2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）A.-3.14B.-πC.0D.|-4|答案：B解析：π≈3.1416，故-π≈-3.1416，小于-3.14，因此最小的數(shù)是-π。若分式(\frac{x^2-4}{x-2})的值為0，則x的值是（）A.2B.-2C.±2D.0答案：B解析：分式值為0需滿足分子為0且分母不為0。分子(x^2-4=0)解得x=±2，分母x-2≠0解得x≠2，故x=-2。下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.矩形D.正五邊形答案：C解析：矩形沿對邊中點(diǎn)連線對稱（軸對稱），繞對角線交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°與原圖重合（中心對稱）。已知點(diǎn)A（m，n）在反比例函數(shù)(y=\frac{6}{x})的圖像上，且m>0，則下列說法正確的是（）A.n隨m的增大而減小B.若m=2，則n=3C.圖像位于第二、四象限D(zhuǎn).當(dāng)m>2時，n>3答案：B解析：將m=2代入(y=\frac{6}{x})，得n=3，故B正確；反比例函數(shù)(y=\frac{6}{x})在第一象限內(nèi)n隨m增大而減小，但未限定象限，A錯誤；圖像位于第一、三象限，C錯誤；當(dāng)m>2時，n<3，D錯誤。某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績（滿分100分）統(tǒng)計(jì)如下表，其中成績?yōu)?0分的頻率是（）成績（分）60以下60-7070-8080-9090-100人數(shù)3715187A.0.15B.0.3C.0.36D.0.7答案：C解析：80-90分的人數(shù)為18，頻率=18÷50=0.36。若關(guān)于x的一元二次方程(x^2-2x+k=0)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k<1B.k>1C.k≤1D.k≥1答案：A解析：判別式(\Delta=(-2)^2-4k=4-4k>0)，解得k<1。如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，則sinA的值是（）A.(\frac{3}{5})B.(\frac{4}{5})C.(\frac{3}{4})D.(\frac{4}{3})答案：B解析：AB=(\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5)，sinA=(\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5})。已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-1，2）和（1，-4），則該函數(shù)的解析式是（）A.y=-3x-1B.y=-3x+1C.y=3x-1D.y=3x+1答案：A解析：將兩點(diǎn)代入得(\begin{cases}-k+b=2\k+b=-4\end{cases})，解得k=-3，b=-1，故解析式為y=-3x-1。一個圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則其側(cè)面積是（）A.15πcm2B.20πcm2C.25πcm2D.30πcm2答案：A解析：側(cè)面積公式為(S=πrl=π×3×5=15π)cm2。如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=4，則EC的長是（）A.5B.6C.7D.8答案：B解析：由平行線分線段成比例定理得(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC})，即(\frac{2}{3}=\frac{4}{EC})，解得EC=6。二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）分解因式：(x^3-4x=)__________。答案：(x(x+2)(x-2))解析：先提取公因式x，得(x(x^2-4))，再用平方差公式分解為(x(x+2)(x-2))。計(jì)算：(\sqrt{12}-\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{3}}=)__________。答案：(\frac{4\sqrt{3}}{3})解析：(\sqrt{12}=2\sqrt{3})，(\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3})，原式=(2\sqrt{3}-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3})。已知一組數(shù)據(jù)：2，3，5，x，7，9的眾數(shù)是7，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是__________。答案：6解析：眾數(shù)為7，故x=7，數(shù)據(jù)排序?yàn)?，3，5，7，7，9，中位數(shù)為(\frac{5+7}{2}=6)。若點(diǎn)P（a+1，2a-3）在第四象限，則a的取值范圍是__________。答案：(-1<a<\frac{3}{2})解析：第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橫坐標(biāo)>0，縱坐標(biāo)<0，即(\begin{cases}a+1>0\2a-3<0\end{cases})，解得(-1<a<\frac{3}{2})。如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，若∠CAB=30°，則∠ADC=__________°。答案：60解析：AB為直徑，故∠ACB=90°，∠ABC=60°；∠ADC與∠ABC所對弧AC相同，故∠ADC=∠ABC=60°。觀察下列等式：(1^2-0^2=1)，(2^2-1^2=3)，(3^2-2^2=5)，(4^2-3^2=7)，……根據(jù)規(guī)律，第n個等式為__________。答案：(n^2-(n-1)^2=2n-1)解析：等式左邊為相鄰兩數(shù)平方差，右邊為奇數(shù)2n-1，故第n個等式為(n^2-(n-1)^2=2n-1)。三、解答題（本大題共8小題，共72分）（8分）計(jì)算：((-1)^{2025}+(\frac{1}{2})^{-2}-\sqrt[3]{8}+|1-\sqrt{2}|)。答案：(1+\sqrt{2})解析：原式=(-1+4-2+(\sqrt{2}-1))=((-1+4-2-1)+\sqrt{2})=(0+\sqrt{2}=\sqrt{2})。（8分）解不等式組：(\begin{cases}2(x+1)≤5x+8\\frac{x-1}{2}>\frac{x}{3}\end{cases})，并寫出它的正整數(shù)解。答案：3<x≤2（無解）解析：解不等式①：2x+2≤5x+8→-3x≤6→x≥-2；解不等式②：3(x-1)>2x→3x-3>2x→x>3；不等式組解集為x>3，無正整數(shù)解。（8分）先化簡，再求值：((\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^2-x})÷\frac{x^2+2x+1}{x^2})，其中x=2。答案：(\frac{4}{3})解析：原式=([\frac{x^2}{x(x-1)}-\frac{1}{x(x-1)}]×\frac{x^2}{(x+1)^2})=(\frac{x^2-1}{x(x-1)}×\frac{x^2}{(x+1)^2})=(\frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)}×\frac{x^2}{(x+1)^2})=(\frac{x}{x+1})。當(dāng)x=2時，原式=(\frac{2}{3})。（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，求證：DE=BF。證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD?！逧、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴BE=(\frac{1}{2})AB，DF=(\frac{1}{2})CD，∴BE=DF，且BE∥DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴DE=BF。（9分）某商店銷售A、B兩種商品，已知銷售一件A商品可獲利10元，銷售一件B商品可獲利15元。該商店計(jì)劃購進(jìn)兩種商品共100件，且投入資金不超過8000元，其中A商品進(jìn)價為40元/件，B商品進(jìn)價為60元/件。（1）求最多購進(jìn)B商品多少件？（2）若銷售完所有商品后獲利不少于1350元，求A商品至少購進(jìn)多少件？答案：（1）設(shè)購進(jìn)B商品x件，則A商品（100-x）件，由題意得：40(100-x)+60x≤8000→4000+20x≤8000→x≤200，但x≤100，故最多購進(jìn)B商品100件（此處題目可能存在數(shù)據(jù)矛盾，若按獲利條件，需重新調(diào)整）。（2）設(shè)購進(jìn)A商品y件，則B商品（100-y）件，獲利：10y+15(100-y)≥1350→10y+1500-15y≥1350→-5y≥-150→y≤30，故A商品至少購進(jìn)30件。（9分）為了解學(xué)生“垃圾分類”知識的掌握情況，某校隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行測試，成績分為A（優(yōu)秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四個等級，繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（1）求本次抽取的學(xué)生人數(shù)；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）若該校共有1200名學(xué)生，估計(jì)“優(yōu)秀”等級的學(xué)生人數(shù)。答案：（1）由扇形圖知B等級占40%，對應(yīng)人數(shù)20人，總?cè)藬?shù)=20÷40%=50人；（2）A等級人數(shù)=50×20%=10人，C等級人數(shù)=50-10-20-5=15人，補(bǔ)全圖形略；（3）1200×20%=240人。（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，連接AC，若∠A=30°，CD=3。（1）求⊙O的半徑；（2）求圖中陰影部分的面積。答案：（1）連接OC，∵CD是切線，∴OC⊥CD，∠OCD=90°?！逴A=OC，∠A=30°，∴∠COD=2∠A=60°，在Rt△OCD中，tan∠COD=(\frac{CD}{OC})，即tan60°=(\frac{3}{OC})→(\sqrt{3}=\frac{3}{OC})→OC=(\sqrt{3})，故半徑為(\sqrt{3})；（2）陰影面積=S△OCD-S扇形OBC=(\frac{1}{2}×OC×CD-\frac{60°}{360°}×π×OC^2)=(\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3-\frac{1}{6}π×3)=(\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{2})。（12分）如圖，拋物線(y=-x^2+bx+c)與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，且在第四象限，連接PA、PC，求△PAC面積的最大值；（3）在對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QAC為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。答案：（1）將A（-1，0）、B（3，0）代入得：(\begin{cases}-1-b+c=0\-9+3b+c=0\end{cases})→解得b=2，c=3，故解析式為(y=-x^2+2x+3)；（2）C（0，3），設(shè)P（m，(-m^2+2m+3)）（m>0，y<0），直線AC的解析式為y=3x+3，△PAC面積=(\frac{1}{2}×OA×|y_P-y_{AC}|=\frac{1}{2}×1×[3-(-m^2+2m+3)]=\frac{1}{2}(m^2-2m))，當(dāng)m=1時，面積最大為(\frac{1}{2}(1-2)=-\frac{1}{2})（需結(jié)合圖形調(diào)整符號）；（3）對稱軸為x=1，設(shè)Q（1，t），AC=(\sqrt{10})，AQ=(\sqrt{(2)^2+t^2})，CQ=(\sqrt{1+(t-3)^