2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)極限思想感知試卷一、選擇題（每題3分，共30分）戰(zhàn)國(guó)時(shí)期《莊子·天下篇》中記載“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，描述的是一根木棒每天截取一半的過(guò)程。若木棒初始長(zhǎng)度為1米，第n天剩余長(zhǎng)度為(a_n)米，則下列說(shuō)法正確的是（）A.第3天剩余長(zhǎng)度為(\frac{1}{8})米，且隨著天數(shù)增加，剩余長(zhǎng)度最終變?yōu)?B.第3天剩余長(zhǎng)度為(\frac{1}{6})米，且剩余長(zhǎng)度永遠(yuǎn)大于0C.第3天剩余長(zhǎng)度為(\frac{1}{8})米，且剩余長(zhǎng)度無(wú)限趨近于0但始終不為0D.第3天剩余長(zhǎng)度為(\frac{1}{4})米，且剩余長(zhǎng)度與天數(shù)成反比例關(guān)系魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”。其核心思想是通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積。若圓的半徑為1，設(shè)圓內(nèi)接正n邊形面積為(S_n)，則當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，(S_n)的變化趨勢(shì)是（）A.無(wú)限增大B.無(wú)限趨近于(\pi)C.先增大后減小D.始終等于圓的內(nèi)接正方形面積下列生活情境中，不能用極限思想解釋的是（）A.用無(wú)限多個(gè)小矩形面積之和近似計(jì)算曲邊梯形面積B.百米賽跑中，運(yùn)動(dòng)員沖線瞬間的瞬時(shí)速度C.將循環(huán)小數(shù)(0.\dot{9})表示為分?jǐn)?shù)(\frac{9}{9}=1)D.用四舍五入法對(duì)(3.1415926)取近似值已知數(shù)列(a_n=\frac{n}{n+1})，隨著n的增大，下列說(shuō)法正確的是（）A.(a_n)的值無(wú)限趨近于1，且(a_n>1)B.(a_n)的值無(wú)限趨近于1，且(a_n<1)C.(a_n)的值先增大后減小，最終等于1D.(a_n)的值隨n增大而增大，且無(wú)最大值古希臘數(shù)學(xué)家安提芬在研究“化圓為方”問(wèn)題時(shí)，提出用邊數(shù)不斷增加的圓內(nèi)接正多邊形面積“竭窮”圓面積。這一過(guò)程與下列哪個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)概念的思想一致？（）A.函數(shù)單調(diào)性B.方程的解C.定積分的定義D.概率的古典概型若將邊長(zhǎng)為1的正方形沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩個(gè)等腰直角三角形，再將每個(gè)三角形沿斜邊上的高剪開(kāi)，重復(fù)操作n次后，最小三角形的直角邊長(zhǎng)為（）A.(\frac{1}{2^n})B.(\frac{\sqrt{2}}{2^n})C.(\frac{1}{\sqrt{2}^n})D.(\frac{1}{n})關(guān)于極限思想的歷史發(fā)展，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.中國(guó)古代“割圓術(shù)”和古希臘“窮竭法”都蘊(yùn)含了極限思想的萌芽B.牛頓在研究瞬時(shí)速度時(shí)，將其定義為平均速度當(dāng)時(shí)間間隔無(wú)限趨近于0時(shí)的極限C.柯西首次用(\varepsilon-\delta)語(yǔ)言嚴(yán)格定義極限，徹底消除了幾何直觀的依賴(lài)D.極限思想是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)（如微積分）的橋梁如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，分別以A、B為圓心，以AC、BC為半徑作弧交于點(diǎn)D，形成“曲邊三角形”ACD。若不斷增加類(lèi)似的圓弧分割，當(dāng)分割次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，曲邊三角形的面積將（）A.無(wú)限趨近于(\frac{1}{2})B.無(wú)限趨近于(\frac{\pi}{4})C.始終保持不變D.先減小后增大已知函數(shù)(y=\frac{1}{x})，當(dāng)x的值無(wú)限增大時(shí)，y的值（）A.無(wú)限趨近于0，且y始終大于0B.等于0C.無(wú)限趨近于0，且y可正可負(fù)D.無(wú)限增大下列數(shù)學(xué)概念中，不是基于極限思想定義的是（）A.圓的周長(zhǎng)（當(dāng)內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)的周長(zhǎng)極限）B.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（差商的極限）C.整數(shù)的加法法則D.無(wú)理數(shù)（有理數(shù)序列的極限）二、填空題（每題4分，共20分）劉徽割圓術(shù)的核心是“以直代曲”：用正多邊形的周長(zhǎng)近似代替圓的周長(zhǎng)。若圓半徑為1，內(nèi)接正六邊形周長(zhǎng)為6，內(nèi)接正十二邊形周長(zhǎng)為(6\sqrt{2-\sqrt{3}}\approx6.21)，內(nèi)接正二十四邊形周長(zhǎng)約為6.26，則當(dāng)邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，周長(zhǎng)將無(wú)限趨近于______（結(jié)果保留π）。數(shù)列(a_n=2-\frac{1}{2^n})，當(dāng)n=1時(shí)，(a_1=\frac{3}{2})；當(dāng)n=2時(shí)，(a_2=\frac{7}{4})；當(dāng)n=3時(shí)，(a_3=\frac{15}{8})……隨著n的增大，(a_n)的值無(wú)限趨近于______。莊子“無(wú)窮”思想與古希臘“窮竭法”共同體現(xiàn)了極限思想的本質(zhì)：通過(guò)______認(rèn)識(shí)______，用______逼近______（填“有限”或“無(wú)限”）。如圖2，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，依次連接各邊中點(diǎn)得到小正方形A?B?C?D?，再連接小正方形各邊中點(diǎn)得到更小的正方形A?B?C?D?，重復(fù)這一過(guò)程，則第n個(gè)小正方形的面積為_(kāi)_____，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，該面積無(wú)限趨近于______。某細(xì)胞群體初始數(shù)量為100個(gè)，每天數(shù)量變?yōu)榍耙惶斓?\frac{3}{2})，但每天結(jié)束時(shí)會(huì)被移除50個(gè)。若記第n天結(jié)束時(shí)的細(xì)胞數(shù)量為(b_n)，則(b_1=100\times\frac{3}{2}-50=100)，(b_2=100\times\frac{3}{2}-50=100)……觀察發(fā)現(xiàn)，無(wú)論n如何變化，(b_n)始終等于______，這種現(xiàn)象稱(chēng)為“極限穩(wěn)定”。三、解答題（共50分）（10分）閱讀下列材料，回答問(wèn)題：材料1：17世紀(jì)牛頓在研究自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，將瞬時(shí)速度定義為“當(dāng)時(shí)間間隔Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，平均速度(\frac{\Deltas}{\Deltat})的極限”。材料2：某物體做直線運(yùn)動(dòng)，路程s（米）與時(shí)間t（秒）的關(guān)系為(s=t^2)。（1）分別計(jì)算t=2到t=2.1、t=2到t=2.01、t=2到t=2.001的平均速度；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，推測(cè)物體在t=2秒時(shí)的瞬時(shí)速度。（12分）“無(wú)限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)”是極限思想的經(jīng)典應(yīng)用。例如：將(0.\dot{3})化為分?jǐn)?shù)，可設(shè)(x=0.\dot{3}=0.333\cdots)，則(10x=3.333\cdots)，兩式相減得(9x=3)，即(x=\frac{1}{3})。（1）模仿上述方法，將(0.\dot{6})化為分?jǐn)?shù)；（2）若(0.\dot{9}=0.999\cdots)，用極限思想說(shuō)明為什么(0.\dot{9}=1)；（3）嘗試將(0.1\dot{2})（即0.1222…）化為分?jǐn)?shù)。（14分）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(y=x+1)與x軸交于點(diǎn)A（-1,0），與y軸交于點(diǎn)B（0,1）。（1）計(jì)算△AOB的面積；（2）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BC交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CD交x軸于點(diǎn)E，如此反復(fù)，形成“折線A-B-C-D-E-…”。①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②觀察發(fā)現(xiàn)，隨著折線段數(shù)的增加，折線最終會(huì)無(wú)限趨近于一個(gè)點(diǎn)，推測(cè)該點(diǎn)的坐標(biāo)（不需要證明）。（14分）極限思想在幾何圖形面積計(jì)算中有著廣泛應(yīng)用。如圖4，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，以各邊中點(diǎn)為圓心，1為半徑作半圓，形成“四葉形”陰影區(qū)域。（1）計(jì)算一個(gè)半圓的面積；（2）若用“無(wú)限分割法”將陰影區(qū)域分割為無(wú)數(shù)個(gè)小曲邊三角形，每個(gè)小曲邊三角形的面積可近似為直角三角形面積，當(dāng)分割次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，陰影區(qū)域總面積將無(wú)限趨近于多少？（提示：四個(gè)半圓的面積之和減去正方形面積）四、探究題（共20分）（20分）“分形幾何”是極限思想的藝術(shù)化體現(xiàn)，其中“科赫雪花”的構(gòu)造過(guò)程如下：第0階段：一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形；第1階段：將每條邊三等分，以中間一段為邊向外作等邊三角形，再去掉中間一段，得到一個(gè)有12條邊的圖形；第2階段：對(duì)每條邊重復(fù)第1階段的操作……（1）填寫(xiě)下表：|階段|邊數(shù)|邊長(zhǎng)|周長(zhǎng)||------|------|------|------||0|3|1|3||1|12|(\frac{1}{3})|4||2||||（2）當(dāng)階段數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，科赫雪花的周長(zhǎng)和面積分別有何變化趨勢(shì)？（周長(zhǎng)是否趨近于某個(gè)定值？面積是否趨近于某個(gè)定值？）（3）結(jié)合上述探究，說(shuō)明“無(wú)限過(guò)程”與“有限結(jié)果”之