第06講有理數(shù)的乘方與混合運(yùn)算（知識(shí)點(diǎn)+題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）目錄知識(shí)梳理1.乘方的意義2.乘方的運(yùn)算3.的意義4.用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)5.還原用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)6.有理數(shù)混合運(yùn)算的法則7.“24點(diǎn)”游戲8.利用計(jì)算器進(jìn)行有理數(shù)的基本運(yùn)算9.準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)題型鞏固一、有理數(shù)冪的概念理解二、有理數(shù)的乘方運(yùn)算三、有理數(shù)乘方逆運(yùn)算四、乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律五、乘方的應(yīng)用六、用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)七、將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)八、算“24”點(diǎn)九、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算十、程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算十一、計(jì)算器——有理數(shù)十二、求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)十三、求近似數(shù)的精確度十四、近似數(shù)推斷取值范圍強(qiáng)化訓(xùn)練單選題（10）填空題（8）解答題（8）知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)1.乘方的意義1.乘方的意義?求n個(gè)相同因數(shù)a的積的運(yùn)算叫作乘方，乘方的結(jié)果叫作冪.一般地，

個(gè)記作，其中叫作底數(shù)，n叫作指數(shù).讀作“的n次冪”(或“的n次方”).2.乘方與乘法的關(guān)系表示n個(gè)相同因數(shù)的積，其中相同的因數(shù)是底數(shù)，因數(shù)的個(gè)數(shù)是指數(shù)，因此，可以把相同因數(shù)的乘法轉(zhuǎn)化為乘方或把乘方轉(zhuǎn)化為乘法.知識(shí)點(diǎn)2.乘方的運(yùn)算有理數(shù)乘方的符號(hào)法則有理數(shù)的乘方運(yùn)算有理數(shù)的乘方運(yùn)算同有理數(shù)的乘法運(yùn)算一樣分兩步走：一是確定結(jié)果的符號(hào)；二是確定結(jié)果的絕對(duì)值.，－及(－)的異同點(diǎn)與聯(lián)系項(xiàng)目－(－)不同點(diǎn)意義不同n個(gè)相乘的積n個(gè)相乘的積的相反數(shù)n個(gè)－相乘的積底數(shù)不同－相同點(diǎn)指數(shù)都是n聯(lián)系n為正奇數(shù)－=(－)，且－，(－)均與互為相反數(shù)(≠0)n為正偶數(shù)=(－)，且，(－)均與－互為相反數(shù)(≠0)n為正整數(shù)=－=(－)=0(=0)知識(shí)點(diǎn)3.的意義表示1后面有n個(gè)0的數(shù)，即特別解讀表示n個(gè)10相乘的積.知識(shí)點(diǎn)4.用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)科學(xué)記數(shù)法定義一般地，一個(gè)大于10的數(shù)可以表示成×的形式，其中1≤<10，n是正整數(shù)，這種記數(shù)方法叫作科學(xué)記數(shù)法確定的方法將原數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移到最高數(shù)位的數(shù)字后邊即可得到的值確定n的方法①用整數(shù)的位數(shù)來(lái)確定n，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1.②按小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)來(lái)確定n，小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)了幾位，n就等于幾知識(shí)點(diǎn)5.還原用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原方法?把用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)×還原成原數(shù)時(shí)，只需把中的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位，并去掉乘號(hào)和即可，若向右移動(dòng)的位數(shù)不夠，則用0補(bǔ)足.注意還原時(shí)，不要弄錯(cuò)原數(shù)的位數(shù).知識(shí)點(diǎn)6.有理數(shù)混合運(yùn)算的法則1.有理數(shù)的混合運(yùn)算法則先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的.2.有理數(shù)的混合運(yùn)算需注意的幾個(gè)問(wèn)題(1)有理數(shù)的運(yùn)算，加減法是第一級(jí)運(yùn)算；乘除法是第二級(jí)運(yùn)算；乘方是第三級(jí)運(yùn)算.一個(gè)式子中含有多級(jí)運(yùn)算時(shí)，先做第三級(jí)運(yùn)算，再做第二級(jí)運(yùn)算，最后做第一級(jí)運(yùn)算，有括號(hào)時(shí)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，一般按照小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)的順序進(jìn)行運(yùn)算.(2)靈活運(yùn)用運(yùn)算律，改變運(yùn)算順序，可以簡(jiǎn)化計(jì)算.知識(shí)點(diǎn)7.“24點(diǎn)”游戲“24點(diǎn)”游戲是這樣進(jìn)行的：從一副撲克牌(去掉大、小王)中任意抽取4張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算(每張牌必須用一次且只能用一次，可以加括號(hào))，使得運(yùn)算結(jié)果為24或－24.其中紅色撲克牌代表負(fù)數(shù),黑色撲克牌代表正數(shù)，A，J，Q，K分別代表1，11，12，13.由于任意取出的四張牌上的數(shù)字經(jīng)過(guò)什么運(yùn)算才能得到24或－24具有不確定性，因此大家要靈活運(yùn)用有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，要多嘗試、多探索.知識(shí)點(diǎn)8.利用計(jì)算器進(jìn)行有理數(shù)的基本運(yùn)算1.利用計(jì)算器進(jìn)行有理數(shù)的基本運(yùn)算利用計(jì)算器進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算時(shí)，遵循“從左到右”的原則進(jìn)行，即與算式的書(shū)寫(xiě)順序相同，尤其是有理數(shù)的混合運(yùn)算，也是從左到右，而無(wú)需考慮“先乘方，再乘除，最后加減”的運(yùn)算順序.開(kāi)機(jī)2.使用計(jì)算器進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算的步驟與方法開(kāi)機(jī)(1)開(kāi)機(jī)：按開(kāi)機(jī)鍵，以接通計(jì)算器的電源；(2)輸入：按照算式的書(shū)寫(xiě)順序輸入數(shù)據(jù)，即從左往右依次輸入，最后按EXE鍵顯示計(jì)算結(jié)果；(3)關(guān)機(jī)：先按鍵，再按AC鍵，關(guān)閉計(jì)算器.知識(shí)點(diǎn)9.準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)1.準(zhǔn)確數(shù)與實(shí)際完全相符的數(shù)，稱為準(zhǔn)確數(shù).2.近似數(shù)與實(shí)際非常接近，但存在一定偏差的數(shù)叫近似數(shù).在實(shí)際問(wèn)題中有的量不可能或沒(méi)有必要用準(zhǔn)確數(shù)表示，而用一個(gè)有理數(shù)近似地表示出來(lái)，這個(gè)數(shù)就是這個(gè)量的近似數(shù)(或近似值).3.近似數(shù)的精確度近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度，用精確度表示.一個(gè)數(shù)四舍五入到哪一位，就稱這個(gè)數(shù)精確到哪一位，如2=2.333…，結(jié)果取2，就說(shuō)精確到個(gè)位；取2.3，就說(shuō)精確到十分位(或精確到0.1)；取2.33，就說(shuō)精確到百分位(或精確到0.01).例如：48000精確到萬(wàn)位，則48000≈5×.4.近似數(shù)的精確度的表達(dá)方法(1)用數(shù)位表示，如精確到百分位，千分位等；(2)用小數(shù)表示，如精確到0.1，0.01等；(3)對(duì)帶有單位的數(shù)用單位表示，如精確到kg，m等.題型鞏固題型一、有理數(shù)冪的概念理解1．（24-25七年級(jí)上·河北張家口·期末）化簡(jiǎn)＝（）A． B． C． D．2．（24-25七年級(jí)上·福建三明·期中）中，底數(shù)是．3．概念學(xué)習(xí)規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）記作，讀作“a的圈n次方”．初步探究（1）直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：=，=；（2）關(guān)于除方，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；

B．對(duì)于任何正整數(shù)n，1的圈n次方都等于1；

C．

D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)．深入思考：我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？（1）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫(xiě)成冪的形式．的圈4次方＝；5的圈5次方＝；的圈6次方＝．（2）想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫(xiě)成冪的形式等于________；（3）算一算：．題型二、有理數(shù)的乘方運(yùn)算4．（24-25七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）下列式子中，正確的是（

）A． B．C． D．5．（2025七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：；；；．6．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．題型三、有理數(shù)乘方逆運(yùn)算7．（22-23七年級(jí)上·廣東東莞·期中），由此你能算出（

）A．6 B．8 C． D．十分麻煩8．如果一個(gè)數(shù)的平方是，那么這個(gè)數(shù)是．9．觀察下面三行數(shù)：2，-4，8，-16，32，-64，……；①-4，2，-10，14，-34，62，……；②，1，-2，4，-8，16，…….③(1)用式子表示第①行數(shù)的第20個(gè)數(shù)字：___________；(2)用式子表示第②行數(shù)的第21個(gè)數(shù)字：___________；(3)用式子表示第③行數(shù)的第n個(gè)數(shù)字：___________；(4)是否存在正整數(shù)n，取每行的第n個(gè)數(shù)字相加的和為254，若存在，求n的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型四、乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律10．對(duì)于任意有理數(shù)a，下列各式不一定成立的是（

）A． B． C． D．11．（23-24七年級(jí)上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）若，則，．題型五、乘方的應(yīng)用12．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）若，則的值是（

）A． B．1 C． D．13．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非”．如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片依次分割為若干部分，部分①的面積是，部分②的面積是，部分③的面積是，以此類推，第部分的面積是（是大于1的整數(shù)）．請(qǐng)你用“數(shù)形結(jié)合”的思想計(jì)算．14．（24-25七年級(jí)上·福建莆田·期中）計(jì)算機(jī)常用二進(jìn)制來(lái)表示字符代碼，它是用0和1兩個(gè)數(shù)來(lái)表示數(shù)，滿二進(jìn)一，例：二進(jìn)制數(shù)10000轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)：；其他進(jìn)制也有類似的算法．(1)根據(jù)以上信息，將二進(jìn)制數(shù)“1011”轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)．(2)中國(guó)古代《易經(jīng)》一書(shū)中記載，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿五進(jìn)一，用來(lái)記錄采集到的野果數(shù)量．請(qǐng)計(jì)算采集到的野果數(shù)量．題型六、用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)15．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）原子鐘是以原子的規(guī)則振動(dòng)為基礎(chǔ)的各種守時(shí)裝置的統(tǒng)稱，其中氫脈澤原子鐘的精度達(dá)到了萬(wàn)年誤差不超過(guò)．?dāng)?shù)據(jù)萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）.A． B． C． D．16．（24-25七年級(jí)上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）法國(guó)奧運(yùn)會(huì)期間，巴黎總計(jì)接待訪客數(shù)量約1120萬(wàn)人次．其中數(shù)據(jù)1120萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為17．（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：(1)__________________；(2)__________________；(3)__________________．題型七、將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)18．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列求原數(shù)不正確的是（

）A． B．C． D．19．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)原來(lái)各是什么數(shù)？；；．20．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）把下列用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的原數(shù)填在橫線上．(1)___________．(2)___________．(3)___________(4)___________．題型八、算“24”點(diǎn)21．（24-25七年級(jí)上·湖北武漢·開(kāi)學(xué)考試）下面各組數(shù)中，不能通過(guò)加、減、乘、除（含括號(hào)）運(yùn)算得到24的是（）A．1，1，7，7 B．2，2，8，8C．1，1，2，8 D．1，1，4，622．（24-25七年級(jí)上·內(nèi)蒙古烏?！るA段練習(xí)）請(qǐng)你在2，，4，，6中任選四個(gè)數(shù)，利用有理數(shù)的混合運(yùn)算，使得這四個(gè)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果為24，請(qǐng)列出2種表達(dá)式23．（24-25七年級(jí)上·廣東佛山·期中）24點(diǎn)游戲是一種使用撲克牌來(lái)進(jìn)行的益智類游戲，游戲內(nèi)容是：從一副撲克牌（去掉大王、小王剩下52張）中任意抽取4張牌，把牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算，使得運(yùn)算結(jié)果為24．每張牌必須用一次且只能用一次，可以加括號(hào)．其中?，?表示正，?，?表示負(fù)，分別代表1，11，12，13．（1）在玩“24點(diǎn)”游戲時(shí)，小明抽到圖1的4張牌，請(qǐng)你幫他寫(xiě)出2個(gè)運(yùn)算結(jié)果為24的算式：______，______；（2）在玩“24點(diǎn)”游戲時(shí)，小剛抽到圖2的4張牌，請(qǐng)你幫他寫(xiě)出1個(gè)運(yùn)算結(jié)果為24的算式：______．題型九、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算24．（24-25七年級(jí)下·湖南湘西·階段練習(xí)）（）A．0 B． C． D．25．（24-25七年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）計(jì)算，結(jié)果應(yīng)是．26．（23-24七年級(jí)上·青海西寧·期中）計(jì)算(1)(2)(3)(4)(5)(6)題型十、程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算27．（24-25七年級(jí)上·湖北黃岡·期末）如圖所示是某計(jì)算程序，若輸入數(shù)字2，則最后輸出的結(jié)果是（

）A．22 B．24 C．26 D．2828．（24-25七年級(jí)上·福建莆田·階段練習(xí)）按如圖程序計(jì)算，如果輸入的數(shù)是，那么輸出的數(shù)是．29．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）小亮在電腦上設(shè)計(jì)了一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算程序：輸入a，按“*”鍵，再輸入b，得到運(yùn)算．(1)求的值；(2)小明在運(yùn)算程序計(jì)算時(shí)，屏幕顯示“該程序無(wú)法操作”，猜想他在輸入數(shù)據(jù)時(shí)，可能出現(xiàn)什么情況，為什么？題型十一、計(jì)算器——有理數(shù)30．與下面科學(xué)計(jì)算器的按鍵順序?qū)?yīng)的計(jì)算任務(wù)是（

）A． B．C． D．31．使用計(jì)算器計(jì)算：．32．用計(jì)算器計(jì)算：（1）；（2）．題型十二、求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)33．（24-25七年級(jí)上·湖北宜昌·期末）小華稱得一個(gè)物體的質(zhì)量為，用四舍五入法將2.108精確到0.01的近似數(shù)為（

）A．2 B．2.10 C．2.1 D．2.1134．（24-25七年級(jí)上·廣東韶關(guān)·期中）近似數(shù)表示（精確到0.01）；35．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）用四舍五入法對(duì)下列各數(shù)取近似數(shù)：(1)（精確到）；(2)（精確到個(gè)位）；(3)（精確到）；(4)（精確到千分位）．題型十三、求近似數(shù)的精確度36．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）下面所描述的數(shù)據(jù)中，不屬于近似數(shù)的是（

）A．小明班上有45人B．吐魯番盆地低于海平面C．某次地震中，傷亡大約十萬(wàn)人D．小紅測(cè)得數(shù)學(xué)書(shū)的長(zhǎng)度為37．（24-25七年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法：①近似數(shù)千與近似數(shù)精確度相同；②近似數(shù)與近似數(shù)的精確度相同；③近似數(shù)萬(wàn)與近似數(shù)的精確度相同．其中正確的是（填寫(xiě)序號(hào)）．38．下面表述中的數(shù)據(jù)，哪些是準(zhǔn)確數(shù)？哪些是近似數(shù)？(1)實(shí)驗(yàn)室里有18盞日光燈；(2)某人的身高是168厘米；(3)多媒體教室共有45臺(tái)電腦；(4)世界著名海峽馬六甲海峽長(zhǎng)1080千米．題型十四、近似數(shù)推斷取值范圍39．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）把數(shù)a精確到百分位得到的近似數(shù)是5.88，則下列不可能是a的值的是（

）A．5.878 B．5.883 C．5.889 D．5.87540．（23-24七年級(jí)上·湖北黃石·階段練習(xí)）近似數(shù)的準(zhǔn)確值a的取值范圍是．41．對(duì)非負(fù)有理數(shù)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為＜x＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…．解決下列問(wèn)題：（1）＜π＞＝（π為圓周率）；（2）若＜x＞＝6，則x的取值范圍是．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．用四舍五入法按要求對(duì)分別取近似值，其中錯(cuò)誤的是（

）A．（精確到） B．（精確到百分位）C．（精確到千分位） D．（精確到）2．科學(xué)計(jì)算器的按鍵順序如下，則計(jì)算器輸出的結(jié)果是（

）A． B． C． D．3．小勤設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序（如圖），如果輸入的數(shù)是4，那么輸出的結(jié)果是（）A． B．6 C． D．94．計(jì)算：的結(jié)果是（

）A．9 B． C． D．365．據(jù)商務(wù)部消息，年以來(lái)，電動(dòng)自行車以舊換新取得積極成效．截至月日，今年全國(guó)電動(dòng)自行車售舊、換新各萬(wàn)輛，超過(guò)年總和．?dāng)?shù)據(jù)萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．6．下列每組數(shù)中，不相等的一組是（

）A．和 B．和 C．和 D．和7．若，則（

）A． B． C．6 D．8．我們知道相同加數(shù)可以寫(xiě)成乘法，如：，這樣可以給我們解決問(wèn)題帶來(lái)方便．其實(shí)相同因數(shù)的乘法也可以寫(xiě)成乘方的形式，如，那么根據(jù)上述提示計(jì)算（）A．3 B．6 C．9 D．279．計(jì)算：（

）A． B．1 C．0 D．202310．一根長(zhǎng)的銅絲，第一次剪去銅絲的，第二次剪去剩下銅絲的，如此剪下去，第次剪完后剩下銅絲的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．二、填空題11．計(jì)算：．12．根據(jù)相關(guān)部門(mén)統(tǒng)計(jì)，2020年全國(guó)普通高校畢業(yè)生約人．將用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為．13．計(jì)算：，，．14．的底數(shù)是，指數(shù)是，結(jié)果是．15．?dāng)?shù)用四舍五入精確到0.1得到，近似數(shù)精確到位．16．使用數(shù)字3、4、5、8，通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算得到結(jié)果