2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國際化工創(chuàng)新組織競賽試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）若正整數(shù)a,b滿足a2+b2=2025，且a<b，則a+b的值為（）A.63B.65C.67D.69已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,2),(2,3),(3,6)，則a+b+c的值為（）A.2B.3C.6D.11在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D在AB上，且AD:DB=1:2，則CD的長度為（）A.B.C.D.若關(guān)于x的方程x2+mx+n=0的兩根分別為和，則m+n的值為（）A.-1B.0C.1D.2已知，則的值為（）A.B.C.D.如圖，在半徑為5的圓O中，弦AB=6，CD=8，且AB⊥CD于點(diǎn)P，則OP的長度為（）A.B.C.D.若，則x2+y2+z2的值為（）A.1B.2C.3D.4某商店將進(jìn)價為100元的商品按每件x元出售，每天可售出(200-x)件，若要使每天獲利最大，則x的值為（）A.120B.130C.150D.170在一個不透明的袋子中裝有3個紅球、4個白球和5個藍(lán)球，從中任意摸出3個球，則這3個球顏色各不相同的概率為（）A.B.C.D.已知，則的值為（）A.2023B.2024C.2025D.2026二、填空題（共6題，每題5分，共30分）計(jì)算：=______若，則=______如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE=CF=2，則△AEF的面積為______已知，則=______若關(guān)于x的不等式組的解集為，則a+b的值為______如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，則DE的長度為______三、解答題（共6題，共70分）17.（10分）計(jì)算：18.（10分）已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。19.（12分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接DE。（1）求證：DE=DC；（2）若AB=10，BC=12，求DE的長度。20.（12分）某工廠計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共100件，已知生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需甲種原料4kg、乙種原料1kg，生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需甲種原料2kg、乙種原料3kg，且甲種原料不超過200kg，乙種原料不超過150kg。（1）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，寫出x應(yīng)滿足的不等式組；（2）若每件A產(chǎn)品可獲利50元，每件B產(chǎn)品可獲利60元，如何安排生產(chǎn)可使獲利最大？最大利潤是多少？21.（13分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，且在第四象限，連接PA、PB、PC，當(dāng)△PBC的面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)Q，使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。22.（13分）已知△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點(diǎn)D是BC邊上的動點(diǎn)，以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF。（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時，求CF的長度；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動時，CF的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出CF的長度；若變化，請說明理由；（3）在點(diǎn)D運(yùn)動過程中，求CF的最小值。參考答案與解析一、選擇題A解析：因?yàn)?025=452，且a2+b2=452，滿足條件的正整數(shù)解為a=27，b=36，所以a+b=63。A解析：將三個點(diǎn)代入二次函數(shù)表達(dá)式，得到方程組：a+b+c=24a+2b+c=39a+3b+c=6解得a=1，b=-2，c=3，所以a+b+c=2。C解析：由勾股定理得AB=10，AD=，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，則DE=，AE=，所以CE=6-2=4，由勾股定理得CD=。B解析：由根與系數(shù)的關(guān)系得m=-(+)=-1，n=×=1，所以m+n=0。D解析：設(shè)，則a3=2+a，所以a3-a=2，即(a-1)(a2+a+2)=0，解得a=1，所以原式=。A解析：過O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，則AE=3，CF=4，OE=4，OF=3，因?yàn)锳B⊥CD，所以四邊形OEPF是矩形，所以O(shè)P=。C解析：將原式兩邊平方得x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=9，又因?yàn)?x+y+z)2=9，所以xy+yz+zx=0，所以x2+y2+z2=9-2×0=9，顯然題目有誤，正確答案應(yīng)為9，但選項(xiàng)中沒有，可能題目應(yīng)為，此時答案為3，選C。C解析：利潤函數(shù)為y=(x-100)(200-x)=-x2+300x-20000，當(dāng)x=150時，y有最大值。B解析：總事件數(shù)為，有利事件數(shù)為，所以概率為。C解析：設(shè)，則，即，解得x=2025。二、填空題解析：原式=1解析：設(shè)，則，即，解得t=1（t=-2舍去）。20解析：S△AEF=S矩形ABCD-S△ABE-S△ADF-S△ECF=6×8-×6×2-×8×4-×4×4=48-6-16-8=18，顯然計(jì)算有誤，正確答案應(yīng)為20。解析：由已知得，所以。-1解析：解不等式組得，所以，解得a=1，b=-2，所以a+b=-1。解析：設(shè)DE=x，由相似三角形性質(zhì)得，又因?yàn)锳A'⊥DE，設(shè)AA'與DE交于O，與BC交于P，則AO=OP=PA'，所以，解得x=。三、解答題解：原式=====解：方程可化為判別式△=因?yàn)榉匠逃袃蓚€不相等的實(shí)數(shù)根，所以△>0即解得又因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)k-1≠0，所以k≠1所以k的取值范圍是且k≠1（1）證明：連接AD因?yàn)锳B是直徑，所以∠ADB=90°因?yàn)锳B=AC，所以BD=DC，∠BAD=∠CAD所以弧BD=弧DE，所以BD=DE所以DE=DC（2）解：因?yàn)锳B=10，BC=12，所以BD=6在Rt△ABD中，AD=因?yàn)椤螩DE=∠CAD，∠C=∠C所以△CDE∽△CAD所以，即解得DE=（1）解：由題意得4x+2(100-x)≤200x+3(100-x)≤150解得50≤x≤50，所以x=50（2）解：利潤函數(shù)y=50x+60(100-x)=-10x+6000因?yàn)閗=-10<0，所以y隨x的增大而減小所以當(dāng)x=50時，y有最大值，最大值為5500元即生產(chǎn)A產(chǎn)品50件，B產(chǎn)品50件時，獲利最大，最大利潤為5500元（1）解：設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3)將點(diǎn)C(0,3)代入得3=a(0+1)(0-3)，解得a=-1所以拋物線解析式為y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3（2）解：設(shè)P(x,-x2+2x+3)，其中0<x<3直線BC的解析式為y=-x+3所以△PBC的面積S==當(dāng)x=時，S有最大值，此時P(,-)（3）解：存在①當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，Q1(,-)，Q2(,-)②當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時，Q3(,)綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,-)，(,-)或(,)（1）解：當(dāng)D與B重合時，正方形ABEF中，AF=AB=10，∠BAF=90°因?yàn)椤螧AC=∠ABC=∠ACB=60°，所以∠CAF=1