2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國(guó)際藝術(shù)競(jìng)賽素養(yǎng)試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）黃金分割與藝術(shù)構(gòu)圖：古希臘雕塑《斷臂的維納斯》的身高比例符合黃金分割率，若其肚臍至足底的高度為105cm，則頭頂至肚臍的高度約為（）A.64.5cmB.68.2cmC.72.3cmD.76.1cm（解析：黃金分割率≈0.618，設(shè)頭頂至肚臍高度為x，則x/105≈0.618，解得x≈64.5cm）對(duì)稱與建筑美學(xué)：印度泰姬陵的主體結(jié)構(gòu)是典型的中心對(duì)稱圖形，下列圖形中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.正六邊形D.正五邊形（解析：正六邊形繞中心旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合，且有6條對(duì)稱軸）幾何變換與藝術(shù)創(chuàng)作：荷蘭畫家埃舍爾的作品《變形》中大量運(yùn)用了圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形繞其中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，與原圖形重疊部分的面積為（）A.1B.2C.3D.4（解析：旋轉(zhuǎn)后重疊部分為邊長(zhǎng)√2的正方形，面積=（√2）2=2）概率與色彩搭配：在國(guó)際藝術(shù)競(jìng)賽中，某選手需從紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色中隨機(jī)選取2種調(diào)配顏料，其中“紅色被選中”的概率為（）A.1/2B.1/3C.2/3D.3/4（解析：總組合數(shù)C(4,2)=6，含紅色的組合有3種，概率=3/6=1/2）函數(shù)圖像與音樂波形：音樂中的聲波可用正弦函數(shù)y=Asin(ωx+φ)表示，若某音符的波形函數(shù)為y=2sin(πx+π/3)，則其振幅與最小正周期分別為（）A.2，2B.2，πC.π，2D.π，π（解析：振幅A=2，周期T=2π/ω=2π/π=2）立體幾何與雕塑設(shè)計(jì)：法國(guó)雕塑家羅丹的《思想者》采用青銅鑄造，其底座為正四棱臺(tái)，上底邊長(zhǎng)1.2m，下底邊長(zhǎng)1.8m，高0.6m，則該棱臺(tái)的體積為（）A.1.08m3B.1.224m3C.1.368m3D.1.512m3（解析：體積V=1/3h(a2+ab+b2)=1/3×0.6×(1.22+1.2×1.8+1.82)=1.224m3）數(shù)據(jù)分析與藝術(shù)市場(chǎng)：2024年全球藝術(shù)品拍賣市場(chǎng)成交額（單位：億美元）數(shù)據(jù)如下：58，65，72，80，85，92，105，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)分別為（）A.80，82B.80，83C.85，82D.85，83（解析：中位數(shù)為第4個(gè)數(shù)80，平均數(shù)=(58+65+72+80+85+92+105)/7=83）坐標(biāo)系與壁畫測(cè)繪：敦煌莫高窟某壁畫的局部可抽象為平面直角坐標(biāo)系中的圖形，若壁畫中某人物的左眼坐標(biāo)為(3,4)，右眼坐標(biāo)為(7,4)，則兩眼連線的垂直平分線方程為（）A.x=5B.y=5C.x+y=8D.x-y=2（解析：中點(diǎn)坐標(biāo)(5,4)，垂直平分線為豎直線x=5）不等式與材料優(yōu)化：某藝術(shù)工作室制作相框，需使用長(zhǎng)度為L(zhǎng)的鋁合金材料，若相框?yàn)殚L(zhǎng)方形，且長(zhǎng)與寬之比為3:2，則面積最大時(shí)的長(zhǎng)為（）A.3L/10B.3L/5C.L/2D.2L/3（解析：設(shè)長(zhǎng)3x，寬2x，則10x=L，x=L/10，長(zhǎng)=3L/10）向量與動(dòng)態(tài)藝術(shù)：在數(shù)字藝術(shù)作品中，點(diǎn)P(1,2)按向量a=(3,4)平移后，再繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到的新坐標(biāo)為（）A.(-6,4)B.(-4,6)C.(-2,7)D.(-7,2)（解析：平移后坐標(biāo)(4,6)，旋轉(zhuǎn)后(-6,4)）二、填空題（共5題，每題6分，共30分）分形幾何與藝術(shù)紋理：科赫雪花是典型的分形圖形，其生成規(guī)則為：將正三角形每邊三等分，以中間段為邊向外作正三角形，重復(fù)操作n次后，圖形的邊數(shù)為______。（初始邊數(shù)為3）答案：3×4?（解析：每次操作后邊數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍，n次后為3×4?）坐標(biāo)系與透視原理：在繪畫透視中，一點(diǎn)透視的消失點(diǎn)可視為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。若平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+3與y=2x-5的距離為______。答案：8√5/5（解析：平行線距離公式|C?-C?|/√(A2+B2)=|3-(-5)|/√5=8√5/5）統(tǒng)計(jì)與藝術(shù)評(píng)分：某國(guó)際競(jìng)賽評(píng)委團(tuán)由7人組成，對(duì)某作品的評(píng)分分別為92,88,95,90,85,94,92，則這組數(shù)據(jù)的方差為______。答案：10（解析：平均數(shù)=91，方差=[(1)2+(-3)2+(4)2+(-1)2+(-6)2+(3)2+(1)2]/7=70/7=10）立體幾何與陶藝設(shè)計(jì)：用半徑為3cm的圓形陶土板制作一個(gè)無(wú)蓋圓柱形容器，若不計(jì)損耗，容器體積最大時(shí)的高為______cm。答案：3（解析：設(shè)高h(yuǎn)，底面半徑r，2πr=3×2π（周長(zhǎng)等于圓板半徑×2π），r=3，體積V=πr2h=9πh，當(dāng)h=3時(shí)體積最大）邏輯推理與密碼藝術(shù)：某藝術(shù)展覽的密碼鎖由0-9的數(shù)字組成，若密碼滿足“第一位數(shù)字是偶數(shù)，后兩位數(shù)字之和為10”，則這樣的三位數(shù)密碼共有______種。答案：50（解析：第一位5種（0,2,4,6,8），后兩位(1,9)(2,8)...(9,1)(0,10)共10種，總5×10=50）三、解答題（共4題，共70分）幾何證明與建筑藝術(shù)（16分）如圖，某藝術(shù)館的穹頂為半球形，其底面直徑AB=12m，C為底面圓周上一點(diǎn)，且AC=6m，D為穹頂頂點(diǎn)（球心正上方）。（1）證明：△ACD為等邊三角形；（2）求三棱錐D-ABC的體積。（1）證明：球半徑R=6m，AD=CD=6m，AC=6m，故△ACD三邊相等，為等邊三角形。（2）解：底面△ABC中，AB為直徑，∠ACB=90°，BC=√(AB2-AC2)=6√3m，S△ABC=1/2×6×6√3=18√3m2，高OD=6m，體積V=1/3×18√3×6=36√3m3。函數(shù)建模與音樂藝術(shù)（18分）音樂的音階頻率遵循等比數(shù)列規(guī)律，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)音A4的頻率為440Hz，相鄰半音的頻率比為2^(1/12)。（1）求A4上方第五個(gè)半音（即C5）的頻率（精確到1Hz）；（2）若某旋律由A4、C5、E5三個(gè)音組成，其頻率比為4:5:6，求E5的頻率，并判斷該和弦是否為純律和弦。（1）解：C5與A4相差3個(gè)半音，頻率=440×2^(3/12)=440×2^(1/4)≈523Hz。（2）解：設(shè)A4=4k=440，則k=110，E5=6k=660Hz。純律中E5頻率為440×5/4=550Hz，660≠550，故不是純律和弦。概率統(tǒng)計(jì)與藝術(shù)市場(chǎng)（18分）某藝術(shù)機(jī)構(gòu)對(duì)全球青少年藝術(shù)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)?wù)叩哪挲g分布進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：|年齡組（歲）|12-14|15-17|18-20|21-23||--------------|-------|-------|-------|-------||頻數(shù)|15|35|30|20|（1）繪制頻率分布直方圖，并估計(jì)獲獎(jiǎng)?wù)叩钠骄挲g；（2）從15-17歲與18-20歲組中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求至少有1人來自15-17歲組的概率。（1）解：平均年齡=（13×15+16×35+19×30+22×20）/100=17.95歲。（2）解：總?cè)藬?shù)=35+30=65，對(duì)立事件“全來自18-20歲”概率=C(30,2)/C(65,2)=435/2080=87/416，所求概率=1-87/416=329/416≈0.791。綜合探究與跨媒介藝術(shù)（18分）數(shù)字藝術(shù)作品《π的星空》將圓周率小數(shù)位數(shù)字轉(zhuǎn)化為顏色與圖形：0-9分別對(duì)應(yīng)黑、白、紅、橙、黃、綠、藍(lán)、靛、紫、灰，小數(shù)點(diǎn)后第n位數(shù)字決定第n個(gè)圖形的顏色，圖形邊長(zhǎng)為n/10cm的正方形。（1）若π=3.1415926535…，求前5個(gè)圖形的總面積；（2）第k個(gè)圖形為紅色的概率記為P(k)，當(dāng)k趨近于無(wú)窮大時(shí)，P(k)趨近于多少？解釋該結(jié)果的藝術(shù)寓意。（1）解：前5位小數(shù)為1,4,1,5,9，邊長(zhǎng)分別為0.1,0.4,0.1,0.5,0.9cm，面積和=0.01+0.16+0.01+0.25+0.81=1.24cm2。（2）解：π是無(wú)理數(shù)，小數(shù)位數(shù)字均勻分布，P(k)趨近于1/10。藝術(shù)寓意：象征藝術(shù)創(chuàng)作中秩序與隨機(jī)的統(tǒng)一，如同π的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，既遵循數(shù)學(xué)規(guī)律又充滿無(wú)限可能。四、開放創(chuàng)新題（共20分）數(shù)學(xué)與藝術(shù)創(chuàng)作請(qǐng)以“斐波那契數(shù)列與自然藝術(shù)”為主題，設(shè)計(jì)一個(gè)初中數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)方案，要求包含活動(dòng)目標(biāo)、實(shí)施步驟、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)三部分，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與藝術(shù)的融合性。*活動(dòng)目標(biāo)：理解斐波那契數(shù)列的定義及遞推關(guān)系（F?=1,F?=1,F?=F???+F???）；發(fā)現(xiàn)自然界中斐波那契數(shù)列的應(yīng)用（如花瓣數(shù)、向日葵種子排列）；創(chuàng)作以斐波那契螺旋為構(gòu)圖基礎(chǔ)的繪畫作品。實(shí)施步驟：觀察與發(fā)現(xiàn)：收集具有斐波那契特征的自然物圖片（如松果、菠蘿），統(tǒng)計(jì)其螺旋線數(shù)量；數(shù)學(xué)建模：在坐標(biāo)系中繪制斐波那契矩形（邊長(zhǎng)1,1,2,3,5…），連接對(duì)角線交點(diǎn)得到黃金螺旋；藝術(shù)創(chuàng)作：以黃金螺旋為框架，創(chuàng)作一幅融合自然元素的繪畫作品；展示與解說：闡述作品中數(shù)學(xué)規(guī)律的應(yīng)用及藝術(shù)表達(dá)意圖。評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：數(shù)學(xué)準(zhǔn)確性（40%）：螺旋線繪制是否符合斐波那契比例