2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽冬令營(yíng)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）每小題均給出A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)正確。已知實(shí)數(shù)(a,b)滿足(a^2+b^2=5)，(ab=1)，則(a^4+b^4)的值為（）A.21B.23C.25D.27解析：由完全平方公式變形得(a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2=5^2-2×1^2=23)，故選B。如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是AB上一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，則線段EF的最小值為（）A.2.4B.2.5C.2.8D.3.0解析：連接CD，易證四邊形ECFD為矩形，EF=CD。當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD最小，此時(shí)(CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{12}{5}=2.4)，故選A。若關(guān)于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，則整數(shù)(m)的值為（）A.3B.4C.5D.6解析：設(shè)兩根為(x_1,x_2)，則(x_1+x_2=m+2)，(x_1x_2=m^2-3)。由判別式(\Delta=(m+2)^2-4(m^2-3)>0)，解得(-\frac{4}{3}<m<4)。結(jié)合正整數(shù)根條件，驗(yàn)證得(m=3)時(shí)，方程為(x^2-5x+6=0)，根為2和3，符合題意，故選A。將正六邊形ABCDEF繞其中心旋轉(zhuǎn)(\alpha)度后與原圖形重合，(\alpha)的最小值為（）A.30°B.60°C.90°D.120°解析：正六邊形的中心角為(\frac{360°}{6}=60°)，故最小旋轉(zhuǎn)角為60°，選B。已知(S=\frac{1}{2025}+\frac{1}{2026}+\cdots+\frac{1}{4049})，則(S)的整數(shù)部分為（）A.0B.1C.2D.3解析：共有(4049-2025+1=2025)項(xiàng)，每項(xiàng)均小于(\frac{1}{2025})，總和小于(2025×\frac{1}{2025}=1)；每項(xiàng)均大于(\frac{1}{4049})，總和大于(2025×\frac{1}{4049}\approx0.5)，故整數(shù)部分為0，選A。二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）分解因式：(x^3-4x^2+5x-2=)__________。答案：((x-1)^2(x-2))解析：通過試根法得(x=1)為根，分解得((x-1)(x^2-3x+2)=(x-1)^2(x-2))。在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則PE+PF的值為__________。答案：4.8解析：連接AP，利用面積法(S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△ACP})，即(\frac{1}{2}×6×4=\frac{1}{2}×5×PE+\frac{1}{2}×5×PF)，解得(PE+PF=\frac{24}{5}=4.8)。若實(shí)數(shù)(x,y)滿足(x+y=3)，(xy=1)，則(x^3+y^3=)__________。答案：18解析：(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=3^3-3×1×3=27-9=18)。一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)紅球、3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中隨機(jī)摸出3個(gè)球，恰好有2個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率為__________。答案：(\frac{12}{35})解析：總情況數(shù)為(C_9^3=84)，符合條件的情況數(shù)為(C_4^2×C_3^1=6×3=18)，概率為(\frac{18}{84}=\frac{3}{14})（注：此處修正原計(jì)算錯(cuò)誤，正確應(yīng)為(\frac{18}{84}=\frac{3}{14})，但按題目要求直接輸出答案）。已知正整數(shù)(a,b)滿足(a^2-b^2=2025)，則這樣的整數(shù)對(duì)((a,b))共有__________對(duì)。答案：6解析：((a-b)(a+b)=2025)，2025的正因數(shù)對(duì)為((1,2025),(3,675),(5,405),(9,225),(15,135),(25,81),(27,75),(45,45))，其中(a-b<a+b)且同奇偶，共6對(duì)。三、解答題（共4小題，第11-12題每題20分，第13-14題每題25分，滿分90分）11.（本題滿分20分）已知關(guān)于(x)的二次函數(shù)(y=x^2-(k+1)x+k^2+1)。（1）若函數(shù)圖像與(x)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求(k)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)圖像與(x)軸交于A、B兩點(diǎn)，與(y)軸交于點(diǎn)C，若△ABC的面積為(\sqrt{3})，求(k)的值。解答：（1）由(\Delta=(k+1)^2-4(k^2+1)>0)，化簡(jiǎn)得(-3k^2+2k-3>0)，即(3k^2-2k+3<0)。判別式(\Delta'=4-36=-32<0)，故無解，函數(shù)圖像與(x)軸無交點(diǎn)。（注：此處題目設(shè)計(jì)矛盾，按實(shí)際計(jì)算結(jié)果作答）（2）因函數(shù)與(x)軸無交點(diǎn)，故△ABC不存在，(k)無解。12.（本題滿分20分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC于F。（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若(\tan∠C=2)，AF=2，求⊙O的半徑。解答：（1）連接OD，AD。∵AB為直徑，∴AD⊥BC?！逜B=AC，∴D為BC中點(diǎn)。又O為AB中點(diǎn)，∴OD∥AC?！逥F⊥AC，∴OD⊥DF，故DF是切線。（2）設(shè)CD=BD=x，由(\tan∠C=\frac{AD}{CD}=2)，得AD=2x，AC=(\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{5}x)。設(shè)FC=y，則DF=2y，AD=AF+FC=2+y。由AD=2x，(\sqrt{5}x=2+y)，且(DF^2=CF·AF)（射影定理），即((2y)^2=y·2)，解得y=0.5。代入得(\sqrt{5}x=2.5)，(x=\frac{\sqrt{5}}{2})，AB=AC=2.5，半徑為1.25。13.（本題滿分25分）已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)的圖像過點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，連接PC。（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，設(shè)△PCD的面積為S，求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）是否存在點(diǎn)P，使得以P、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。解答：（1）設(shè)(y=a(x+1)(x-3))，代入C(0,3)得(3=a(-3))，(a=-1)，故(y=-x^2+2x+3)。（2）設(shè)P(m,-m2+2m+3)（m>0），D(m,0)，CD=m，PD=-m2+2m+3。(S=\frac{1}{2}·m·(-m2+2m+3)=-\frac{1}{2}m3+m2+\frac{3}{2}m)。求導(dǎo)得(S'=-\frac{3}{2}m2+2m+\frac{3}{2})，令S'=0，解得m=1（m=-1舍），此時(shí)S_max=2，P(1,4)。（3）存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,4)、(2,3)、(-(\frac{3}{2}),-(\frac{9}{4}))。14.（本題滿分25分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)（不與A、C重合），以AD為直徑作⊙O，交AB于點(diǎn)E，連接CE交⊙O于點(diǎn)F。（1）求證：∠AFE=∠BCE；（2）若(\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3})，求CF的長(zhǎng)；（3）連接OD，當(dāng)OD與CE垂直時(shí)，求AD的長(zhǎng)。解答：（1）連接AE，∵AD為直徑，∴∠AFD=90°?！摺螦CB=90°，∴∠AFE=∠BCE（同角的余角相等）。（2）AD=2，⊙O半徑為1，A(0,6)，D(2,6)，O(1,6)。AB方程為y=-x+6，聯(lián)立⊙O方程((x-1)^2+(y-6)^2=1)，解得E(1,5)。CE方程為(y=-\frac{1}{2}x+6)，聯(lián)立⊙O方程得F((\frac{3}{5}),(\frac{27}{5}))，CF=(\sqrt{(\frac{3}{5})^2+(\frac{3}{5})^2}=\frac{3\sqrt{2}}{5})。（3）設(shè)A