（）

A.?(1=1B.(/=0,1,...?9)的最大值為生

D.同+卜|+"|+…+%|=39

11.如圖，在一條無限長的軌道上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從位置（）出發(fā)，每次等

可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，設(shè)移動(dòng)〃次后質(zhì)點(diǎn)位于位置X”.則下列命題正確的是（）

-4-3-2-101234

A.?(y=0)=0B

3-“一］

試卷第2頁，共6頁

C.E(X,)=OD.移動(dòng)〃次后質(zhì)點(diǎn)最有可能回到原點(diǎn)

三、填空題

12.已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P（X=l）=0.6,設(shè)"5X-3,那么￡?）=.

13.設(shè)明＞2,拋物線Of=2色上的點(diǎn)尸到C的焦點(diǎn)的距離為5,點(diǎn)尸到歹軸的距離為3,

則〃?的值為____________

14.在〃維空間中僅以單位長度為邊長的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為〃維坐

標(biāo)…M），其中qW〃,i€N）.定義：在〃維空間中的兩點(diǎn)卜4，。2,…，明）與

伍也L也）的曼哈頓距離為+期-刃+…+,二九|,則6維空間“立方體”的頂點(diǎn)數(shù)

為：若在6維空間“立方體”中任取兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間

的曼哈頓距離，則E（X）=.

四、解答題

15.截至2025年2月13日晚，電影《哪吒之魔童鬧?！罚ā赌倪?》）總票房（含預(yù)售）已

突破100億元，觀影人次破2億，成為中國影史首部票房破100億且觀影人次破2億的電影,

登頂仝球影史單一市場票房榜，暫列仝球票房榜第17名.按照貓眼專業(yè)版AI預(yù)測，其最終

票房將達(dá)到153.38億，若達(dá)成則有望超越電影《星球大戰(zhàn)：原力覺醒》的150.19億票房，

排名全球前五.銀河影院為了解觀眾是否喜歡電影與性別有關(guān)，調(diào)查了400名學(xué)生（男女各

一半）的選擇，發(fā)現(xiàn)喜歡該電影的人數(shù)是300,喜歡該電影的女生比男生少60人.

（1）完成下面的2x2列聯(lián)表；

喜歡電影不喜歡電影總計(jì)

女生

男生

總計(jì)

（2）根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)呵I答：有99.9%的把握認(rèn)為是否喜歡電影與性別有關(guān)嗎？

試卷第3頁，共6頁

取出“死卵”個(gè)數(shù)為1的概率.

附：對于一組數(shù)據(jù)(外,匕)，(町#2)，…，(“”，匕)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程￡=&+血的斜率和

區(qū)(％-萬)(斗-江)

截距的最小二乘估計(jì)分別為3=旦:-----------，a=v-pa

r-1

17.某商場在五一假期間開展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng)，并對每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，已知甲、

乙、內(nèi)三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動(dòng).每個(gè)人闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿分為450

分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì).

(1)假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問

甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì)，請說明理由；

(2)丙得知他的分?jǐn)?shù)為43()分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上

共有57人”，請結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?

附:若隨機(jī)變量Z?則P(〃-<7)=06827；

-2。WXW〃+2。h0.9545；P(jLi-3(y<X<jLi+3a)^0.9973.

18.為降低廢氣排放量，某工廠生產(chǎn)一種減排器，每件減排器的質(zhì)量是一等品的概率為:，

二等品的概率為(2，若達(dá)不到一、二等品，則為不合格品.

(1)若工廠已生產(chǎn)3件減排器，設(shè)”為其中二等品的件數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；

(2)已知一件減排器的利潤如下表：

等級一等品二等品不合格品

利潤(萬元/件)10.5-0.3

①求2件減排器的利潤不少于1萬元的概率;

②若工廠要增加產(chǎn)量，需引入設(shè)備和更新技術(shù)，但增加。件，成本相應(yīng)增加5-In”)萬元，

假設(shè)你是工廠的決策者，你覺得目前應(yīng)不應(yīng)該增加產(chǎn)量？如果要增加產(chǎn)量，增加多少件最好,

如果不要增加產(chǎn)量，請說明理由.(參考數(shù)據(jù)：ln2=0.69,).

19.已知函數(shù)"X)=G+&2-2磯a>0)的圖像在點(diǎn)。，/⑴)處的切線與直線x+2"l=0垂

X

直.

(I)求。，〃滿足的關(guān)系式；

試卷第5頁，共6頁

⑵設(shè)g(x)=f(x)-2Inx,討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;

2n/i\**lI

(3)證明：X

Mk4〃'/

試卷第6頁，共6頁

《云南省昆明市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案CABCDBBDBDBCD

題號11

答案ABC

1.C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式列方程，解出％進(jìn)而可得力。.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛”“｝的公差為"，

ll=q+4J,

由題意得，

5=q+74

6=19,

解得1%=一2〃+21.

d=-2."

=-2x10+21=1.

故選：C.

2.A

【分析】連接桃，根據(jù)三角形中位線結(jié)合橢圓的定義求解即可.

【詳解】如圖，連接尸￡，

因?yàn)镸是月產(chǎn)的中點(diǎn)，。是￡入的中點(diǎn),

所以QW為AF島的中位線，即歸用=2|網(wǎng)=6,

又由橢圓的定義可得歸用+|%|=2a=10,所以附|=4.

故選：A.

3.B

答案第1頁，共12頁

【分析】利用組合數(shù)分別求出恰好取出一件不合格產(chǎn)品的基本事件數(shù)和從7件產(chǎn)品中取出3

件產(chǎn)品的基本事件數(shù)，再利用古典概型概率計(jì)算公式即可求解.

【詳解】恰好取出一件不合格產(chǎn)品的基本事件數(shù)為：C；C；=20,

從7件產(chǎn)品中取出3件產(chǎn)品的基本事件數(shù)為：C；=35,

p（X=\）=-=-

357

故選：B

4.C

【分析】由散點(diǎn)可判斷出壬相減，去掉離群點(diǎn)后，線性關(guān)系更強(qiáng)，由離群點(diǎn)的位置判斷去掉

離群點(diǎn)后回歸方程的斜率變化.

【詳解】共8個(gè)點(diǎn)且離群點(diǎn)夕的橫坐標(biāo)較小而縱坐標(biāo)相對過大，去掉離群點(diǎn)后回歸方程的

斜率更大，故C正確

去掉離群點(diǎn)后相關(guān)性更強(qiáng)，擬合效果也更好，且還是正用關(guān)，故D錯(cuò)誤

有4<G，R；<R；,故AB錯(cuò)誤.

故選：C.

5.D

【分析】利用條件概率公式和并事件概率性質(zhì)求解即可.

17177

【詳解】由尸（力）=王可知，P（AB）=P（A）P（B\A）=-x-=—f

UJJJJL，

又尸（/川,8）、=葭1所以尸3（、）=才P（A旃B\=育23=片2

1223

所以P（4+A）=PQ）+P（B）-尸（43）=§4^—

故選：D

6.B

【分析】將48捆綁，且可從3個(gè)位置選擇，再將剩余4人進(jìn)行全排列，得到答案.

【詳解】將48捆綁，且可放入1,2；4,5和5,6三個(gè)位置，故有A；C；種情況，

將其它4個(gè)節(jié)目和4個(gè)位置進(jìn)行全排列，有A：種情況，

故節(jié)目單上不同的排序方式有A；C；A：=144種.

故選：B

答案第2頁，共12頁

7.B

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布求E(X),Q(X),根據(jù)超幾何分布求r(y),o(y),即可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知:則E(X)=2X9/H?=2XK)T，

且y的可能取值為o,1,2,

1

則小。卜普亮，叱>若喻…2喑

元

可得E(y)=ox3+ix9+2xL=±

,J1010105

所以E(X)=E(y),D(X)>D(Y).

故選：B.

8.D

【分析】先求導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)值范圍計(jì)算即可求參.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x+e-、，若存在實(shí)數(shù)x,使得f(x)=ar成立，

當(dāng)x>0時(shí)，存在+c~x=ax?所以。=1+」7>1；

xe

當(dāng)x=O時(shí)，Oic°=axO不成立；

當(dāng)x<0時(shí)，存在x+e7=or，所以a=l+'7成立，

xc

1,-(x+l)ev

令”一，八/,

xe卜e)

當(dāng)xw(-8,-1),_/>0,歹=1+」7單調(diào)遞增：

xe

當(dāng)<0j=1+'7單調(diào)遞減：

xe

所以x=-l時(shí)，^max=l-e,x->-oo,j->-oofxfO,yf-<o,所以〃<l-e；

綜上得：a<\-Q^a>\.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解題的方法是分類討論%>0/=0,》<0三種情況結(jié)合函數(shù)值域及導(dǎo)函數(shù)

求參單調(diào)性計(jì)算求解即可.

答案第3頁，共12頁

9.BD

【分析】分別根據(jù)回歸直線、線性回歸方程、樣本相關(guān)系數(shù)以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的相關(guān)概念和性

質(zhì)，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷.

【詳解】回歸直線是通過最小二乘法擬合數(shù)據(jù)得到的直線，它的目的是使樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)到該直

線的距離的平方和最小，而不是經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線.所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對于線性回歸方程/=8x-〃?，因?yàn)闃颖军c(diǎn)中心(〃?,14)一定在回歸直線上，所以將、=機(jī)，

夕=14代入回歸方程可得：

14=8/?i-/H,即7m=14,解得m=2.所以B選項(xiàng)正確.

由簡單隨機(jī)抽樣得到的成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)只是對變量之間相關(guān)關(guān)系的一個(gè)估計(jì)，

它受到樣本隨機(jī)性的影響，不一定能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系.所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，隨機(jī)變量爐的觀測值越小，說明兩個(gè)變量之間越可能沒有關(guān)系，那么“認(rèn)

為兩個(gè)變最有關(guān)“這種判斷犯錯(cuò)誤的概率就越大.所以D詵項(xiàng)正確.

故選：BD

10.BCD

【分析】利用賦值法可判斷A；由G=C：(-1『2i(x+l)9「可判斷%,%，4，%%為負(fù),

《4為正，計(jì)算可判斷B：令x=0,x=-2計(jì)算可判斷C；結(jié)合B計(jì)算可判斷D.

【詳解】對于A,令x=-l,得％=[2x(-1)+1『=-1,故A錯(cuò)誤；

對于B,由(2x+l)9=[2(x+l)-0

則+展開式的通項(xiàng)公式為a=C；[2(x+l)『(-1『=<(-以2"6-H)』，

巧?以為負(fù)，,。3，05，%，09%/it，

當(dāng)*=0,2,4,6,8時(shí),計(jì)算可得%=C；2\(—1)=18,=C$23x(-l)6=672,

5472

a5=C^2x(-l)=4032,a7=C；2x(-l)=4608,2=C；2。x(-1)。=512,

所以q(/=0,1,...?9)的最大值為的,故B正確：

對于C,令x=0,可得生+q+%+…+。9=(2x0+=1,

99

令x=-2,可得----a9=(-4+1)=-3,

答案第4頁，共12頁

]_3。/3-39

所以為+%+%+%+/=-^-，又/=-1，可得%+%+。6+。8=,故C正確;

2

對于D,由B可知同+|。|+同+…+同=一(%-/+“2----%)=-(一3，=3。，故D正確.

故選：BCD.

11.ABC

【分析】由二項(xiàng)分布的相關(guān)知識(shí)逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對于B,設(shè)質(zhì)點(diǎn)〃次移動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)為y,顯然每移動(dòng)一次的概率為則

y~例〃!，

Xn=Y-(n-Y)=2Y-nf所以P(X,=-2)=P(Y=1)=熱/與=!，故B正確.

224

對于C,由(1)知，f(y)=w.l=p又一工=2丫一〃，

所以E(x.)=2E(y)?=0,故C正確.

對于AD,由B可知，P(K=A:)=C；(-)*(-)Z，_A=ke^,k<n,

I222

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，｛c：｝中間為一項(xiàng)c：取得最大值，即y=］時(shí)概率最大，此時(shí)x“二o,

所以質(zhì)點(diǎn)最有可能位于位置0;

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，｛c：｝中間的兩項(xiàng)c芋,c芋取得最大值，即丫=一或丫=一時(shí)概率最大，

此時(shí)匕=-1或X“=l,

所以尸(*3=())=()，且質(zhì)點(diǎn)最有可能位于位置7或i.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)犍是對于AD選項(xiàng)的判斷，要得出尸(y〃)=c：(3d)z=與,

222

keN,k。,并對〃分類討論，由此即可順利得解.

12.0

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布確定X的期望，再由隨機(jī)變量的線性關(guān)系的期望性質(zhì)，即可求解.

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，P(X=l)=0.6,

所以尸(X=0)=l-尸(X=l)=0.4,

所以E(X)=0x0.4+1x0.6=0.6,

因?yàn)椋?5X-3,所以E4)=5E(X)-3=O

答案第5頁，共12頁

故答案為：0.

13.9

【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)，再利用拋物線的定義列式求解?.

【詳解】拋物線。：犬=2段的準(zhǔn)線為y=-￡,

9

由點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離為3,得點(diǎn)2的縱坐標(biāo)力=丁，

2m

m

由點(diǎn)P到C的焦點(diǎn)的距離為5,得=9-+:=5,解得川=1或加=9,而機(jī)>2,

2m2

所以陽=9.

故答案為：9

192

14.64—

63

【分析】由題根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理，即可確定頂點(diǎn)個(gè)數(shù)；由離散型隨機(jī)變量的分布列步驟,

數(shù)學(xué)期望公式即可求解.

【詳解】(1)對于6維坐標(biāo)(％,。2嗎，...，6)，e{0,l}(l</<6,z€N),

所以共有2,種不同的點(diǎn)，印共有26=64個(gè)頂點(diǎn).

(2)①對于X=Z(14左W6,kwZ)的隨機(jī)變量,在坐標(biāo)(a”生，%，...，4)與(4也也,....也)

中有2個(gè)坐標(biāo)值不同，剩下(6-&)個(gè)坐標(biāo)相同，此時(shí)對應(yīng)情況數(shù)有C125種,

所以?('=左)=罟=告,

則X的分布列為:

X12???6

；

PC或???或

26-126-126-1

所以2c6c=k.n\(//-I);c..

所以E(X)-為+燈+.??+日，乩〃k\(n-k)\nJ"

"X)=AJ(C+CS+C；+…+C；)

故答案為：64,三192

63

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于確定當(dāng)X=Z時(shí)，在坐標(biāo)(4，%，/，%，％，4)與

答案第6頁，共12頁

(々也也也也也)中有攵個(gè)坐標(biāo)值不同，即有k個(gè)坐標(biāo)值滿足《±4，剩下6-A個(gè)坐標(biāo)值滿

《?2'一C：

足生，再由尸(￥=求出概率.

=a026-1

15.(1)填表見解析

(2)有99.9%的把握認(rèn)為是否喜歡電影與性別有關(guān).

【分析】小問1,可設(shè)喜歡電影的男生人數(shù)為x,喜歡電影的女生人數(shù)為V,根據(jù)題意求出x

和y的值完成列表即可，小問2,先假設(shè)對電影的喜好與否與性別沒有關(guān)系，然后選取

<7=0.001,代入公式計(jì)算通過比較/與表中給出的臨界值可得假設(shè)錯(cuò)誤，即對電影的

喜好與否與性別有關(guān).

【詳解】⑴設(shè)喜歡電影的男生人數(shù)為孫喜歡電影的女生人數(shù)為兒[有x+二v=630。0,解得

x=180

7=120,

計(jì)算得到不喜歡該電影的男生人數(shù)為20,不喜歡該電影的女生人數(shù)為80.填表如下:

喜歡電影不喜電影總計(jì)

女生12080200

男生18020200

總計(jì)300100400

(2)先假設(shè)是否喜歡哪吒電影與性別無關(guān).

在表格中選取a=0.001,根據(jù)公式計(jì)算：

2=—-=KO=)I…2=48>1。.828

(a+6)(c+")(a+c)[6+d)300x100x200x200

說明是否喜歡哪吒電影與性別有關(guān)的可能性在99.9%以二.

16.

c449

(2)---

840

【分析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖確定模型，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；

答案第7頁，共12頁

(2)設(shè)相應(yīng)事件，可得相應(yīng)概率，結(jié)合全概率公式計(jì)算概率運(yùn)算求解；

【詳解】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)圖象的周圍,

所以y=下'"適宜作為y與x之間的回歸方程模型.

令z=lny,則z=C2X+lnq,

￡1(0為-亍)(馬-與

-U44--U36=1.4,

則R='------------=而==f-cx-=

/_\23841221012

/=1

所以2=」x+L4,所以)?關(guān)于x的回歸方程為0一/_￡

(2)設(shè)事件4=''所取兩個(gè)魚卵來自第，批"，《=1，2)

所以p(4)=p(4)=g,

設(shè)事件B,="所取兩個(gè)魚卵有/個(gè)“死卵”(./=0,1,2),

則p(聞4)=筲=2,日刃4)=警=3，

由全概率公式尸(4)=尸(可4)*4)+4用4)Y闋4［與耳卷，

449

所以取出“死卵”個(gè)數(shù)為1的概率為三.

17.(1)甲能夠獲得獎(jiǎng)勵(lì)，理由見詳解

(2)乙所說為假

【分析】(1)由…叱,且〃=171,計(jì)算。，求出前400名參賽者的最低得分,與甲的

得分比較即可;

(2)假設(shè)乙所說為真，由4=201計(jì)算。，求出P(XN〃+3b”0.0013<0.005,利用小概

率事件即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)甲能夠獲得獎(jiǎng)勵(lì)，理由如下：

設(shè)此次闖關(guān)活動(dòng)的分?jǐn)?shù)記為X?N(〃?！?/p>

57

由題意可知〃=171,因?yàn)樾?0.0228,

且P(X>〃+2。)=匕如匕『世初二匕等竺。0.0228,

答案第8頁，共12頁

所以〃+2b=351,則b=35：171=90；而理;。⑹

22500

,,\-P(u-(y<X<u+(y\1-0,6827

且P(X〉〃+(r)=————-——--；?0.1587<0.16,

可知前400名參賽者的最低得分高于〃+。=261,而甲的得分為270分，

所以甲能夠獲得獎(jiǎng)勵(lì).

(2)假設(shè)乙所說為真，則4=201,

尸心〃+2b)JT〃-2b；X"+20).上等00228.

而一^-=0.0228,所以°=351_201:75,從而〃+3b=201+3x75=426<430,

25002

而*冷+30)」-尸(〃-時(shí)上等，0,0013<0.00S

所以XN〃+3o為小概率事件，即丙的分?jǐn)?shù)為430分是小概率事件，可認(rèn)為其一般不可能發(fā)

生，但卻乂發(fā)生了，所以可認(rèn)為乙所說為假.

6

18.(1)-

⑵①0.81；②增加3件最好

【分析】(1)分析可知X?80])結(jié)合二項(xiàng)分布的期望公式運(yùn)算求解；

(2)①根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可：②先求出一件減排器的平均利潤，進(jìn)而可

得出增加“件產(chǎn)品，利潤增加量和成本的提高量，進(jìn)而可得出凈利潤，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最

大值即可.

【詳解】(1)由題意可知：每件產(chǎn)品是二等品的概率均為1,則丫一片口,1],

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3xg=(.

(2)①設(shè)2件減排器的利潤為丫萬元，

p(y>i)=p(r=i)+p(y=i.5)+p(y=2)=(1y+|x|x2+(2)=os,,

所以2件減排器的利潤不少于I萬元的概率為0.81；

②一件減排器的平均利潤為91+耕)”不(-0.3)=0.67(萬元)，

則增加〃件產(chǎn)品，利潤增加為0.67〃萬元，成本也相應(yīng)提高(〃-ln〃)萬元，

所以凈利潤為0.67〃一〃+In〃=In〃一0.33〃("wN'),

答案第9頁，共12頁

設(shè)/(x)=lnx-0.33x(x洱)，則/(力=；一0.33,

當(dāng)畏時(shí)，f(x)>Qt當(dāng)x噌時(shí)，/")<0,

所以函數(shù)/(x)在，黑)上單調(diào)遞增，在［臀,上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)X=甯時(shí)，/(X)取得最大值，

又3<翳<4,因?yàn)閄只能取正整數(shù)，所以1=3或x=4,此時(shí)/(“可能為最大值,

/(3)=ln3-0.33x3^1.1-0.99=0.11,

/(4)=ln4-0.33x4?2x0.69-1.32=0,06</(3,

所以要增加產(chǎn)量，增加3件最好.

19.(\)b=a-2

(2)答案見詳解

(3)證明見詳解

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

(2)求導(dǎo)，分類討論兩根大小以及根與定義域，利用導(dǎo)函數(shù)符號討論g(x)單調(diào)性即可求解;

-fx--l>lnx,令工=四

(3)利用(2)中結(jié)論，當(dāng)。=1時(shí),eN*,則

2\X)n

In—結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

nn+1J

【詳解】⑴由題意可得小)=”卷,

因?yàn)?(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線與直線x+2y+l=0垂直，

所以/'⑴=，即/'⑴=a—6=2,所以力="2.

\乙)

〃一2

(2)因?yàn)椤?2,則/3=奴+丁+2-2%

nj^g(x)=f(x)-2\nx=ax+--^+2-2a-21nx,x>0,

因?yàn)樾?一與二”上！13，

XXX”

2—CL_2-ci

當(dāng)422時(shí)，則"=—<0,可知x----->0,

aa

令g〈x)>0,則x>l；令g'(x)<0,則0Vx<1；

答案第10頁，共12頁

可知g(x)在(01)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增;

當(dāng)0<。<1時(shí)，貝ij——>1,

a

令g'(x)>0,則0<x<l或令g'(x)<o,則1<》<"區(qū)；

aa

可知g(x)在口，三)內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增;