2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國際社會(huì)企業(yè)競賽試卷一、選擇題（每題5分，共60分）若正整數(shù)a、b滿足a2+b2=2025，且a>b，則a-b的值為（）A.9B.15C.21D.27已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-1,2）、（1,6）、（2,11），則該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.（-2,3）B.（-1,4）C.（0,5）D.（1,6）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，以CD為直徑作圓O，交AC于點(diǎn)E，則AE的長度為（）A.1.2B.1.5C.1.8D.2.0已知關(guān)于x的方程x3-3x2+mx-6=0的三個(gè)根成等差數(shù)列，則m的值為（）A.5B.6C.7D.8若正六邊形ABCDEF的邊長為2，則向量AB+AC+AD+AE+AF的模長為（）A.6B.8C.10D.12已知集合A={x|x2-5x+6≤0}，B={x|2x-1>0}，則A∩B的子集個(gè)數(shù)為（）A.4B.8C.16D.32某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πB.16πC.20πD.24π已知sinα+cosα=1/5，且α∈(0,π)，則tanα的值為（）A.-3/4B.-4/3C.3/4D.4/3在等比數(shù)列{an}中，a1=2，公比q>0，前n項(xiàng)和為Sn，若S6=126，則q的值為（）A.2B.3C.4D.5已知x、y為正實(shí)數(shù)，且滿足x+2y=1，則1/x+1/y的最小值為（）A.3+2√2B.4+2√2C.5+2√2D.6+2√2如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則PE+PF的值為（）A.4.8B.5.0C.5.2D.5.4若函數(shù)f(x)=|log?x|-(1/2)?有兩個(gè)零點(diǎn)x?、x?（x?<x?），則下列結(jié)論正確的是（）A.x?x?>1B.x?x?=1C.0<x?x?<1D.x?x?的取值無法確定二、填空題（每題5分，共30分）計(jì)算：(20252-20242)/(2025-2024)+log?8+√[(-3)2]=________。已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2-3i|=5，且|z|最小，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為________。如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE=2EC，CF=2FD，連接AE、AF交BD于點(diǎn)G、H，則GH的長度為________。已知數(shù)列{an}滿足a?=1，a???=2a?+3?（n∈N*），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=________。在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知a=5，b=7，cosC=1/5，則△ABC的內(nèi)切圓半徑為________。某國際社會(huì)企業(yè)計(jì)劃投資A、B兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資A項(xiàng)目的收益X（萬元）服從正態(tài)分布N(10,4)，投資B項(xiàng)目的收益Y（萬元）服從正態(tài)分布N(8,1)，若該企業(yè)投資兩個(gè)項(xiàng)目的資金比例為3:2，則總收益的期望為________萬元。三、解答題（共60分）（10分）已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx，g(x)=sinxcosx。（1）求函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)的最大值；（2）若f(x)=2g(x)，求tanx的值。（12分）如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，AA?⊥底面ABC，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D為B?C?中點(diǎn)。（1）求證：AD⊥平面BB?C?C；（2）求二面角A-BD-C的余弦值。（12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√3/2，且過點(diǎn)（2,1）。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)P(0,2)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O，求直線l的方程。（13分）某國際社會(huì)企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品需A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品需A原料1噸、B原料3噸。該企業(yè)現(xiàn)有A原料120噸、B原料100噸，且每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品的時(shí)間不超過8小時(shí)，生產(chǎn)乙產(chǎn)品的時(shí)間不超過10小時(shí)。生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品可獲利5萬元，生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品可獲利4萬元。（1）寫出該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品數(shù)量x、y（噸）滿足的約束條件；（2）如何安排生產(chǎn)才能使該企業(yè)每天獲得最大利潤？最大利潤是多少？（13分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a?=1，Sn??=4an+2（n∈N*）。（1）證明：數(shù)列{an??-2an}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)bn=an/2?，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。參考答案與解析一、選擇題C解析：2025=452，且452=272+362（272=729，362=1296，729+1296=2025），所以a=36，b=27，a-b=9。但選項(xiàng)中無9，重新計(jì)算得452=152+362不成立，正確應(yīng)為452=272+362，a=36，b=27，a-b=9，選項(xiàng)A正確。（注：原題選項(xiàng)可能存在排版錯(cuò)誤，正確答案應(yīng)為9）C解析：將三點(diǎn)代入函數(shù)得：a-b+c=2a+b+c=64a+2b+c=11解得a=1，b=2，c=5，所以y=x2+2x+5=(x+1)2+4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4)，選項(xiàng)B正確。B解析：AB=10，CD=5（斜邊中線），圓O半徑為2.5，連接DE，∠CED=90°，△CED∽△CBA，CE/BC=CD/AB，CE=(8×5)/10=4，AE=AC-CE=6-4=2，選項(xiàng)D正確。C解析：設(shè)三根為a-d，a，a+d，由韋達(dá)定理：(a-d)+a+(a+d)=3?3a=3?a=1(a-d)a+a(a+d)+(a-d)(a+d)=m(a-d)a(a+d)=6?a(a2-d2)=6?1-d2=6?d2=-5（無解），重新計(jì)算得(a-d)a(a+d)=6，a=1時(shí)，1-d2=6?d2=-5，矛盾，應(yīng)為三根之和3，所以方程x3-3x2+mx-6=0，三根乘積6，所以(a-d)a(a+d)=6，a=1時(shí)，1-d2=6（錯(cuò)誤），正確應(yīng)為三根為1,2,3，和3，積6，所以m=1×2+2×3+3×1=2+6+3=11，無選項(xiàng)，題目可能有誤。A解析：正六邊形中心O，向量AB+AF=AO，AC+AE=2AO，AD=2AO，總和=AO+2AO+2AO=5AO，模長5×2=10，選項(xiàng)C正確。B解析：A=[2,3]，B=(0.5,+∞)，A∩B=[2,3]，子集個(gè)數(shù)22=4，選項(xiàng)A正確。B解析：三視圖顯示為圓柱+半球，V=πr2h+(2/3)πR3，假設(shè)r=2，h=3，R=2，V=π×4×3+(2/3)π×8=12π+16π/3=52π/3≈17.3π，無選項(xiàng)，可能為圓柱+圓錐，V=π×22×3+(1/3)π×22×3=12π+4π=16π，選項(xiàng)B正確。B解析：sinα+cosα=1/5，平方得1+2sinαcosα=1/25?sinαcosα=-12/25，α在第二象限，sinα=4/5，cosα=-3/5，tanα=-4/3，選項(xiàng)B正確。A解析：S6=2(q?-1)/(q-1)=126?(q?-1)/(q-1)=63，q=2時(shí)，63/1=63，正確，選項(xiàng)A。A解析：1/x+1/y=(x+2y)(1/x+1/y)=1+x/y+2y/x+2=3+x/y+2y/x≥3+2√2，選項(xiàng)A正確。A解析：面積法，S△ABC=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC，(5×PE)/2+(5×PF)/2=12?PE+PF=24/5=4.8，選項(xiàng)A正確。C解析：設(shè)x?<1<x?，log?x?=-a，log?x?=a，(1/2)^x?=a，(1/2)^x?=a，所以x?=log?(1/a)，x?=log?a，x?x?=log?(1/a)×log?a=-(log?a)2<1，選項(xiàng)C正確。二、填空題4053解析：分子=(2025-2024)(2025+2024)=4049，分母=1，log?8=3，√9=3，總和=4049+3+3=4055（原答案4053可能有誤）26/13=2解析：|z-(2+3i)|=5，表示以(2,3)為圓心，5為半徑的圓，|z|最小為圓心到原點(diǎn)距離√13減去半徑5，此時(shí)z=(2+3i)×(√13-5)/√13，實(shí)部=2(√13-5)/√13≈2(3.6-5)/3.6≈-0.78，題目可能要求|z|最小，此時(shí)z與原點(diǎn)、圓心共線，z=(2+3i)×(√13-5)/√13，實(shí)部=2(√13-5)/√13，簡化得2-10/√13，非整數(shù)，可能題目為|z-2-3i|=5，|z|最小值時(shí)，z=(2,3)方向單位向量乘以(√13-5)，實(shí)部=2(√13-5)/√13，題目可能有誤，正確應(yīng)為當(dāng)z在原點(diǎn)與圓心連線上時(shí)，|z|最小，此時(shí)z=(2,3)-5×(2,3)/√13=(2,3)(1-5/√13)，實(shí)部=2(√13-5)/√13，無法得到整數(shù)，可能題目應(yīng)為|z-3-4i|=5，此時(shí)|z|最小為0，z=0，實(shí)部0。2√13/5解析：建立坐標(biāo)系，A(0,0),B(4,0),C(4,6),D(0,6),E(4,2),F(4/3,6)，AE方程：y=0.5x，AF方程：y=4.5x，BD方程：y=(-3/2)x+6，聯(lián)立AE與BD：0.5x=-1.5x+6?x=3，G(3,1.5)；聯(lián)立AF與BD：4.5x=-1.5x+6?6x=6?x=1，H(1,4.5)，GH=√[(3-1)2+(1.5-4.5)2]=√(4+9)=√13≈3.605，題目答案可能為√13。3?-2??1解析：a???+λ3??1=2(a?+λ3?)，對(duì)比得λ=-1，所以a???-3??1=2(a?-3?)，數(shù)列{a?-3?}是等比數(shù)列，a?-31=-2，所以a?-3?=-2×2??1=-2?，a?=3?-2??！?解析：c2=52+72-2×5×7×1/5=25+49-14=60?c=2√15，面積S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]=√[11×6×4×(11-2√15)]（復(fù)雜），用S=(1/2)absinC=14√6，內(nèi)切圓半徑r=2S/(a+b+c)=28√6/(12+2√15)=14√6/(6+√15)=14√6(6-√15)/21=2√6(6-√15)/3≈2.45。9.2解析：E(X)=10，E(Y)=8，總收益期望=3/5×10+2/5×8=6+3.2=9.2。三、解答題（1）設(shè)t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)，t∈[-√2,√2]，g(x)=(t2-1)/2，h(x)=t+(t2-1)/2=(t+1)2/2-1，最大值在t=√2時(shí)，(√2+1)2/2-1=(3+2√2)/2-1=(1+2√2)/2≈1.914。（2）t=2×(t2-1)/2?t2-t-1=0?t=(1±√5)/2，tanx=(sinx/cosx)，由t=sinx+cosx=1+√5)/2，平方得1+sin2x=(3+√5)/2?sin2x=(1+√5)/2，tanx=[1-cos2x]/sin2x，計(jì)算得tanx=(√5+1)/2。（1）建立坐標(biāo)系，A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A?(0,0,2),B?(2,0,2),C?(0,2,2),D(1,1,2)，AD=(1,1,2)，BC=(-2,2,0)，BB?=(0,0,2)，AD·BC=-2+2+0=0，AD·BB?=0，所以AD⊥平面BB?C?C。（2）平面ABD法向量n=(1,-1,0)，平面BDC法向量m=(2,2,-1)，cosθ=|n·m|/(|n||m|)=|2-2+0|/(√2×3)=0，二面角余弦值0。（1）e=√3/2?c=√3/2a，b2=a2-c2=a2/4，橢圓方程x2/a2+4y2/a2=1，過點(diǎn)(2,1)得4+4=a2?a2=8，b2=2，方程x2/8+y2/2=1。（2）設(shè)直線l:y=kx+2，聯(lián)立橢圓得(1+4k2)x2+16kx+