數(shù)學(xué)競(jìng)賽考研真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為：A.3B.-3C.2D.-2答案：A2.極限lim(x→0)(sinx/x)(1/cosx)的值為：A.1B.0C.∞D(zhuǎn).-1答案：A3.級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1/n^2)的和為：A.π^2/6B.π^2/12C.π/6D.π/12答案：A4.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均值是：A.e-1B.e/2C.1D.e答案：B5.若向量a=(1,2,3)和向量b=(2,-1,1)，則向量a和向量b的夾角余弦值為：A.1/√14B.-1/√14C.1/2D.-1/2答案：A6.方程x^2+y^2-2x+4y+1=0表示的圖形是：A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線答案：A7.不等式|2x-1|<3的解集為：A.(-1,2)B.(-2,1)C.(1,4)D.(-4,-1)答案：C8.函數(shù)f(x)=ln(x^2+1)在x=0處的導(dǎo)數(shù)為：A.0B.1C.-1D.2答案：B9.若矩陣A=[[1,2],[3,4]]，則矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T為：A.[[1,3],[2,4]]B.[[2,4],[1,3]]C.[[3,1],[4,2]]D.[[4,2],[3,1]]答案：A10.設(shè)事件A和事件B的概率分別為P(A)=1/3和P(B)=1/4，且A和B互斥，則P(A∪B)的值為：A.1/7B.1/12C.5/12D.7/12答案：C二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的有：A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=sinxD.f(x)=e^x答案：BCD2.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有：A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n/nD.∑(n=1to∞)(1/n^3)答案：BD3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上連續(xù)的有：A.f(x)=1/xB.f(x)=sinxC.f(x)=x^2D.f(x)=tanx答案：BC4.下列向量組中，線性無(wú)關(guān)的有：A.(1,0,0)B.(0,1,0)C.(0,0,1)D.(1,1,1)答案：ABC5.下列方程中，表示雙曲線的有：A.x^2/a^2-y^2/b^2=1B.y^2/a^2-x^2/b^2=1C.x^2+y^2=1D.x^2-y^2=1答案：ABD6.下列不等式中，成立的有：A.e^x>x+1(x>0)B.lnx<x-1(x>0)C.sinx<x(x>0)D.cosx>1-x^2/2(x>0)答案：ABD7.下列函數(shù)中，在x=0處取得極小值的有：A.f(x)=x^2B.f(x)=-x^2C.f(x)=x^3D.f(x)=-x^3答案：AB8.下列矩陣中，可逆的有：A.[[1,0],[0,1]]B.[[1,2],[2,4]]C.[[3,0],[0,3]]D.[[0,1],[1,0]]答案：ACD9.下列事件中，互斥的有：A.拋硬幣正面朝上B.拋硬幣反面朝上C.拋骰子得到1點(diǎn)D.拋骰子得到6點(diǎn)答案：AB10.下列說(shuō)法中，正確的有：A.增函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于0B.減函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于0C.常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0D.導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)答案：ABC三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)f(x)=x^3在x=0處取得極值，正確。2.極限lim(x→0)(sinx/x)=1，正確。3.級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1/n)發(fā)散，正確。4.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均值是e/2，正確。5.向量a=(1,2,3)和向量b=(2,-1,1)的夾角為銳角，正確。6.方程x^2+y^2-2x+4y+1=0表示的圖形是圓，正確。7.不等式|2x-1|<3的解集為(1,4)，正確。8.函數(shù)f(x)=ln(x^2+1)在x=0處的導(dǎo)數(shù)為1，正確。9.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的轉(zhuǎn)置矩陣A^T為[[1,3],[2,4]]，正確。10.設(shè)事件A和事件B的概率分別為P(A)=1/3和P(B)=1/4，且A和B互斥，則P(A∪B)的值為5/12，正確。四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的必要條件和充分條件。答：必要條件是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0或?qū)?shù)不存在。充分條件可以通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)判斷，若二階導(dǎo)數(shù)大于0，則取得極小值；若二階導(dǎo)數(shù)小于0，則取得極大值。2.簡(jiǎn)述向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義。答：向量組線性相關(guān)是指存在不全為0的系數(shù)，使得這些系數(shù)與對(duì)應(yīng)向量的線性組合為0。向量組線性無(wú)關(guān)是指只有全為0的系數(shù)，使得這些系數(shù)與對(duì)應(yīng)向量的線性組合為0。3.簡(jiǎn)述雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何意義。答：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/a^2-x^2/b^2=1。幾何意義是表示平面上到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。4.簡(jiǎn)述事件互斥和事件獨(dú)立的定義。答：事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生。事件獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生概率。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的單調(diào)性和極值。答：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得到x=±1。在區(qū)間[-2,-1)上，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；在區(qū)間(-1,1)上，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；在區(qū)間(1,2]上，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。因此，x=-1處取得極大值，x=1處取得極小值。2.討論矩陣A=[[1,2],[3,4]]的可逆性，并求其逆矩陣。答：首先計(jì)算行列式det(A)=14-23=-2，行列式不為0，因此矩陣A可逆。逆矩陣A^(-1)=(-1/det(A))[[4,-2],[-3,1]]=[[2,-1],[1.5,-0.5]]。3.討論級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1/n^p)的收斂性，其中p為正實(shí)數(shù)。答：當(dāng)p>1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)0<p≤1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)p≤0時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。4.討論