專題06有理數(shù)的乘方與混合運(yùn)算重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)+11大題型+3拓展訓(xùn)練+自我檢測(cè)）題型一有理數(shù)冪的相關(guān)概念題型二有理數(shù)的乘方運(yùn)算題型三有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算題型四乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律題型五乘方的應(yīng)用題型六用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)題型七將科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)題型八與科學(xué)記數(shù)法有關(guān)的計(jì)算問題題型九有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用題型十程序流程圖題型十一算24點(diǎn)拓展訓(xùn)練一有理數(shù)乘方的規(guī)律計(jì)算探究拓展訓(xùn)練二有理數(shù)四則混合運(yùn)算綜合拓展訓(xùn)練三有理數(shù)四則混合運(yùn)算實(shí)際應(yīng)用綜合知識(shí)點(diǎn)一、有理數(shù)的乘方求相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，相同因數(shù)叫做底數(shù)，相同因數(shù)的個(gè)數(shù)叫做指數(shù)，乘方的運(yùn)算結(jié)果叫做冪.一般地，記作，讀作“a的n次方”，其中a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，當(dāng)看作a的n次方的計(jì)算結(jié)果時(shí)，也可以讀作“a的n次冪”.乘方與冪不同，乘方是幾個(gè)相同因數(shù)的乘法運(yùn)算，冪是乘方運(yùn)算的結(jié)果；一個(gè)數(shù)可以看作是它本身的一次方，指數(shù)1可省略不寫；底數(shù)一定是相同的因數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)不是單純的一個(gè)數(shù)時(shí)，要用括號(hào)括起來；當(dāng)負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)作為底數(shù)時(shí)，底數(shù)必須用括號(hào)括起來；一個(gè)數(shù)的二次方又稱為這個(gè)數(shù)的平方，一個(gè)數(shù)的三次方又稱為這個(gè)數(shù)的立方.【即時(shí)訓(xùn)練】1．（2025·吉林長(zhǎng)春·二模）下列說法不正確的是（

）A．可表示兩個(gè)5相加 B．可表示五個(gè)2相加C．可表示兩個(gè)5相乘 D．可表示五個(gè)2相乘【答案】C【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法和乘方，根據(jù)有理數(shù)的乘法和乘方的定義判斷即可得出答案．【詳解】解：A、可表示兩個(gè)5相加，正確，故不符合題意；B、可表示五個(gè)2相加，正確，故不符合題意；C、可表示五個(gè)2相乘，原說法不正確，故符合題意；D、可表示五個(gè)2相乘，正確，故不符合題意；故選：C．2．（2025·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）在中，底數(shù)是．【答案】【分析】根據(jù)乘方的定義，明確乘方表達(dá)式中底數(shù)的概念來求解．本題主要考查乘方的定義，熟練掌握乘方表達(dá)式中底數(shù)、指數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，底數(shù)是．故答案為：．知識(shí)點(diǎn)二、有理數(shù)乘方的運(yùn)算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值.【即時(shí)訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）下列式子中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查有理數(shù)數(shù)的乘方，分別計(jì)算出每個(gè)數(shù)的乘方，再進(jìn)行比較即可．【詳解】解：Ａ、∵22=4,-22Ｂ、∵，，∴，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、∵，∴-22≠，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D、∵，-22故選：A．2．（2025七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：，，．【答案】4/【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，根據(jù)表示個(gè)相乘的積計(jì)算即可．【詳解】解：，，．故答案為：4；；．知識(shí)點(diǎn)三、科學(xué)記數(shù)法科學(xué)計(jì)數(shù)法的定義：一般地，一個(gè)大于10的數(shù)可以寫成的形式，其中，n是正整數(shù)，這種記數(shù)方法稱為科學(xué)記數(shù)法.如何確定科學(xué)記數(shù)法中的a和na是一個(gè)整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，即；確定n的兩種方法：①若這個(gè)數(shù)是大于10的數(shù)，則n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；②按小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)來確定n的值，小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)了幾位，n就等于幾.用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)只是改變數(shù)的形式，而沒有改變數(shù)的性質(zhì)和大??；用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)帶有單位的數(shù)時(shí)，其表示的結(jié)果也應(yīng)帶有單位，并且前后要一致；用科學(xué)記數(shù)法表示負(fù)數(shù)的方法和正數(shù)一樣，就是要在前面多一個(gè)“－”號(hào)；對(duì)用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)進(jìn)行還原時(shí)，只需將小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位（不足的數(shù)位用0補(bǔ)齊），并把乘號(hào)和去掉.【即時(shí)訓(xùn)練】1．（2025·吉林長(zhǎng)春·二模）截至2025年3月9日，《哪吒之魔童鬧海》（《哪吒2》）的全球票房（含預(yù)售及海外）已超過148億元人民幣，成功躋身全球影史票房榜第六位，148億這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．利用科學(xué)記數(shù)法的表示形式進(jìn)行表示即可．【詳解】解：148億．故選：B．2．（24-25九年級(jí)上·重慶墊江·期末）美麗的三合湖濕地公園完成蓄水后，蓄水量達(dá)到1400000，把數(shù)據(jù)1400000用科學(xué)記數(shù)法記為．【答案】【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法，關(guān)鍵是理解運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，據(jù)此求解即可．【詳解】把數(shù)據(jù)1400000用科學(xué)記數(shù)法記為．故答案為：．知識(shí)點(diǎn)四、有理數(shù)的混合運(yùn)算順序先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，按照從左到右的順序進(jìn)行；如果有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次計(jì)算；如需去括號(hào)，一般先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào).PS：在有理數(shù)混合運(yùn)算中，通常情況下，帶分?jǐn)?shù)要先化成假分?jǐn)?shù)，小數(shù)要先化成分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行計(jì)算，有些計(jì)算是可以同時(shí)進(jìn)行的.【即時(shí)訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）下列算式中，計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算，根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算法則以及運(yùn)算順序逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．【詳解】解：A．，故A錯(cuò)誤；B．，故B錯(cuò)誤；C．，故C正確；D．，故D錯(cuò)誤．故選：C．2．（24-25七年級(jí)上·安徽合肥·期末）計(jì)算：．【答案】7【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．根據(jù)有理數(shù)的乘方，絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：．故答案為：7知識(shí)點(diǎn)五、利用運(yùn)算律簡(jiǎn)便計(jì)算有理數(shù)運(yùn)算律包括加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律及乘法分配律等；一些計(jì)算優(yōu)先結(jié)合會(huì)簡(jiǎn)便很多，如下所示：相反數(shù)結(jié)合；湊整結(jié)合；正、負(fù)分別結(jié)合；同分母結(jié)合；倒數(shù)結(jié)合【即時(shí)訓(xùn)練】1．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，需按照運(yùn)算順序和法則逐一驗(yàn)證各選項(xiàng).【詳解】選項(xiàng)A：=，結(jié)果應(yīng)為，故A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B：=，結(jié)果應(yīng)為，故B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C：=，故C錯(cuò)誤.選項(xiàng)D：=，故D正確.故選：D.2．（24-25七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果為．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法和加法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用有理數(shù)乘、加法的運(yùn)算法則．先分別計(jì)算兩個(gè)乘法式子，再將所得結(jié)果相加．【詳解】原式．【經(jīng)典例題一有理數(shù)冪的相關(guān)概念】【例1】（2025·吉林長(zhǎng)春·二模）對(duì)于式子，下列說法正確的是（

）A．指數(shù)是 B．底數(shù)是3 C．冪是9 D．表示2個(gè)3相乘【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)的乘方，中a為底數(shù)，b為指數(shù)，結(jié)果為冪，表示b個(gè)a相乘，由此逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：對(duì)于式子，指數(shù)是2，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；底數(shù)是，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，即冪是9，故C選項(xiàng)正確；表示2個(gè)相乘，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【例2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）把下列各式寫成乘方的形式，并指出底數(shù)和指數(shù)各是什么．(1)；(2)【答案】(1)，底數(shù)為，指數(shù)為5(2)，底數(shù)為，指數(shù)為6【分析】本題考查乘方定義，乘方是一種特殊的乘法運(yùn)算，冪是乘方的結(jié)果，當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，要先用括號(hào)將底數(shù)括起來再寫指數(shù)．首先化成冪的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)，熟記乘方定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，底數(shù)為，指數(shù)為5；（2）解：，底數(shù)為，指數(shù)為6．1．（25-26七年級(jí)上·陜西西安·開學(xué)考試）與（

）相等．A． B． C． D．【答案】C【分析】該題考查了乘方的意義，根據(jù)乘方的意義，表示個(gè)相乘，據(jù)此可得答案，【詳解】解：表示a與自身相乘，即；、是“a的2倍”，是“a加2”，均與含義不同．故選：C．2．（2025七年級(jí)上·河北·專題練習(xí)）我們知道相同加數(shù)可以寫成乘法，如：，這樣可以給我們解決問題帶來方便．其實(shí)相同因數(shù)的乘法也可以寫成乘方的形式，如，那么根據(jù)上述提示計(jì)算（）A．3 B．6 C．9 D．27【答案】D【分析】本題主要考查了乘方，表示個(gè)相乘，展開就是，一共有個(gè)相乘，所以，根據(jù)乘法法則計(jì)算即可．【詳解】解：.故選：D.3．（24-25六年級(jí)上·上海寶山·期末）5個(gè)相乘用乘方的形式表示：．【答案】【分析】此題考查了乘方定義的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識(shí)．運(yùn)用乘方的定義進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得，故答案為：4．（23-24七年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）仔細(xì)觀察下列算式：，．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方的意義，有理數(shù)的乘法運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘方的意義，有理數(shù)的乘法運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)（1）（2）得出結(jié)論，即可求解．【詳解】（1），故答案為：．（2），故答案為：．（3）故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的意義，熟練掌握冪的概念是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二有理數(shù)的乘方運(yùn)算】【例1】（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B．64 C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了冪的乘方計(jì)算以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．先根據(jù)冪的乘方對(duì)原式進(jìn)行計(jì)算，再計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪即可得到答案．【詳解】解：故選：D.【例2】（2025七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：；；；．【答案】【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)乘方的定義計(jì)算即可；【詳解】解：；；；．故答案為；；；．1．（24-25七年級(jí)上·河北廊坊·階段練習(xí)）對(duì)于與，下列說法正確的是（

）A．它們的底數(shù)相同 B．它們的結(jié)果相等C．它們的底數(shù)不同，但結(jié)果相等 D．它們的底數(shù)不同，并且結(jié)果也不相等【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方的定義，理解有理數(shù)的乘方的定義是解題的關(guān)鍵．先確定和的底數(shù)和運(yùn)算結(jié)果即可解答．【詳解】解：∵的底數(shù)為，的底數(shù)為，，，∴和底數(shù)不同，并且結(jié)果也不相等．故選：D．2．（23-24七年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）下列各對(duì)數(shù)中，數(shù)值相等的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】B【分析】本題考查的有理數(shù)的乘方，根據(jù)乘方的運(yùn)算法則算出各自的結(jié)果，再比較即可得到答案．【詳解】解：A.與，數(shù)值不相等；B.與，數(shù)值相等；C.與，數(shù)值不相等；D.與，數(shù)值不相等；故選：B．3．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算：（1）；（2）；（3），．【答案】169【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘方運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（1）根據(jù)多個(gè)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則，求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)乘方定義和多個(gè)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則，求出結(jié)果即可；（3）根據(jù)乘方運(yùn)算法則，直接得出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）；故答案為：；（2）；故答案為：；16（3）；．故答案為：；9．4．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）原式直接進(jìn)行四次方運(yùn)算即可得到答案；（2）原式直接進(jìn)行四次方運(yùn)算即可得到答案；（3）原式直接進(jìn)行立方運(yùn)算即可得到答案；（4）原式將分子進(jìn)行立方運(yùn)算即可得到答案；（5）根據(jù)的偶次方等于1可得結(jié)果．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：．【經(jīng)典例題三有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算】【例1】（23-24七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）《莊子·天下篇》講到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”意思是說一尺長(zhǎng)的木棍，每天截取它的一半，千秋萬代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，兩天之后剩尺，那么五天之后，這個(gè)“一尺之棰”還剩（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，弄懂題意并掌握乘方的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，第一天后剩尺，兩天之后剩（尺），第三天后剩（尺），…第n天后剩（尺），第五天后這個(gè)“一尺之棰”還剩（尺）．故選：D．、【例2】（24-25七年級(jí)上·貴州銅仁·期中）某學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)了冪的有關(guān)知識(shí)發(fā)現(xiàn)：根據(jù)，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值嗎？他們?yōu)榇诉M(jìn)行了研究，規(guī)定：若，則．例如：，則．(1)填空：______；(2)計(jì)算：．【答案】(1)1(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，讀懂題意掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)規(guī)定，進(jìn)行求解即可；（2）先根據(jù)規(guī)定，求出，再進(jìn)行加法運(yùn)算即可；【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以．故答案為：?）因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以．所以?．（24-25七年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如果，則是（

）A．8或 B． C．4 D．4或【答案】D【分析】此題考查有理數(shù)的乘方．直接利用有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】解：∵，，，∴a是：4或?4．故選：D．2．（22-23七年級(jí)上·廣東東莞·期中），由此你能算出（

）A．6 B．8 C． D．十分麻煩【答案】B【分析】先把原式變形為，從而得到，即可求解．【詳解】解：＝1×8＝8故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方運(yùn)算，掌握有理數(shù)乘方的意義是解題的關(guān)鍵．3．（24-25七年級(jí)上·江蘇泰州·期中）如圖，在下列計(jì)算程序中填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)．【答案】4或【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算，根據(jù)得到要填寫的數(shù)與1的和為，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，且，∴填寫的數(shù)為4或，故答案為；4或．4．（24-25七年級(jí)上·上海奉賢·階段練習(xí)）已知，，，其中、、均為正整數(shù)，(1)根據(jù)題意，可求得，，；(2)計(jì)算的值；【答案】(1)3，2，1(2)216【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘方的運(yùn)算，熟知乘方運(yùn)算法則是正確解決本題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)，可得，即可求出n，a；（2）將數(shù)值代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴．∵，即，∴．∵，即，且a為正整數(shù)，∴．故答案為：3，2，1；（2）解：原式．【經(jīng)典例題四乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律】【例1】（24-25七年級(jí)上·湖南湘潭·階段練習(xí)）若，則一定有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律，分別根據(jù)，，進(jìn)行探究即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)，則，當(dāng)，則，當(dāng)，則，則，∴當(dāng)，則，故選：C【例2】（2025七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）判斷下列各式計(jì)算結(jié)果的正負(fù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)正(2)負(fù)(3)負(fù)(4)負(fù)【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律解答即可．【詳解】（1）解：∵的指數(shù)是12，為偶數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，∴的結(jié)果為正；（2）解：∵的指數(shù)是9，為奇數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，∴的結(jié)果為負(fù)；（3）解：∵表示的是的相反數(shù)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，的結(jié)果為正，所以的結(jié)果為負(fù)；（4）解：∵的指數(shù)是11，為奇數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，∴的結(jié)果為負(fù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律，掌握負(fù)數(shù)的偶次冪為正、奇次冪為負(fù)成為解答本題的關(guān)鍵．1．（2024七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如果一個(gè)有理數(shù)的奇次冪是正數(shù)，那么這個(gè)有理數(shù)（）A．一定是正數(shù) B．是正數(shù)或負(fù)數(shù)C．一定是負(fù)數(shù) D．可以是任意有理數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則進(jìn)行判斷即可．此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵正數(shù)的任何次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪數(shù)負(fù)數(shù)，0正整數(shù)次冪是0∴一個(gè)有理數(shù)的奇次冪是正數(shù)，這個(gè)數(shù)一定是正數(shù)．故選：A．2．（23-24七年級(jí)上·河北唐山·期中）通過計(jì)算器計(jì)算發(fā)現(xiàn)：，，……，按照以上的規(guī)律計(jì)算的結(jié)果是（

）A．123454321 B．1234564321C．1234567654321 D．123456787654321【答案】C【分析】根據(jù)已知條件可以得到這樣的規(guī)律：對(duì)于由1組成的數(shù)字，當(dāng)平方后最中間的數(shù)字是幾，這個(gè)數(shù)字就是由幾個(gè)1組成．【詳解】解：根據(jù)已知條件可以得到這樣的規(guī)律：11的平方是121，中間的數(shù)字是2，111的平方是12321，中間的數(shù)字是3，……由此可以推斷出：對(duì)于由1組成的數(shù)字，當(dāng)平方后最中間的數(shù)字是幾，這個(gè)數(shù)字就是由幾個(gè)1組成；所以的結(jié)果是1234567654321，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了觀察式子找規(guī)律，找到對(duì)于由1組成的數(shù)字，當(dāng)平方后最中間的數(shù)字是幾，這個(gè)數(shù)字就是由幾個(gè)1組成的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（24-25七年級(jí)上·四川南充·期中）已知的最大值為．【答案】【分析】本題考查乘方的非負(fù)性．熟練乘方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．根據(jù)乘方的非負(fù)性，確定最大值即可．【詳解】解：∵，∴∴，∴的最大值為：；故答案為：．4．（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷下列各式計(jì)算結(jié)果的正負(fù)：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）正；（2）負(fù)；（3）負(fù)；（4）負(fù)【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律解答即可．【詳解】解：（1）的指數(shù)是12，為偶數(shù)，根據(jù)負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，可知的結(jié)果為正；（2）的指數(shù)是9，為奇數(shù)，根據(jù)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，可知的結(jié)果為負(fù)；（3）表示的是的相反數(shù)，根據(jù)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，可知的結(jié)果為正，所以的結(jié)果為負(fù)；（4）的指數(shù)是11，為奇數(shù)，根據(jù)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，可知的結(jié)果為負(fù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律，掌握負(fù)數(shù)的偶次冪為正、奇次冪為負(fù)成為解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五乘方的應(yīng)用】【例1】（2025七年級(jí)上·山西大同·專題練習(xí)）把一張正方形的紙連續(xù)對(duì)折次，折后的每一小份占這張正方形紙的（）A． B． C．【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，根據(jù)題意得出即可，掌握有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，折后的每一小部分占這張正方形紙的，故選：．【例2】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】該題主要考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握解答方法．令，求出，根據(jù)即可求解．【詳解】解：令①，則②，得，即，故，即．1．（24-25七年級(jí)上·貴州遵義·階段練習(xí)）如圖是一張長(zhǎng)、寬的長(zhǎng)方形紙片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第4次裁剪后剩下的長(zhǎng)方形的面積是（

）A． B． C．25 D．175【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，分別求出第1次和第2次裁剪后剩下的圖形的面積是解題的關(guān)鍵．先求出第1次和第2次裁剪后剩下的圖形的面積，總結(jié)出一般變化規(guī)律，即可解答．【詳解】解：長(zhǎng)方形的面積為：，第1次裁剪后剩下的長(zhǎng)方形的面積，第2次裁剪后剩下的長(zhǎng)方形的面積，……第4次裁剪后剩下的長(zhǎng)方形的面積．故選：A．2．（23-24九年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）你喜歡吃蘭州牛肉面嗎？拉面的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復(fù)幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多細(xì)的面條，如下圖所示．請(qǐng)問要想拉出128根面條，需要捏合的次數(shù)是（

）A．5次 B．6次 C．7次 D．8次【答案】C【分析】此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意歸納總結(jié)得到第n次捏合，可拉出根面條，結(jié)合可得到結(jié)果．【詳解】第一次捏合，可拉出2根面條；第二次捏合，可拉出根面條；第三次捏合，可拉出根面條；以此類推，第n次捏合，可拉出根面條，又，第7次捏合，可拉出128根面條．故選：C．3．（24-25七年級(jí)下·河南鄭州·階段練習(xí)）某種細(xì)菌每1分鐘由1個(gè)分裂成2個(gè)，經(jīng)過3分鐘，1個(gè)細(xì)菌分裂成23個(gè)，這些細(xì)菌再繼續(xù)分裂t分后共分裂成個(gè)．【答案】/【分析】本題考查了乘方的意義．掌握乘方的意義是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)乘方的意義得結(jié)論．【詳解】解：∵每1分鐘由1個(gè)分裂成2個(gè)，∴經(jīng)過3分，一個(gè)細(xì)菌分裂成個(gè)，∴這些細(xì)菌再繼續(xù)分裂t分后共分裂成個(gè)；故答案為：．4．（24-25六年級(jí)上·山東東營(yíng)·期中）閱讀材料：求值：．解：設(shè)①將等式兩邊同時(shí)乘2，得②得，，即請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：(1)；(2)；(3)．（其中為正整數(shù)）【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，掌握乘方的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）仿照例題，設(shè)，將等式兩邊同時(shí)乘2得到，作差求解即可；（2）仿照例題，設(shè)，將等式兩邊同時(shí)乘3，得，作差求解即可；（3）仿照例題，設(shè)，將等式兩邊同時(shí)乘3，得，作差求解即可；【詳解】（1）解：設(shè)①，將等式兩邊同時(shí)乘2，得②，得，，即；（2）解：設(shè)①，將等式兩邊同時(shí)乘3，得②，得，，則，即；（3）解：設(shè)①，將等式兩邊同時(shí)乘3，得②，得，，則，即．【經(jīng)典例題六用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)】【例1】（2025·江西新余·三模）據(jù)商務(wù)部消息，年以來，電動(dòng)自行車以舊換新取得積極成效．截至月日，今年全國(guó)電動(dòng)自行車售舊、換新各萬輛，超過年總和．?dāng)?shù)據(jù)萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)即可求解，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)整數(shù)，解題的關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．【詳解】解：萬，故選：．【例2】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：(1)1000000；(2)300000000；(3)8000000000；(4)10100000．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，把一個(gè)大于10的數(shù)記成的形式，其中，n是正整數(shù)．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義解答即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．1．（24-25七年級(jí)上·安徽淮北·期末）年前三季度安徽省地區(qū)生產(chǎn)總值億元，其中數(shù)據(jù)“億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)即可求解，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)整數(shù)，解題的關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．【詳解】解：億，故選：．2．（24-25九年級(jí)上·北京·期末）推進(jìn)美麗中國(guó)建設(shè)，綠色低碳生產(chǎn)生活方式加快形成．中國(guó)超額完成到2020年碳排放強(qiáng)度下降40%至45%的目標(biāo)，累計(jì)減排二氧化碳噸，建成全球規(guī)模最大碳市場(chǎng)和清潔發(fā)電體系．將用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值大于與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．【詳解】解：，故選：B．3．（24-25七年級(jí)上·江蘇南京·期末）2024年南京馬拉松運(yùn)動(dòng)深受廣大市民的歡迎，共有超過120000人報(bào)名，將數(shù)據(jù)“120000”用科學(xué)記數(shù)法表示為．【答案】【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】解：．故答案為：．4．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知的氫氣質(zhì)量約為，請(qǐng)用科學(xué)記數(shù)法表示下列計(jì)算結(jié)果：(1)求一個(gè)容積為的氫氣球所充氫氣的質(zhì)量；(2)一塊橡皮重，這塊橡皮的質(zhì)量是的氫氣質(zhì)量的多少倍？【答案】(1)(2)倍【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用；（1）先用乘法求出氫氣球所充氫氣的質(zhì)量,再用科學(xué)記數(shù)法表示最終結(jié)果；（2）先用除法計(jì)算出這塊橡皮的質(zhì)量是的氫氣質(zhì)量的多少倍，再用科學(xué)記數(shù)法表示最終結(jié)果.【詳解】（1）解：．（2）．故這塊橡皮的質(zhì)量是的氫氣質(zhì)量的倍．【經(jīng)典例題七將科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)】【例1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列求原數(shù)不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法—原數(shù)，科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位所得到的數(shù)．逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，此項(xiàng)計(jì)算不正確，符合題意．故選：D．【例2】（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）下列用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)，原來分別是什么數(shù)？．【答案】10000000，4000，8500000，704000，39600000【分析】本題主要考查了絕對(duì)值較大的科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握其中正整數(shù)）表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)位所得的數(shù)是解題的關(guān)鍵．據(jù)此即可求解．【詳解】解：；；；；．1．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）若一個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，則這個(gè)數(shù)是（

）A．527000000 B．5270000C．527000 D．52700000【答案】B【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原成原數(shù)時(shí)，時(shí)，是幾，小數(shù)點(diǎn)就向右移幾位．【詳解】解：，用科學(xué)記數(shù)法表示為，則這個(gè)數(shù)是．故選：B．2．（2025九年級(jí)下·廣西·專題練習(xí)）截至2025年3月25日，中國(guó)國(guó)家博物館文創(chuàng)鳳冠冰箱貼累計(jì)銷量突破件，帶動(dòng)鳳冠全系列產(chǎn)品銷售額跨越億元．用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)原來是（）A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001【答案】B【分析】本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大（或較?。┑臄?shù)，一般形式為，其中，n為整數(shù)，確定a與n的值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的方法進(jìn)行解題即可．【詳解】解：A、，故該選項(xiàng)不符合題意；B、，故該選項(xiàng)符合題意；C、，故該選項(xiàng)不符合題意；D、，故該選項(xiàng)不符合題意．故選：B．3．（24-25七年級(jí)上·河南洛陽·期末）《康熙字典》是清朝康熙年間出版的圖書，字典全書共收錄漢字余個(gè)，則的原數(shù)為．【答案】47000【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．據(jù)此解答即可．【詳解】解：．故答案為：47000．4．（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）比較用科學(xué)記數(shù)法表示的兩個(gè)數(shù)的大?。?1)與．(2)與．【答案】(1)(2)【分析】（1）將和化成原數(shù)比較即可判斷出；（2）根據(jù)即可判斷出．【詳解】（1）解：∵，，，∴；（2）解：∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是比較有理數(shù)的大小和科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用，掌握此類問題的比較方法是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八與科學(xué)記數(shù)法有關(guān)的計(jì)算問題】【例1】（2024七年級(jí)上·河南·專題練習(xí)）學(xué)習(xí)完有理數(shù)后，李老師留下了如下作業(yè)：判斷題（正確畫“√”，錯(cuò)誤畫“×”）．1.數(shù)軸上表示的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是2；（

）2.50000用科學(xué)記數(shù)法表示為；（

）3.近似數(shù)和的精確度是相同的；（

）4.向東走了記作，則向西走了記作．（

）嘉嘉看完題后很快給出了答案：1.√；2.×；3.×；4.×.在嘉嘉給出的答案中，正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題考查了數(shù)軸的特點(diǎn)，科學(xué)記數(shù)法，正負(fù)數(shù)的運(yùn)用等知識(shí)，掌握有理數(shù)的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸上距離的含義，科學(xué)記數(shù)法，近似數(shù)，正負(fù)數(shù)的意義進(jìn)行判定即可求解．【詳解】解：1、數(shù)軸上表示的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是2；（√）2、50000用科學(xué)記數(shù)法表示為；（×）3、近似數(shù)和的精確度是相同的；（×）4、向東走了記作，則向西走了記作．（×）∴嘉嘉給出的答案中，正確的有4個(gè)，故選：D．【例2】（24-25七年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期中）一粒米微不足道，有時(shí)總會(huì)在飯桌上不經(jīng)意地掉下幾粒，甚至有挑食的同學(xué)會(huì)倒掉整碗米飯．針對(duì)這種浪費(fèi)現(xiàn)象，數(shù)學(xué)老師領(lǐng)同學(xué)們進(jìn)行了實(shí)際測(cè)算，已知稱得500粒大米重約10克，請(qǐng)你來計(jì)算：(1)一粒大米重約多少克？(2)按我國(guó)現(xiàn)有人口14億，每年365天，每人每天三餐計(jì)算，若每人每餐節(jié)約一粒大米，一年大約能節(jié)約大米多少千克？（用科學(xué)記數(shù)法表示）(3)假若我們把一年節(jié)約的大米賣成錢，按2元千克計(jì)算，可賣多少錢？（用科學(xué)記數(shù)法表示）(4)對(duì)于因貧困而失學(xué)的兒童，學(xué)費(fèi)按每人每年500元計(jì)算，賣得的錢可供多少名失學(xué)兒童上一年學(xué)？【答案】(1)(2)(3)元(4)【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)除法的應(yīng)用，有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)500粒大米重約10克，直接列式計(jì)算即可；（2）14億，每年365天，每人每天三餐計(jì)算，若每人每餐節(jié)約一粒大米，那么一年大約能節(jié)約的千克數(shù)可列式為，然后計(jì)算出答案即可；（3）直接用單價(jià)乘以重量即可得到答案；（4）直接用錢數(shù)除以每人每年的學(xué)費(fèi)即可．【詳解】（1）解：500粒大米重約10克，那么一粒大米重約：（克），答：一粒大米重約克；（2）解：按我國(guó)現(xiàn)有人口14億，每年365天，每人每天三餐計(jì)算，若每人每餐節(jié)約一粒大米，那么一年大約能節(jié)約大米：（千克），答：一年大約能節(jié)約大米千克；（3）解：（元），答：可賣元；（4）解：（名），答：賣得的錢可供122640名失學(xué)兒童上一年學(xué)．1．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·階段練習(xí)）中國(guó)探月工程走過20年，九天攬?jiān)?，探索不止．嫦娥六?hào)的飛行速度約為，從地球到月球需要飛行約，則地球與月球的距離（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘法和科學(xué)記數(shù)法，先根據(jù)有理數(shù)乘法計(jì)算出地球與月球的距離，再用科學(xué)記數(shù)法表示出結(jié)果即可．【詳解】解：，故選：A．2．（23-24九年級(jí)下·山東威海·期中）我國(guó)發(fā)射的海洋Ⅰ號(hào)氣象衛(wèi)星，進(jìn)入預(yù)定軌道后，若地球運(yùn)行的速度為米/秒，則運(yùn)行秒走過的路程是米（用科學(xué)記數(shù)法表示）【答案】【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法，有理數(shù)乘法計(jì)算，正確掌握各計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵，利用路程＝速度×?xí)r間得到答案．【詳解】解：運(yùn)行秒走過的路程是米,故答案為．3．（22-23七年級(jí)上·浙江寧波·階段練習(xí)）用科學(xué)記數(shù)法表示：．【答案】【分析】先進(jìn)行計(jì)算，再用科學(xué)記數(shù)法表示．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法和乘方計(jì)算，以及用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（24-25七年級(jí)上·安徽蚌埠·期中）在國(guó)慶節(jié)的七天長(zhǎng)假中，某風(fēng)景區(qū)10月1日的旅游人數(shù)為6萬人，后面的六天與10月1日相比每天旅游人數(shù)變化如下表：（正數(shù)表示人數(shù)增加）日期2日3日4日5日6日7日人數(shù)變化（單位：萬人）(1)七天長(zhǎng)假中游客人數(shù)最多的一天比最少的一天多幾萬人？(2)據(jù)測(cè)算，平均每位游客為風(fēng)景區(qū)帶來的旅游收入約為200元，則該風(fēng)景區(qū)在這七天假期的旅游總收入約為多少元？（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）【答案】(1)七天長(zhǎng)假中游客人數(shù)最多的一天比最少的一天多1萬人(2)該風(fēng)景區(qū)在這七天假期的旅游總收入約為元．【分析】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)減法的實(shí)際應(yīng)用，科學(xué)記數(shù)法，正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：（1）用表格中人數(shù)變化最大的數(shù)減去最小的數(shù)即可得到答案；（2）先求出這七天的旅游總?cè)藬?shù)，再求出旅游總收入即可得到答案．【詳解】（1）解：萬人，答：七天長(zhǎng)假中游客人數(shù)最多的一天比最少的一天多1萬人；（2）解：元，答：該風(fēng)景區(qū)在這七天假期的旅游總收入約為元．【經(jīng)典例題九有理數(shù)的四則混合運(yùn)算】【例1】（22-23七年級(jí)上·四川資陽·期中）計(jì)算的結(jié)果是（

）A．6 B．2 C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．設(shè)，可得，然后兩式相減，即可求解．【詳解】解：設(shè)，∴，∴故選：D．【例2】（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)10(2)3(3)(4)20(5)2(6)2【分析】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵，（1）先將減法轉(zhuǎn)化為加法，再根據(jù)加法法則計(jì)算即可；（2）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)乘法法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算即可；（4）根據(jù)運(yùn)算順序，先算乘除，再算加減即可；（5）根據(jù)運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減即可；（6）根據(jù)運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減即可；【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：．1．（24-25七年級(jí)上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）下列四個(gè)算式中，計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】題目主要考查有理數(shù)的四則運(yùn)算及乘方運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵根據(jù)有理數(shù)的四則運(yùn)算及乘方運(yùn)算依次判斷即可【詳解】解：A、-2B、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，選項(xiàng)正確，符合題意；D、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C2．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘方，乘除，加減運(yùn)算，逐項(xiàng)分析判斷，即可解答．【詳解】解：A．，該選項(xiàng)正確，符合題意；B．，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：A．3．（2025七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)=________．(2)=___________．(3)=___________．(4)=___________．【答案】(1)(2)(3)10(4)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是注意運(yùn)算的順序．（1）先計(jì)算乘方，括號(hào)里的，除法，再計(jì)算加減；（2）先計(jì)算乘方，絕對(duì)值里面的，除法，再計(jì)算絕對(duì)值與乘法，最后計(jì)算加減；（3）先計(jì)算乘方，再計(jì)算括號(hào)里面的，最后計(jì)算加減；（4）先計(jì)算絕對(duì)值，乘法，再計(jì)算加減．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）原式．4．（24-25七年級(jí)上·四川成都·期末）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)1(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先運(yùn)算乘法和除法，再運(yùn)算加法，即可作答．（2）先根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算以及算出乘方，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再運(yùn)算加減法，即可作答．【詳解】（1）解：（2）解：【經(jīng)典例題十有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】【例1】（24-25七年級(jí)上·四川成都·開學(xué)考試）（商品問題）某商品有兩種不同型號(hào)，這兩種型號(hào)都賣了64元，其中一件盈利，一件虧本，兩種都賣出，商家（

）A．不賠不賺 B．賠了 C．賺了 D．說不清【答案】B【分析】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，兩種型號(hào)的商品成本不同，先列式求出各自成本再比較即可．【詳解】解：（元），（元），（元），，則商家賠了．故選：B．【例2】（24-25七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）某食堂購進(jìn)30袋大米，每袋以50千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的記為正，不足的記為負(fù)，稱重記錄如表：與標(biāo)準(zhǔn)重量偏差（單位：千克）0123袋數(shù)5103156(1)這30袋大米的總重量比標(biāo)準(zhǔn)總重量是多還是少？相差多少？(2)大米單價(jià)是每千克元，食堂購進(jìn)大米總共花多少錢？【答案】(1)多千克(2)食堂購進(jìn)大米總共花元．【分析】此題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用；（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，以及正負(fù)數(shù)的意義列出算式，然后進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)30袋大米的總重量乘以單價(jià)，即可得到總費(fèi)用．【詳解】（1）解：千克，答：這袋大米共多出千克；（2）解：∵這袋大米的總質(zhì)量是：千克，大米單價(jià)是每千克元，∴總費(fèi)用元．答：食堂購進(jìn)大米總共花元．1．（24-25七年級(jí)上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知長(zhǎng)為120米的秋游隊(duì)伍，以3米/秒的速度向東行進(jìn)，在隊(duì)尾處的甲有一物品要送到隊(duì)頭，送到后立即返回隊(duì)尾．若甲的往返速度均為5米/秒，則甲往返共用的時(shí)間為（）A．64 B．75 C．120 D．60【答案】B【分析】本題主要考查了有理數(shù)四則混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，甲到隊(duì)頭的時(shí)間為隊(duì)伍的長(zhǎng)度除以甲的速度減去乙的速度，甲從隊(duì)頭到隊(duì)尾的時(shí)間等于隊(duì)伍的長(zhǎng)度除以甲的速度加上乙的速度，據(jù)此列式求解即可．【詳解】解：秒，∴甲往返共用的時(shí)間為75秒，故選；B．2．（24-25七年級(jí)上·山西呂梁·階段練習(xí)）為了增強(qiáng)身體素質(zhì)，劉老師每天早上都會(huì)在操場(chǎng)進(jìn)行體育鍛煉，她沿著如圖所示的學(xué)校操場(chǎng)邊緣跑一圈是（?。?/p>

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，操場(chǎng)一圈的長(zhǎng)度等于直徑是米的圓的周長(zhǎng)加上兩條直跑道的長(zhǎng)度，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式，把數(shù)據(jù)代入公式解答．正確理解題意并列式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（米）∴她沿著如圖所示的學(xué)校操場(chǎng)邊緣跑一圈是米．故選：C．3．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）一種金屬絲在溫度是時(shí)，長(zhǎng)，溫度每升高或降低，它的長(zhǎng)度就隨之伸長(zhǎng)或縮短．當(dāng)金屬絲冷卻后，長(zhǎng)度變?yōu)椋瑒t該金屬絲的溫度變化了．【答案】80【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握運(yùn)算律.根據(jù)題意列出相應(yīng)的式子求解即可.【詳解】解：由題意可得：所以金屬絲的溫度降低了（負(fù)號(hào)代表降低）.故金屬絲的溫度變化了故答案為：．4．（24-25七年級(jí)下·重慶·開學(xué)考試）B地在A，C兩地之間．甲從B地到A地去，甲出發(fā)后1時(shí)乙從B地出發(fā)到C地，乙出發(fā)后1時(shí)丙突然想起要通知甲、乙一件重要事情，于是從B地出發(fā)騎車去追趕甲和乙．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，為使丙從B地出發(fā)到最終趕回B地所用時(shí)間最少，丙應(yīng)當(dāng)先追甲再返回追乙，還是先追乙再返回追甲？【答案】丙應(yīng)先追乙再返回追甲．【分析】此題考查了，分別求出先追乙，再追甲與先追甲，再追乙的時(shí)間，即可得到答案．【詳解】解：先追乙，再追甲：（小時(shí)）先追甲，再追乙：（小時(shí)）∵，∴先追乙，再追甲的時(shí)間少，答：丙應(yīng)先追乙再返回追甲．【經(jīng)典例題十一程序流程圖】【例1】（24-25七年級(jí)上·湖北襄陽·階段練習(xí)）小勤設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序（如圖），如果輸入的數(shù)是4，那么輸出的結(jié)果是（）A． B．6 C． D．9【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)運(yùn)算，根據(jù)程序，當(dāng)計(jì)算的結(jié)果小于或等于0時(shí)，要將結(jié)果再輸入，直到結(jié)果大于0才可以輸出結(jié)果．【詳解】解：由題意得，，，，輸出結(jié)果為故選：D．【例2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）在圖中輸入，按所示的程序運(yùn)算（完成一個(gè)方框內(nèi)的運(yùn)算后，把結(jié)果輸入下一個(gè)方框繼續(xù)進(jìn)行運(yùn)算），并寫出輸出的結(jié)果．【答案】3【分析】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是弄懂程序運(yùn)算圖，根據(jù)題意把輸入值代入，按程序一步一步計(jì)算．【詳解】解：∵輸入，∴，，．∵，∴重新輸入1，∴，，．∵，∴輸出的結(jié)果為3．1．（24-25七年級(jí)上·貴州遵義·期中）樂樂在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到了神奇的“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”，按如圖所示的程序運(yùn)算，如果輸入1，則輸出的結(jié)果是（

）A．1 B． C． D．13【答案】B【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．把代入程序中計(jì)算，判斷結(jié)果與的大小，即可．【詳解】解：若輸入1，則，即輸出的結(jié)果是．故選：B2．（24-25七年級(jí)下·浙江衢州·期末）如圖所示的運(yùn)算程序中，如果開始輸入x的值為2，可以發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果為，第二次輸出的結(jié)果為，…，則第2025次輸出的結(jié)果是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】本題考查了規(guī)律型—數(shù)字的變化類，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．計(jì)算出第次，第次的輸出結(jié)果，發(fā)現(xiàn)輸出結(jié)果以、、為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，然后計(jì)算即可．【詳解】解：∵第次輸出的結(jié)果為，第次輸出的結(jié)果為，∴第次輸出的結(jié)果為，第次輸出的結(jié)果為，∴輸出結(jié)果以、、為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵，∴第2025次輸出的結(jié)果為1，故選：A．3．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示的是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算程序，當(dāng)輸入的數(shù)值為時(shí)，其輸出的結(jié)果為．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是按照運(yùn)算程序逐步進(jìn)行乘法計(jì)算．根據(jù)數(shù)值運(yùn)算程序，將代入，依次進(jìn)行乘法運(yùn)算．【詳解】解：輸入，運(yùn)算程序?yàn)椋?，所以?dāng)輸入時(shí)，輸出結(jié)果為．故答案為：．4．（24-25七年級(jí)上·江蘇蘇州·期末）如圖，是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)的示意圖．(1)若輸入x的值是3，則輸出y的值等于______；(2)若輸出y的值是3，求輸入x的值．【答案】(1)8(2)【分析】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算，正確理解程序框圖是解題的關(guān)鍵．（1）將代入，即可求解；（2）輸出y的值是3，則，即可求解．【詳解】（1）解：輸入x的值是3，則，故答案為：8；（2）解：輸出y的值是3，則，，解得：．【經(jīng)典例題十二算24點(diǎn)】【例1】（24-25七年級(jí)上·湖北武漢·開學(xué)考試）下面各組數(shù)中，不能通過加、減、乘、除（含括號(hào)）運(yùn)算得到24的是（）A．1，1，7，7 B．2，2，8，8C．1，1，2，8 D．1，1，4，6【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)的四則運(yùn)算，通過嘗試不同的四則運(yùn)算組合，判斷每組數(shù)字是否能得到24．【詳解】解：A、無法通過加、減、乘、除（含括號(hào)）運(yùn)算得到24；B、，即可以通過加、減、乘、除（含括號(hào)）運(yùn)算得到24；C、，即可以通過加、減、乘、除（含括號(hào)）運(yùn)算得到24；D、，即可以通過加、減、乘、除（含括號(hào)）運(yùn)算得到24．故選：A【例2】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）小明和小剛玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算（四張牌必須都用且每張牌上的數(shù)字只能用一次），使運(yùn)算結(jié)果等于24．其中“J”代表11、“Q”代表12、“K”代表13．(1)小明抽取的四張牌如圖所示，請(qǐng)幫小明列出一個(gè)結(jié)果等于24的算式；(2)小剛抽取的四張牌分別是方塊3，梅花3，黑桃7，梅花7，請(qǐng)幫小剛列出一個(gè)結(jié)果等于24的算式．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，24點(diǎn)的計(jì)算方法，掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算，24點(diǎn)的計(jì)算方法計(jì)算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算，24點(diǎn)的計(jì)算方法計(jì)算即可．【詳解】（1）解：或或．（答案不唯一，合理即可）（2）解：．1．（24-25七年級(jí)上·浙江溫州·期中）有一種算“24點(diǎn)”的游戲，其游戲規(guī)則如下：取四個(gè)數(shù)，將這四個(gè)數(shù)（每個(gè)數(shù)只能用一次）進(jìn)行加減乘除運(yùn)算，使其結(jié)果等于24．現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)：3，4，，10，運(yùn)用上述規(guī)則，下列算式中不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算可得答案．【詳解】解：A．，故符合題意；B．，故不符合題意；C．，故不符合題意；

D．，故不符合題意；故選A．2．（23-24七年級(jí)上·廣東佛山·開學(xué)考試）“算24點(diǎn)”的游戲規(guī)則是：用“，，，”…四種運(yùn)算符號(hào)把給出的4個(gè)數(shù)字連接起來進(jìn)行計(jì)算，要求最終算出的結(jié)果是24，例如，給出2，2，2，8這四個(gè)數(shù)，可以列式．以下的4個(gè)數(shù)用“，，，”四種運(yùn)算符號(hào)不能算出結(jié)果為24的是（

）A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8【答案】A【分析】根據(jù)題意，逐項(xiàng)組合計(jì)算，即可作答．【詳解】A項(xiàng)，1，6，8，7，不能算出結(jié)果為24，故符合題意；B項(xiàng)，，能算出結(jié)果為24，故不符合題意；C項(xiàng)，，能算出結(jié)果為24，故不符合題意；D項(xiàng)，，能算出結(jié)果為24，故不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)之間的混合運(yùn)算，根據(jù)已有的數(shù)據(jù)靈活組合舉例，是解答本題的關(guān)鍵．3．（24-25七年級(jí)上·福建寧德·期中）“24點(diǎn)”游戲規(guī)則如下：將四個(gè)數(shù)用“加、減、乘、除”進(jìn)行混合運(yùn)算，（每個(gè)數(shù)必須且只用一次，可以添加括號(hào)），使其運(yùn)算結(jié)果等于24．如3，8，8，9進(jìn)行“24點(diǎn)”游戲的算式是或．現(xiàn)有，3，4，10，則列出一個(gè)求“24點(diǎn)”的算式是（寫出一種即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了有理數(shù)的加減乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)、利用有理數(shù)的加法與乘法列出算式即可得．【詳解】解：可列出算式是，故答案為：．4．（24-25七年級(jí)上·廣東汕頭·期中）紅紅有5張寫著以下數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求抽出卡片，解決下列問題：(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相減的差最大，最大值是______．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相除的商最小，最小值是______．(3)從中取出0以外的4張卡片，將這4個(gè)數(shù)字進(jìn)行加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算，使結(jié)果為24，寫出一種符合要求的運(yùn)算等式．（注：每個(gè)數(shù)字只能用一次）．【答案】(1)5(2)(3)【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)題干要求選取3，，列式運(yùn)算即可；（2）依據(jù)題干要求選取1，，列式運(yùn)算即可；（3）按要求列式運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴從中取出2張卡片，數(shù)字相減的差最大，最大值是．（2）解：從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相除的商最小，最小值是．（3）解：由題意得：；∴取出的4個(gè)數(shù)進(jìn)行的運(yùn)算式為．【拓展訓(xùn)練一有理數(shù)乘方的規(guī)律計(jì)算探究】【例1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）觀察下列等式：，，，，，…根據(jù)其中規(guī)律可得的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（

）A．3 B．9 C．7 D．1【答案】D【分析】本題考查尾數(shù)特征，抓住的尾數(shù)特征是求解本題的關(guān)鍵．根據(jù)的尾數(shù)特征判斷．【詳解】解：根據(jù)，，，，可得，個(gè)位數(shù)字分別為，，，，，故的個(gè)位數(shù)按，，，循環(huán)出現(xiàn)．，的個(gè)位數(shù)是1．故選：D．【例2】（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）探究規(guī)律：（1）計(jì)算：①2－1＝；②22－2－1＝；③23－22－2－1＝；④24－23－22－2－1＝；（2）根據(jù)上面結(jié)果猜想：①22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝；②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝；③212－211－210－29－28－27－26＝；【答案】（1）①1；②1；③1；④1（2）①1；②1；③64【分析】（1）①簡(jiǎn)單計(jì)算即可得到結(jié)果；②，代入計(jì)算即可；③，代入計(jì)算即可；④，代入計(jì)算即可．（2）①根據(jù)（1）中，四個(gè)式子的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)行猜想即可；②根據(jù)（1）中，四個(gè)式子的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)行猜想即可；③對(duì)比規(guī)律可發(fā)現(xiàn)，需要將式子變形為：計(jì)算即可．【詳解】解：（1）計(jì)算：①②；③；④；（2）①；②；③===【點(diǎn)睛】本題考查冪的運(yùn)算，根據(jù)規(guī)律進(jìn)行猜想，并對(duì)比分析將式子變形計(jì)算是解題關(guān)鍵．1．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）觀察下列算式：①；②；③尋找規(guī)律，并判斷的值的末位數(shù)字為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】本題考查了整式的規(guī)律探究，有理數(shù)的乘方．根據(jù)題意得到式子的規(guī)律，再根據(jù)冪的運(yùn)算得到尾數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．由題意可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：，當(dāng)時(shí)代入求解，然后找出2的次方末尾數(shù)字規(guī)律，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：由題意可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，，，，，∴尾數(shù)是4個(gè)一循環(huán)，∵，∴尾數(shù)為：，故選：C．2．（23-24七年級(jí)上·福建廈門·期末）觀察下列三組數(shù)的運(yùn)算：，；，；，．聯(lián)系這些具體數(shù)的乘方，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律．下列用字母表示的式子：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，．其中表示的規(guī)律正確的是（

）A．① B．② C．①、②都正確 D．①、②都不正確【答案】B【分析】根據(jù)三組數(shù)的運(yùn)算的規(guī)律逐個(gè)判斷即可得．【詳解】解：由三組數(shù)的運(yùn)算得：，，，歸納類推得：當(dāng)時(shí)，，式子①錯(cuò)誤；由三組數(shù)的運(yùn)算得：，，，歸納類推得：當(dāng)時(shí)，，式子②正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（24-25七年級(jí)上·甘肅白銀·期中）觀察下列算式：根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你認(rèn)為的末位數(shù)字是．【答案】5【分析】本題考查了尾數(shù)特征的應(yīng)用，先分別得出前幾個(gè)的末位數(shù)字，得出末位數(shù)字每4個(gè)為一組，依次為1、3、7、5，據(jù)此即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：1的末位數(shù)字為1，的末位數(shù)字為3，的末位數(shù)字為7，的末位數(shù)字為5，的末位數(shù)字為1，末位數(shù)字每4個(gè)為一組，依次為1、3、7、5，，則該式末位數(shù)字為第506組的第四個(gè)數(shù)字，的末位數(shù)字是5，故答案為：5．4．（22-23七年級(jí)上·湖北黃岡·階段練習(xí)）觀察下面三行數(shù)：，9，，81···①1，，9，···②，10，，82···③(1)認(rèn)真觀察第①行數(shù)的排列規(guī)律，若設(shè)第①行的第n個(gè)數(shù)為a，則（用含n的式子表示）(2)分析第②③行數(shù)與第①行數(shù)分別之間的關(guān)系，解答問題：設(shè)x、y、z分別為第①②③行的2012個(gè)數(shù)，求的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）觀察第①行數(shù)得，第①行數(shù)滿足（n為該行第幾個(gè)數(shù)，即n為正整數(shù)，且）．（2）觀察第②③行數(shù)與第①行數(shù)，即可得出它們之間的關(guān)系，求出x，y，z的值，再代入求解即可．【詳解】（1）觀察第①行數(shù)得，第①行數(shù)的規(guī)律是（n為該行第幾個(gè)數(shù)，即n為正整數(shù)，且）．故答案為：；（2）第②行數(shù)是第①行數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)除以的結(jié)果；第③行數(shù)是第①行數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)加1的結(jié)果．，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類的規(guī)律題，掌握數(shù)字之間的規(guī)律并代入代數(shù)式求解是解題的關(guān)鍵．【拓展訓(xùn)練四有理數(shù)四則混合運(yùn)算綜合】【例1】（24-25七年級(jí)上·湖北黃岡·階段練習(xí)）如果對(duì)于任意兩個(gè)非零有理數(shù)a、b定義運(yùn)算如下：則的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查定義新運(yùn)算，根據(jù)定義新運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由可知，故選：B．【例2】（24-25七年級(jí)下·重慶·開學(xué)考試）計(jì)算(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】本題考查了有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，乘法分配律，熟練掌握有理數(shù)的四則混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）將帶分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)化為分?jǐn)?shù)，利用乘法分配律計(jì)算即可；（2）利用乘法分配律計(jì)算即可；（3）將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，利用乘法分配律計(jì)算即可；（4）將分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)，化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（5）計(jì)算分子可得，再計(jì)算分母，即可解答；（6）將分?jǐn)?shù)拆分分別計(jì)算即可；（7）將算式拆分，化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（8）將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：；（7）解：；（8）解：．1．（24-25七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）通過多次舉例驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)取一個(gè)自然數(shù)，若它是奇數(shù)，則乘以3加上1，若它是偶數(shù)，則除以2，按此規(guī)則經(jīng)過若干步的計(jì)算最終可得到1．例如：取自然數(shù)5．經(jīng)過下面5步運(yùn)算可得1，即：．如果自然數(shù)m恰好經(jīng)過7步運(yùn)算可得到1，則所有符合條件的m的值有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查探尋數(shù)列規(guī)律問題以及逆推法的應(yīng)用，注意觀察總結(jié)出規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)題意，應(yīng)用逆推法，用乘以，得到；用乘以，得到；用乘以，得到；用乘以，得到；然后分類討論，判斷出所有符合條件的的值，即可．【詳解】解：逆運(yùn)算第步后的數(shù)為；第步后的數(shù)：；第步后的數(shù)：；第步后的數(shù)：；第步后的數(shù)：；第步后的數(shù)：或；第步后的數(shù)：（舍去）或或（舍去）或；則原數(shù)為或或或；綜上：所有符合條件的的值有4個(gè)．故選：B．2．（24-25七年級(jí)下·四川樂山·期中）已知：則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，觀察所給式子得到一般規(guī)律，即可求解【詳解】解：∵，∴，，故選：A．3．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知為有理數(shù)，定義新運(yùn)算：，則．【答案】【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、新定義，根據(jù)題目中的新定義可以計(jì)算出所求式子的值．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．4．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）計(jì)算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）先算乘除，再算加減即可；（2）先算乘方和絕對(duì)值，再算乘法，最后算加減即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【拓展訓(xùn)練五有理數(shù)四則混合運(yùn)算實(shí)際應(yīng)用綜合】【例1】（24-25七年級(jí)上·四川綿陽·開學(xué)考試）小明一家共有三口人，小明的爸爸比媽媽大3歲，今年小明全家人的年齡總和為71歲，8年前全家人的年齡總和為49歲．小明的爸爸今年（）歲A．33 B．34 C．36 D．40【答案】B【分析】本題考查有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意，推出8年前小明還未出生，進(jìn)而求出小明的年齡，再根據(jù)小明的爸爸比媽媽大3歲，今年小明全家人的年齡總和為71歲，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：因?yàn)闅q，，所以8年前小明未出生，所以小明的年齡為：歲，所以爸爸和媽媽的總年齡為歲，因?yàn)榘职直葖寢尨?歲，所以爸爸的年齡為：歲；故選B．【例2】（24-25七年級(jí)上·廣東深圳·開學(xué)考試）張阿姨經(jīng)營(yíng)著一個(gè)體育用品商店．一次，她購進(jìn)了一批皮球，進(jìn)價(jià)是每個(gè)6元，打算以每個(gè)8元的價(jià)格賣出．實(shí)際上她在原定賣價(jià)的基礎(chǔ)上打九折賣出，當(dāng)這批皮球全部賣出后，張阿姨共獲利潤(rùn)216元．問：張阿姨買進(jìn)的這批皮球一共有多少個(gè)？【答案】180【分析】本題考查了利潤(rùn)問題的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確利潤(rùn)、單個(gè)利潤(rùn)與數(shù)量之間的關(guān)系，即總利潤(rùn)單個(gè)利潤(rùn)數(shù)量．先根據(jù)原定賣價(jià)和折扣計(jì)算實(shí)際售價(jià)，再用實(shí)際售價(jià)減去進(jìn)價(jià)得到單個(gè)皮球的利潤(rùn)，最后根據(jù)總利潤(rùn)和單個(gè)利潤(rùn)求出皮球的總數(shù)量．【詳解】解：皮球原定賣價(jià)為每個(gè)8元，打九折后的實(shí)際售價(jià)為元．單個(gè)皮球的利潤(rùn)為實(shí)際售價(jià)減去進(jìn)價(jià)，即元．已知總利潤(rùn)為元，根據(jù)“數(shù)量總利潤(rùn)單個(gè)利潤(rùn)”，這批皮球的數(shù)量為個(gè)．答：張阿姨買進(jìn)的這批皮球一共有個(gè)．1．（25-26七年級(jí)上·浙江金華·自主招生）公交公司59路車早上發(fā)第一班車，以后每隔半小時(shí)發(fā)一班車，最后一班車是晚上．那么59路車一天共發(fā)了（

）班車．A．13 B．25 C．28 D．27【答案】C【分析】本題主要是考查時(shí)間的推算．公交公司59路車早上發(fā)第一班車，以后每隔半小時(shí)發(fā)一班車，1小時(shí)分鐘，1小時(shí)發(fā)（班），把普通計(jì)時(shí)法轉(zhuǎn)化成24時(shí)計(jì)時(shí)法，用發(fā)最后一班車的時(shí)刻減開始發(fā)車的時(shí)刻就是一天發(fā)車的時(shí)間（小時(shí)數(shù)），再用每小時(shí)發(fā)的班數(shù)乘一天發(fā)的小時(shí)數(shù)加最后一班，就是這一天一共發(fā)車的班數(shù)．【詳解】解：早晨就是6.5時(shí)，晚上8時(shí)就是20時(shí)，（小時(shí)），1小時(shí)分，（班），（班），所以，59路車一天共發(fā)了28班車．故選：C．2．（24-25六年級(jí)下·江西鷹潭·階段練習(xí)）學(xué)校要買40盒彩筆，單價(jià)25元，三個(gè)商店的優(yōu)惠方式各不相同，甲商店“買10送2”，乙商店打八五折，丙商店每滿100元返現(xiàn)金16元，選擇（

）商店最合算．A．甲 B．乙 C．丙 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)優(yōu)惠方式列式計(jì)算出三家商店所需費(fèi)用，比較大小即可．【詳解】解：甲商店：（元），乙商店：（元），丙商店：（元），，因此選擇丙商店最合算．故選C．3．（24-25七年級(jí)上·湖北十堰·期末）李阿姨在超市選購了袋大米、盒牛奶和盒果汁．正值超市舉行“滿元減元”的活動(dòng)，請(qǐng)你算一算，李阿姨最終只需要支付元．【答案】【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)的大小比較，根據(jù)“單價(jià)數(shù)量總價(jià)”分別計(jì)算出買大米、牛奶和果汁的總價(jià)，再把個(gè)數(shù)相加；再看得數(shù)是否大于，如果大于，就再減去元．正確理解題意列出算式并進(jìn)行正確的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∵，∴（元），∴李阿姨最終只需要支付元．故答案為：．4．（24-25七年級(jí)上·河南鄭州·開學(xué)考試）【分段收費(fèi)】王老師與錢老師一起從學(xué)校出發(fā)，合乘一輛出租車，王老師去書店、錢老師去圖書館．如圖，學(xué)校、書店、圖書館在同一條直線上，且書店離學(xué)校12千米．兩人商定：先由錢老師付車費(fèi)，再按坐車路程的比例分?jǐn)偅阎鲎廛嚨氖召M(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：0-3千米(起步價(jià)，含3千米)11元．3千米以上的部分每千米1.8元．到圖書館時(shí)錢老師付了41.6元車費(fèi)．請(qǐng)你算一算∶(1)學(xué)校與圖書館的距離是多少？(2)與獨(dú)自乘出租車相比，王老師節(jié)約多少元車費(fèi)？【答案】(1)20千米(2)節(jié)約元車費(fèi)【分析】本題考查有理數(shù)四則運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)計(jì)費(fèi)規(guī)則及付的費(fèi)用列式計(jì)算即可；（2）先計(jì)算出每人每千米應(yīng)付費(fèi)用，進(jìn)而計(jì)算出王老師應(yīng)付費(fèi)用，再計(jì)算出王老師獨(dú)自乘車應(yīng)付費(fèi)用，作差即可．【詳解】（1）解：（千米）答：學(xué)校與圖書館的距離是20千米；（2）解：每人每千米應(yīng)付：（元），王老師應(yīng)付：（元），獨(dú)自乘出租車時(shí)，王老師應(yīng)付：（元），（元）答：與獨(dú)自乘出租車相比，王老師節(jié)約元車費(fèi)．1．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）對(duì)于式子，正確的運(yùn)算順序是（

）A．乘方、加法、除法 B．乘方、除法、加法C．加法、除法、乘方 D．除法、乘方、加法【答案】B【分析】根據(jù)運(yùn)算順序規(guī)則，先處理乘方，再乘除，最后加減.【詳解】原式為.1.乘方：計(jì)算，則；計(jì)算.2.除法：計(jì)算.3.加法：將與相加，結(jié)果為.綜上，運(yùn)算順序?yàn)槌朔?，除法，加法，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算順序，掌握“先乘方，后乘除，最后加減”是解題的關(guān)鍵.2．（2025·河南焦作·二模）音樂中的八度是指相鄰的音組中相同音名的兩個(gè)音（包括變化音級(jí)），從某一音級(jí)到它上方或下方第一個(gè)同名音級(jí)之間的音高距離，就是八度．如到、到．以頻率來表示，相鄰一個(gè)八度的兩個(gè)同名音高的聲波振動(dòng)頻率高低之比為．觀察下面的鋼琴鍵盤示意圖，可以得出的振動(dòng)頻率是的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】B【分析】本題考查了音樂中的八度的理解，有理數(shù)的乘方，根據(jù)所給定義即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)鋼琴鍵盤示意圖可知，從到音高依次經(jīng)過，∴跨越了個(gè)八度，∵相鄰一個(gè)八度的兩個(gè)同名音高的聲波振動(dòng)頻率高低之比為∴的振動(dòng)頻率是的，故選：．3．（24-25七年級(jí)上·福建龍巖·期末）在至33的整數(shù)之間進(jìn)行猜數(shù)字游戲，最快在（

）次內(nèi)一定能猜中．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本題主要考查了乘方的應(yīng)用，先求出從至33的整數(shù)數(shù)量，再根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：從至33的整數(shù)一共有個(gè)數(shù)，而，故最快在6次內(nèi)一定能猜中，故選∶B4．（2025·河北·一模）在式子中，“”應(yīng)填入的符號(hào)為（

）A． B． C． D．以上都不對(duì)【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方．根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果，再比例即可得解．【詳解】解：∵，，，∴，故選：A．5．（24-25八年級(jí)上·江蘇南通·期末）定義：若正整數(shù)a，b，c滿足，則稱為夢(mèng)想數(shù).例如，，，則15，40都是夢(mèng)想數(shù).下列各數(shù)中，不是夢(mèng)想數(shù)的是（

）A．98 B．87 C．76 D．65【答案】A【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方，根據(jù)新定義，逐一判斷即可．熟練掌握有理數(shù)的乘方是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、不能寫成兩數(shù)的平方差，故本選項(xiàng)符合題意；B、，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．6．（24-25七年級(jí)上·四川成都·期末）下列數(shù)或式子在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定在原點(diǎn)右邊的是（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】本題考查了乘方運(yùn)算，絕對(duì)值的非負(fù)性，數(shù)軸上的點(diǎn)，由乘方運(yùn)算及小于零的數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在原點(diǎn)左邊，大于零的數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在原點(diǎn)右邊，在在原點(diǎn)，進(jìn)行逐一判斷，即可求解；能熟練進(jìn)行乘法運(yùn)算及絕對(duì)值的性質(zhì)判斷正負(fù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在原點(diǎn)左邊，故不符合題意；B.，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定在原點(diǎn)右邊，故符合題意；C.，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在原點(diǎn)左邊，故不符合題意；D.0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是原點(diǎn)，故不符合題意；故選：B．7．（24-25七年級(jí)上·北京·期中）求索半世紀(jì)、奮斗十余載，中國(guó)人的“大飛機(jī)夢(mèng)”在新時(shí)代終成現(xiàn)實(shí)——我國(guó)首次按照國(guó)際通行適航標(biāo)準(zhǔn)自行研制、具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的噴氣式干線客機(jī)完成研發(fā)、制造、取證、投運(yùn)．2024年9月19日中午，印有“”字樣的南航航班從廣州白云機(jī)場(chǎng)騰空而起，飛向上海虹橋機(jī)場(chǎng)，（標(biāo)準(zhǔn)航程型）最大起飛質(zhì)量，用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，將數(shù)據(jù)表示成形式為的形式，其中，n為整數(shù)，正確確定a、n的值是解題的關(guān)鍵．將寫成其中，n為整數(shù)的形式即可．【詳解】解：．故選：B．8．（24-25七年級(jí)上·云南昆明·期末）二進(jìn)制在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，計(jì)算機(jī)和依賴計(jì)算機(jī)的設(shè)備都使用二進(jìn)制來表示數(shù)字和數(shù)據(jù)．二進(jìn)制是逢二進(jìn)一，其各數(shù)位上的數(shù)字為0或1，并利用角標(biāo)表示二進(jìn)制數(shù)，例如，就是二進(jìn)制數(shù)的簡(jiǎn)單寫法．在學(xué)習(xí)教科書《進(jìn)位制的認(rèn)識(shí)與探究》以后，小明查閱了資料并進(jìn)行了思考，發(fā)現(xiàn)以下兩種方法均可實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換．以98為例：方法一：因?yàn)樗裕椒ǘ河萌鐖D的短除法算式表示：請(qǐng)你根據(jù)以上材料，把轉(zhuǎn)換為五進(jìn)制數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了乘方的應(yīng)用；仿照二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換的方法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：方法一：∵所以．方法二所以．故選：C．9．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期中）下如為小亮某次測(cè)試的答卷，每小題20分，他的得分應(yīng)是（

）（1）；（2）數(shù)軸上到距離為2的點(diǎn)是1；（3）已知，則；（4）幾個(gè)有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)，這句話是錯(cuò)誤的；（5）已知點(diǎn)A、B、C在同一直線上，且，則．A．100分 B．80分 C．60分 D．40分【答案】C【分析】此題考查了有理數(shù)的乘方、數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、多個(gè)有理數(shù)的乘法、線段的和差等知識(shí)．根據(jù)相關(guān)知識(shí)即可逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：（1）；答案正確；（2）數(shù)軸上到距離為2的點(diǎn)是1或；故原說法錯(cuò)誤；（3）已知，則，∴；故原說法錯(cuò)誤；（4）幾個(gè)有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)，這句話是錯(cuò)誤的；故原說法正確；（5）已知點(diǎn)A、B、C在同一直線上，且，則1或5，原說法正確．綜上可知，小亮某次測(cè)試的答卷，每小題20分，他的得分應(yīng)是60分，故選：C10．（23-24九年級(jí)下·重慶合川·階段練習(xí)）任意一個(gè)正整數(shù)均可以按下列方式表示：，（其中，，，…，的值為0或1，為正整數(shù)），記．例如：，則；，則；，則．下列說法：①；②；③．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題考查有理數(shù)的冪的運(yùn)算，掌握有理數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故①正確；，則，故②正確；③，，則，，即故③正確，故選D.11．（2025六年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：；；；．【答案】【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方，熟練運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)乘方的定義計(jì)算即可；【詳解】解：；；；．故答案為；；；．12．（24-25七年級(jí)上·河北唐山·期末）日常生活中，我們最熟悉、最常用的是十進(jìn)制，約定“逢十進(jìn)一”，使用十個(gè)數(shù)字記數(shù)，例如：（規(guī)定時(shí)，）．嘉淇想將二進(jìn)制數(shù)化成十進(jìn)制數(shù)，則轉(zhuǎn)化后的結(jié)果為．【答案】11【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題干的計(jì)算范例列式計(jì)算，即得答案．【詳解】解：，故答案為：11．13．（24-25七年級(jí)上·河南開封·期中）如圖，將一張長(zhǎng)為的長(zhǎng)方形紙條對(duì)折，使其左右兩端重合，這樣連續(xù)對(duì)折4次后，再將其展開，請(qǐng)求出最左端的折痕和最右端的折痕之間的距離為．【答案】【分析】本題考查了乘方的應(yīng)用．先求得第四次對(duì)折分成張紙條，進(jìn)一步計(jì)算即可求解．【詳解】解：第二次對(duì)折分成張紙條，第三次對(duì)折分成張紙條，第四次對(duì)折分成張紙條，∴第四次對(duì)折，最左端的折痕和最右端的折痕之間的距離為．故答案為：．14．（2025·安徽蚌埠·三模）中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，技術(shù)中的數(shù)學(xué)原理之一是香農(nóng)公式：，其中表示最大信息傳送速率，為信道帶寬，為信道內(nèi)所傳信號(hào)的平均功率，為信道內(nèi)部的高斯噪聲功率，叫作信噪比．已知某次信息傳送的信道帶寬為200，信噪比為15，則這次信息傳送的最大速率是．【答案】800【分析】本題主要考查乘方的應(yīng)用，將