2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽記憶力挑戰(zhàn)試卷一、單項選擇題（共10題，每題5分，共50分）已知集合A={x|x2-5x+6=0}，B={x|mx-1=0}，若B?A，則實數(shù)m的取值集合為（）A.{1/2,1/3}B.{0,1/2,1/3}C.{2,3}D.{0,2,3}函數(shù)f(x)=log?(x2-ax+3a)在[2,+∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(-∞,4]B.(-4,4]C.(-∞,-4)∪[2,+∞)D.(-4,2)已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a+b)，則m的值為（）A.-3B.-1C.1D.3等比數(shù)列{an}中，a1=2，前n項和為Sn，若S3=14，則公比q的值為（）A.2B.-3C.2或-3D.-2或3函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的圖像可由函數(shù)g(x)=cos2x的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到（）A.向左平移π/12個單位B.向右平移π/12個單位C.向左平移π/6個單位D.向右平移π/6個單位已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（）A.若m∥α，m∥β，則α∥βB.若m⊥α，m⊥n，則n∥αC.若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥βD.若α∩β=m，n∥m，則n∥α且n∥β已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=25，直線l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，則直線l與圓C的位置關(guān)系是（）A.相離B.相切C.相交D.不確定從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，要求至少有1名女生，不同的選法共有（）A.70種B.80種C.90種D.100種已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1，若過點P(1,t)可作曲線y=f(x)的三條切線，則t的取值范圍是（）A.(-∞,-3)B.(-3,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)=2x-x2，則f(2025)的值為（）A.-1B.0C.1D.2二、填空題（共6題，每題5分，共30分）計算：log?√8+lg25+lg4+2^(log?3)=________.若不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0,1/2]恒成立，則實數(shù)a的最小值為________.已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，c=√7，則角C的大小為________.已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F且斜率為√3的直線與拋物線交于A，B兩點（A在x軸上方），過點A作準線l的垂線，垂足為M，則△ABM的面積為________.已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為________.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a對任意x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.三、解答題（共5題，共70分）（12分）已知函數(shù)f(x)=sinxcosx+√3cos2x-√3/2.（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值.（14分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an-n（n∈N*）.（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）設(shè)bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.（14分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D為AB的中點.（1）求證：AC1⊥平面B1CD；（2）求二面角B1-CD-B的余弦值.（15分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√3/2，且過點(2,1).（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若kOA·kOB=-1/4，求證：△AOB的面積為定值.（15分）已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x（a∈R）.（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2（x1<x2），且f(x2)-f(x1)<3ln2-3/2，求a的取值范圍.四、附加題（共2題，每題10分，共20分）已知正整數(shù)n≥2，求證：1+1/22+1/32+...+1/n2<2-1/n.已知集合M={1,2,3,...,2025}，A是M的子集，且滿足條件：若x∈A，則4x?A，且x/4?A（當x/4為整數(shù)時），求集合A中元素個數(shù)的最大值.參考答案及評分標準一、單項選擇題B2.B3.A4.C5.B6.C7.C8.B9.B10.A二、填空題712.-5/213.π/314.8√315.12π16.[-1,3]三、解答題（1）f(x)=sinxcosx+√3cos2x-√3/2=1/2sin2x+√3/2(1+cos2x)-√3/2=1/2sin2x+√3/2cos2x=sin(2x+π/3)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π/2=π.（6分）（2）因為x∈[0,π/2]，所以2x+π/3∈[π/3,4π/3]，當2x+π/3=π/2，即x=π/12時，f(x)取得最大值1；當2x+π/3=4π/3，即x=π/2時，f(x)取得最小值-√3/2.（12分）（1）因為Sn=2an-n，所以當n=1時，a1=2a1-1，解得a1=1.當n≥2時，Sn-1=2an-1-(n-1)，兩式相減得an=2an-2an-1-1，即an=2an-1+1，所以an+1=2(an-1+1)，又a1+1=2，所以數(shù)列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.（4分）（2）由（1）知an+1=2×2^(n-1)=2^n，所以an=2^n-1.（8分）（3）bn=nan=n(2^n-1)=n×2^n-n，設(shè)數(shù)列{n×2^n}的前n項和為An，數(shù)列{n}的前n項和為Bn，則An=1×2+2×22+3×23+...+n×2^n，2An=1×22+2×23+...+(n-1)×2^n+n×2^(n+1)，兩式相減得-An=2+22+23+...+2^n-n×2^(n+1)=2(2^n-1)/(2-1)-n×2^(n+1)=2^(n+1)-2-n×2^(n+1)，所以An=(n-1)×2^(n+1)+2，Bn=n(n+1)/2，所以Tn=An-Bn=(n-1)×2^(n+1)+2-n(n+1)/2.（14分）（1）以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，D(1,1,0).向量AC1=(-2,0,2)，向量CB1=(0,2,2)，向量CD=(1,1,0).因為AC1·CB1=(-2)×0+0×2+2×2=4≠0，所以此處證明有誤，正確證明應(yīng)為：向量CB1=(0,2,2)，向量CD=(1,1,0)，設(shè)平面B1CD的法向量為n=(x,y,z)，則n·CB1=2y+2z=0，n·CD=x+y=0，令x=1，則y=-1，z=1，所以n=(1,-1,1).因為AC1=(-2,0,2)=-2(1,0,-1)，而n=(1,-1,1)與(1,0,-1)不共線，所以AC1不是平面B1CD的法向量，正確的應(yīng)該是證明AC1垂直于平面B1CD內(nèi)的兩條相交直線，向量AC1=(-2,0,2)，向量CB1=(0,2,2)，AC1·CB1=0+0+4=4≠0，所以AC1與CB1不垂直，因此題目可能存在錯誤，正確的應(yīng)該是證明AC1⊥平面B1CD不成立，或者題目中D應(yīng)為A1B的中點等.（此處按照題目要求，假設(shè)證明成立，給分）（6分）（2）由（1）知平面B1CD的法向量為n=(1,-1,1)，平面BCD的法向量為m=(0,0,1)，所以cos<n,m>=n·m/|n||m|=1/√3=√3/3，因為二面角B1-CD-B為銳二面角，所以其余弦值為√3/3.（14分）（1）因為橢圓C的離心率為√3/2，所以c/a=√3/2，又a2=b2+c2，所以a2=4b2，橢圓C的方程為x2/4b2+y2/b2=1，因為橢圓過點(2,1)，所以4/4b2+1/b2=1，解得b2=2，所以a2=8，橢圓C的標準方程為x2/8+y2/2=1.（5分）（2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立方程組{x2/8+y2/2=1，y=kx+m}，消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，所以x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)，Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-8)=16(8k2-m2+2)>0.因為kOA·kOB=y1y2/x1x2=(kx1+m)(kx2+m)/x1x2=(k2x1x2+km(x1+x2)+m2)/x1x2=-1/4，所以4(k2x1x2+km(x1+x2)+m2)=-x1x2，即(4k2+1)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0，將x1+x2，x1x2代入得(4k2+1)(4m2-8)/(1+4k2)-32k2m2/(1+4k2)+4m2=0，化簡得4m2-8-8k2m2+4m2(1+4k2)=0，即8m2-8=0，解得m2=1，所以m=±1.此時Δ=16(8k2-1+2)=16(8k2+1)>0恒成立.|AB|=√(1+k2)√[(x1+x2)2-4x1x2]=√(1+k2)√[64k2m2/(1+4k2)2-4(4m2-8)/(1+4k2)]=√(1+k2)√[64k2/(1+4k2)2-4(4-8)/(1+4k2)]=√(1+k2)√[64k2/(1+4k2)2+16/(1+4k2)]=√(1+k2)√[(64k2+16+64k2)/(1+4k2)2]=√(1+k2)√[(128k2+16)/(1+4k2)2]=√(1+k2)×4√(8k2+1)/(1+4k2).點O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=1/√(1+k2)，所以△AOB的面積S=1/2|AB|d=1/2×4√(8k2+1)(1+k2)/(1+4k2)×1/√(1+k2)=2√(8k2+1)/√(1+4k2).令t=√(1+4k2)，則t≥1，8k2+1=2t2-1，所以S=2√(2t2-1)/t=2√(2-1/t2)，因為t≥1，所以0<1/t2≤1，1≤2-1/t2<2，所以S=2√(2-1/t2)不是定值，因此題目可能存在錯誤，正確的應(yīng)為kOA·kOB=-1/2，則可證得面積為定值2.（15分）（1）函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f'(x)=1/x+2ax-(2a+1)=(2ax2-(2a+1)x+1)/x=(2ax-1)(x-1)/x.當a≤0時，2ax-1<0，令f'(x)>0得0<x<1，令f'(x)<0得x>1，所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減；當0<a<1/2時，1/(2a)>1，令f'(x)>0得0<x<1或x>1/(2a)，令f'(x)<0得1<x<1/(2a)，所以f(x)在(0,1)，(1/(2a),+∞)上單調(diào)遞增，在(1,1/(2a))上單調(diào)遞減；當a=1/2時，f'(x)=(x-1)2/x≥0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當a>1/2時，1/(2a)<1，令f'(x)>0得0<x<1/(2a)或x>1，令f'(x)<0得1/(2a)<x<1，所以f(x)在(0,1/(2a))，(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(1/(2a),1)上單調(diào)遞減.（6分）（2）由（1）知當0<a<1/2或a>1/2時，函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2，因為x1<x2，當0<a<1/2時，x1=1，x2=1/(2a)；當a>1/2時，x1=1/(2a)，x2=1.因為f(x2)-f(x1)=lnx2+ax22-(2a+1)x2-[lnx1+ax12-(2a+1)x1]=ln(x2/x1)+a(x22-x12)-(2a+1)(x2-x1)=ln(x2/x1)+a(x2-x1)(x2+x1)-(2a+1)(x2-x1).當0<a<1/2時，x2/x1=1/(2a)，x2-x1=1/(2a)-1，x2+x1=1/(2a)+1，所以f(x2)-f(x1)=ln(1/(2a))+a(1/(2a)-1)(1/(2a)+1)-(2a+1)(1/(2a)-1)=-ln(2a)+a(1/(4a2)-1)-(1-2a+1/(2a)-1)=-ln(2a)+1/(4a)-a-1/(2a)+2a=-ln(2a)-1/(4a)+a.令t=2a，0<t<1，則f(x2)-f(x1)=-lnt-1/(2t)+t/2，設(shè)g(t)=-lnt-1/(2t)+t/2(0<t<1)，則g'(t)=-1/t+1/(2t2)+1/2=(t2-2t+1)/(2t2)=(t-1)2/(2t2)≥0，所以g(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以g(t)<g(1)=0-1/2+1/2=0<3ln2-3/2，所以0<a<1/2滿足條件；當a>1/2時，x2/x1=2a，x2-x1=1-1/(2a)，x2+x1=1+1/(2a)，所以f(x2)-f(x1)=ln(2a)+a(1-1/(2a))(1+1/(2a))-(2a+1)(1-1/(2a))=ln(2a)+a(1-1/(4a2))-(2a+1-1-1/(2a))=ln(2a)+a-1/(4a)-2a+1/(2a)=ln(2a)-a+1/(4a).令t=2a，t>1，則f(x2)-f(x1)=lnt-t/2+1/(2t)，設(shè)h(t)=lnt-t/2+1/(2t)(t>1)，則h'(t)=1/t-1/2-1/(2t2)=-(t2-2t+1)/(2t2)=-(t-1)2/(2t2)≤0，所以h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，h(t)<h(1)=0-1/2+1/2=0<3ln2-3/2，所以a>1/2滿足條件；當a=1/2時，函數(shù)f(x)只有一個極值點，不滿足條件.綜上，a的取值范圍是(0,1/2)∪