2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本品質(zhì)塑造試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）數(shù)學(xué)抽象與運(yùn)算能力已知某網(wǎng)店銷售的"智能錯題本"單價為a元，購買3本及以上可享受8折優(yōu)惠。若小明購買了4本，共支付128元，則a的值為（）A.30B.32C.40D.42邏輯推理與幾何直觀如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，添加下列條件能判定四邊形ABCD為矩形的是（）A.AB=ADB.AC⊥BDC.OA=OBD.∠ABC=∠BCD數(shù)據(jù)分析與模型思想某學(xué)校為了解學(xué)生每周體育鍛煉時長，隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：|鍛煉時長（小時）|3|4|5|6|7||------------------|---|---|---|---|---||人數(shù)|8|12|15|10|5|則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.5，5B.5，6C.4.5，5D.5，15數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用意識某工廠生產(chǎn)一種零件，當(dāng)產(chǎn)量為x（個）時，成本y（元）滿足函數(shù)關(guān)系y=0.5x2+20x+1000。若每個零件售價為50元，為實(shí)現(xiàn)利潤最大化，每天應(yīng)生產(chǎn)零件（）A.20個B.30個C.40個D.50個空間觀念與幾何變換將拋物線y=2x2-4x+3先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的新拋物線解析式為（）A.y=2x2+1B.y=2x2-8x+9C.y=2x2-1D.y=2x2+8x+13運(yùn)算能力與代數(shù)推理若關(guān)于x的分式方程$\frac{x}{x-2}+\frac{m}{2-x}=3$有增根，則m的值為（）A.-2B.0C.2D.3數(shù)學(xué)文化與創(chuàng)新意識《九章算術(shù)》中記載："今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六。問人數(shù)、雞價各幾何？"設(shè)人數(shù)為x，雞價為y，則可列方程組為（）A.$\begin{cases}9x-y=11\y-6x=16\end{cases}$B.$\begin{cases}9x-y=11\6x-y=16\end{cases}$C.$\begin{cases}y-9x=11\6x-y=16\end{cases}$D.$\begin{cases}y-9x=11\y-6x=16\end{cases}$動態(tài)幾何與直觀想象如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，速度為2cm/s。當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動時間為t秒，線段PQ的長度最小值為（）A.$\frac{12\sqrt{5}}{5}$B.$\frac{24\sqrt{5}}{5}$C.$\frac{12}{5}$D.$\frac{24}{5}$概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析在一個不透明的袋子中裝有3個紅球、2個黃球和1個藍(lán)球，這些球除顏色外完全相同。從中隨機(jī)摸出2個球，摸到1紅1黃的概率是（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$綜合實(shí)踐與問題解決如圖，小明在教學(xué)樓B處測得旗桿頂端A的仰角為30°，測得旗桿底部C的俯角為45°，若教學(xué)樓高度BD=10米，則旗桿AC的高度為（）A.$10(\sqrt{3}+1)$米B.$10\sqrt{3}$米C.$10(\sqrt{3}-1)$米D.20米二、填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）數(shù)與式的運(yùn)算計(jì)算：$(-2)^{-1}+\sqrt{12}-|\sqrt{3}-2|=$_________。因式分解與代數(shù)變形分解因式：$x^3y-4xy^3=$_________。幾何計(jì)算與推理如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A=50°，則∠BOC的度數(shù)為_________。函數(shù)圖像與性質(zhì)已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-1，3）和（2，-3），則關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集為_________。數(shù)學(xué)建模與實(shí)際應(yīng)用某型號無人機(jī)的飛行高度h（米）與飛行時間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系為h=-t2+12t+40，當(dāng)無人機(jī)飛行高度達(dá)到最高時，飛行時間為_________分鐘。數(shù)據(jù)分析與圖表解讀某班50名學(xué)生參加"數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評"，成績分為A、B、C、D四個等級，對應(yīng)人數(shù)比為3:4:2:1，則D等級的學(xué)生人數(shù)為_________。幾何綜合與動態(tài)問題在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上運(yùn)動，當(dāng)△ADE為等腰三角形時，CE的長度為_________。規(guī)律探究與創(chuàng)新思維觀察下列等式：$1^3=1^2$$1^3+2^3=3^2$$1^3+2^3+3^3=6^2$$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$...根據(jù)規(guī)律，第n個等式為_________。三、解答題（本大題共8小題，共70分）基礎(chǔ)運(yùn)算與代數(shù)推理（8分）先化簡，再求值：$\left(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}-\frac{x-2}{x+2}\right)\div\frac{x}{x-2}$，其中$x=\sqrt{3}-2$。幾何證明與邏輯推理（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E。（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB=10，BC=12，求DE的長。概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析（8分）為了解"雙減"政策下學(xué)生課后作業(yè)完成情況，某學(xué)校隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（1）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖；（2）若該校共有1200名學(xué)生，估計(jì)每天完成作業(yè)時間在"1-1.5小時"的學(xué)生人數(shù)；（3）從每天完成作業(yè)時間為"0.5小時以內(nèi)"的4名學(xué)生（2男2女）中隨機(jī)抽取2人，求恰好抽到1男1女的概率。函數(shù)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模（9分）某商店銷售一種進(jìn)價為20元/件的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系y=-2x+100。（1）求商店每天銷售該商品的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若銷售單價不低于30元且不高于45元，求商店每天獲得的最大利潤。幾何綜合與動態(tài)探究（9分）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D運(yùn)動，速度為1cm/s；同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B運(yùn)動，速度為2cm/s，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜4）。（1）用含t的代數(shù)式表示線段PD和BQ的長度；（2）當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？（3）是否存在某一時刻t，使△PQD為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由。數(shù)學(xué)文化與綜合實(shí)踐（8分）（1）《周髀算經(jīng)》中記載："勾廣三，股修四，徑隅五。"意思是：直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，則斜邊為5。請用本學(xué)期所學(xué)知識證明這一結(jié)論。（2）利用勾股定理解決問題：如圖，某小區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草坪，每平方米草坪費(fèi)用為50元，求種植草坪的總費(fèi)用。二次函數(shù)與動態(tài)幾何（9分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）和C（0，3）。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，且在x軸上方，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E，求線段PE的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)PE取得最大值時，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△PQE為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。綜合實(shí)踐與創(chuàng)新應(yīng)用（10分）問題背景：在數(shù)學(xué)活動課上，老師提出問題"如何測量學(xué)校旗桿的高度"，小明和小紅分別設(shè)計(jì)了不同的方案。方案一（小明）：如圖1，在地面上放置一面鏡子，小明站在點(diǎn)A處，通過鏡子恰好看到旗桿頂端C，測得小明到鏡子的距離AE=2m，鏡子到旗桿的距離BE=10m，小明的眼睛到地面的高度AD=1.6m。方案二（小紅）：如圖2，在旗桿旁立一根