2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國際批發(fā)商組織競賽素養(yǎng)試卷一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x+1)=1}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√2已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a+b)，則m=（）A.-3B.-1C.1D.3函數(shù)f(x)=ln(x2-4x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(1,2)D.(2,5)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πB.16πC.20πD.24π已知等比數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若S?=7，S?=63，則a?=（）A.2??1B.2?-1C.3??1D.3?-1執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n=5，則輸出的S=（）A.10B.15C.20D.25在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，c=√7，則角C=（）A.π/6B.π/4C.π/3D.π/2已知拋物線y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點P在拋物線上，且PF⊥x軸，過點P作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q，則四邊形PFQO（O為坐標(biāo)原點）的面積為（）A.2B.4C.6D.8已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式為（）A.f(x)=sin(2x+π/3)B.f(x)=sin(2x-π/3)C.f(x)=sin(x+π/3)D.f(x)=sin(x-π/3)二、填空題（共5小題，每小題4分，滿分20分）若tanα=2，則sin2α=_________．(x2-1/x)?的展開式中x3的系數(shù)為_________．已知直線l：y=kx+1與圓C：x2+y2-2x-3=0相交于A，B兩點，若|AB|=2√3，則k=_________．已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1，若對于任意x∈[0,2]，都有f(x)≤m成立，則實數(shù)m的最小值為_________．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)=x2-2x，則方程f(x)=0在區(qū)間[-2,4]上的所有實根之和為_________．三、解答題（共6小題，滿分70分）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{a?}的前n項和為S?，且滿足a?=1，S???=2S?+1．（1）求數(shù)列{a?}的通項公式；（2）設(shè)b?=log?(a?+1)，求數(shù)列{1/(b?b???)}的前n項和T?．（本小題滿分12分）在三棱柱ABC-A?B?C?中，AA?⊥平面ABC，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，D為BC的中點．（1）求證：A?B//平面ADC?；（2）求二面角A?-AD-C?的余弦值．（本小題滿分12分）某批發(fā)商組織了一場針對初中數(shù)學(xué)的競賽活動，為了解參賽學(xué)生的成績情況，隨機抽取了100名學(xué)生的成績（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計這100名學(xué)生成績的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）若從成績在[80,90)和[90,100]的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，求至少有1人成績在[90,100]的概率．（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若kOA·kOB=-1/4，求證：△AOB的面積為定值．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=e?-ax2-bx-1（a，b∈R）．（1）若a=0，b=1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若f(1)=0，且函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點，求實數(shù)a的取值范圍．（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為{x=2+cosθ,y=sinθ}（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+π/4)=√2．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點P是曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最大值．參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題A2.B3.A4.B5.C6.A7.B8.C9.B10.A二、填空題4/512.-2013.±√3/314.315.4三、解答題（1）由S???=2S?+1得S?=2S???+1（n≥2），兩式相減得a???=2a?（n≥2）．又S?=2S?+1，得a?=2a?=2，所以數(shù)列{a?}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，故a?=2??1．（5分）（2）由（1）得b?=log?(2??1+1)=n，所以1/(b?b???)=1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)，則T?=1-1/2+1/2-1/3+…+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)．（10分）（1）連接A?C交AC?于點O，連接OD．因為四邊形ACC?A?是平行四邊形，所以O(shè)為A?C的中點．又D為BC的中點，所以O(shè)D//A?B．因為OD?平面ADC?，A?B?平面ADC?，所以A?B//平面ADC?．（4分）（2）以A為原點，AB，AC，AA?所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，A?(0,0,2)，D(1,1,0)，C?(0,2,2)．向量AD=(1,1,0)，向量AC?=(0,2,2)，向量AA?=(0,0,2)．設(shè)平面ADC?的法向量為n=(x,y,z)，則{n·AD=0,n·AC?=0}，即{x+y=0,2y+2z=0}，取x=1，得n=(1,-1,1)．平面A?AD的法向量為m=(0,1,0)．所以cos<n,m>=n·m/(|n||m|)=-1/√3=-√3/3，由圖可知二面角A?-AD-C?為銳角，故其余弦值為√3/3．（12分）（1）由頻率分布直方圖得(0.005+0.015+a+0.03+0.025+0.015)×10=1，解得a=0.01．（3分）（2）平均數(shù)為45×0.05+55×0.15+65×0.1+75×0.3+85×0.25+95×0.15=74.5．設(shè)中位數(shù)為x，因為前3組頻率之和為0.3，前4組頻率之和為0.6，所以x∈[70,80)，則0.3+(x-70)×0.03=0.5，解得x=76.67．（7分）（3）成績在[80,90)和[90,100]的學(xué)生人數(shù)分別為25和15，按分層抽樣抽取5人，則[80,90)抽取5×25/40=3人，[90,100]抽取2人．記[80,90)的3人為A,B,C，[90,100]的2人為d,e，從中隨機抽取2人的基本事件有10個，其中至少有1人成績在[90,100]的基本事件有7個，故所求概率為7/10．（12分）（1）由題意得{c/a=√3/2,4/a2+1/b2=1,a2=b2+c2}，解得{a2=8,b2=2}，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/8+y2/2=1．（4分）（2）設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，聯(lián)立{y=kx+m,x2/8+y2/2=1}得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，判別式Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-8)=16(8k2-m2+2)>0，x?+x?=-8km/(1+4k2)，x?x?=(4m2-8)/(1+4k2)．y?y?=(kx?+m)(kx?+m)=k2x?x?+km(x?+x?)+m2=(m2-8k2)/(1+4k2)．由kOA·kOB=y?y?/(x?x?)=-1/4得(m2-8k2)/(4m2-8)=-1/4，化簡得2m2=4k2+1．|AB|=√(1+k2)|x?-x?|=√(1+k2)·√[(x?+x?)2-4x?x?]=4√(1+k2)·√(8k2-m2+2)/(1+4k2)=4√(1+k2)·√(4k2+2-m2)/(1+4k2)．點O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)．所以S△AOB=1/2|AB|d=2√(4k2+2-m2)·|m|/(1+4k2)=2√(2m2-m2)·|m|/(2m2)=2√m?/(2m2)=√2，為定值．（12分）（1）當(dāng)a=0，b=1時，f(x)=e?-x-1，f'(x)=e?-1．令f'(x)=0得x=0．當(dāng)x<0時，f'(x)<0；當(dāng)x>0時，f'(x)>0．所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)．（4分）（2）由f(1)=0得e-a-b-1=0，所以b=e-a-1．f(x)=e?-ax2-(e-a-1)x-1，f'(x)=e?-2ax-(e-a-1)．因為f(0)=0，f(1)=0，且函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有兩個極值點，即f'(x)=0在(0,1)內(nèi)至少有兩個根．f''(x)=e?-2a，當(dāng)a≤1/2時，f''(x)≥e?-2a≥0，f'(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，f'(x)在(0,1)內(nèi)至多有一個根，不符合題意；當(dāng)a≥e/2時，f''(x)≤e1-2a≤0，f'(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，f'(x)在(0,1)內(nèi)至多有一個根，不符合題意；當(dāng)1/2<a<e/2時，令f''(x)=0得x=ln(2a)∈(0,1)，f'(x)在(0,ln(2a))上單調(diào)遞減，在(ln(2a),1)上單調(diào)遞增．f'(0)=1-(e-a-1)=a+2-e，f'(1)=e-2a-(e-a-1)=-a+1，f'(ln(2a))=2a-2aln(2a)-(e-a-1)=3a-2aln(2a)-e+1．要使f'(x)=0在(0,1)內(nèi)至少有兩個根，則{f'(0)>0,f'(1)>0,f'(ln(2a))<0}，即{a+2-e>0,-a+1>0,3a-2aln(2a)-e+1<0}，解得e-2<a<1．當(dāng)e-2<a<1時，f'(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個根x?，x?(x?<x?)，則f(x)在(0,x?)上單調(diào)遞增，在(x?,x?)上單調(diào)遞減，在(x?,1)上單調(diào)遞增．又f(0)=0，f(1)=0，所以f(x?)>0，f(x?)<0，故f(x)在(x?,x?)內(nèi)有一個零點．綜上，實數(shù)a的取值范圍為(e-2,1)．（12分）（1）曲線C的普通方程為(x-2)2+y2=1．直線l的極坐標(biāo)方程可化為ρsinθ+ρcosθ=2，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0．（5分）（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為(2+cosθ,sinθ)，則點P到直線l的距離d=|2+cosθ+sinθ-2|/√2=|sinθ+cosθ|/√2=|√2sin(