2.7探索勾股定理（第二課時）題型一：判斷三邊能否組成直角三角形1．（24-25八年級下·湖南婁底·期末）下列條件不能夠判定是直角三角形的是（

）A．， B．，，C．點D是邊的中點， D．2．（24-25八年級下·湖北宜昌·期末）下列說法正確的是（

）A．若，，是的三邊，則．B．若，，是的三邊，則．C．若，，是的三邊，，則．D．若三條線段長，，滿足，那么這三條線段組成的三角形是直角三角形．3．（24-25八年級下·安徽安慶·期末）在中，的對邊分別是，下列命題中假命題是（

）A．若，則是直角三角形B．若，則是直角三角形C．若，則不一定是直角三角形D．若，則一定不是直角三角形4．（24-25八年級下·湖南岳陽·期末）下列條件無法判定是直角三角形的是（

）A． B．，，C． D．5．（24-25八年級下·湖南株洲·期末）已知的三條邊分別為，下列條件不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C． D．6．（24-25八年級下·河南許昌·期末）下列由線段、、組成的三角形中，不是直角三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，7．（24-25八年級上·廣西百色·期末）已知中，，，分別是，，的對邊，下列條件不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，8．（24-25八年級下·江西贛州·期末）已知中，分別是的對邊，則下列條件中不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C． D．9．（24-25八年級下·福建福州·期末）滿足下列條件的中，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．題型二：在網(wǎng)格中判斷直角三角形1．（23-24八年級下·廣西玉林·期末）如圖，在方格中作以為一邊的，要求點C也在格點上，這樣的能作出（

）A．2個 B．4個 C．6個 D．7個2．（24-25八年級下·安徽亳州·期末）如圖，在網(wǎng)格中，點，，都是網(wǎng)格線的交點，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（24-25八年級下·河北邢臺·期中）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點，，均在網(wǎng)格的格點上，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．4．（24-25八年級下·陜西安康·期中）如圖，小正方形的邊長均為，、、在小正方形的格點上，連接，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．5．（24-25八年級下·湖北孝感·期中）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都相等，網(wǎng)格線的交點稱為格點格點與圖中的格點，可構(gòu)成直角三角形，則這樣的格點有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．（24-25九年級上·云南臨滄·期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點、、、、都是網(wǎng)格線交點，則（）A． B． C． D．7．（24-25八年級下·山東臨沂·期中）如圖，每個小正方形的邊長為1，A，B，C分別是小正方形的頂點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．（24-25八年級下·廣東惠州·期中）點A，B，C，D，E是如圖所示的正方形網(wǎng)格中網(wǎng)格線的交點，則（

）

A． B． C． D．9．（2025·河北邢臺·模擬預(yù)測）圖是由小正方形拼成的網(wǎng)格，兩點均在格點上，兩點均為小正方形一邊的中點，直線與直線交于點，則（

）A． B． C． D．題型三：勾股定理的逆定理求線段長度1．（24-25八年級下·安徽合肥·期中）如圖，在中，，，是邊上的中線，且，則的長為（

）A．12 B．10 C． D．2．（24-25八年級下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）如圖，已知中，的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點，點為垂足，，，，則的長為（

）A． B． C． D．3．（20-21八年級上·陜西西安·期中）如圖，D為的邊上一點，已知，，，，則的長為（

）

A．18 B．21 C．20 D．234．（24-25八年級上·重慶·期中）如圖，在中，，，，將折疊，得到折痕，且頂點B恰好與點A重合，點C落在點F處，則的長為（）．A．4 B． C．5 D．5．（24-25九年級上·四川瀘州·期末）如圖，在中，，，，D是邊的中點，則．

6．（24-25八年級上·廣東深圳·期中）如圖所示，已知，，，則的長為．題型四：勾股定理的逆定理求角度1．（24-25八年級下·四川南充·期末）如圖，四邊形中，，，，，．則（

）A．是銳角 B．是直角 C．是鈍角 D．不確定大小2．（24-25八年級下·四川廣安·期末）如圖，在四邊形中，，，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（24-25八年級上·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，已知．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（24-25八年級下·山西呂梁·期末）如圖，中，，點在上，點為的中點，，相交于點，且．若，則的度數(shù)是．6．（24-25八年級下·福建福州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，已知，則的度數(shù)為．7．（2025八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，中，，垂足為D，E為邊的中點，，，，則．題型五：勾股定理的逆定理求面積問題1．（24-25九年級下·廣東河源·期中）如圖，在四邊形中，，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級下·云南昭通·階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，，，，，則四邊形的面積為（）

A． B． C． D．3．（24-25八年級下·吉林松原·期末）已知一個三角形的三邊長分別為、4、5，則此三角形的面積為（

）A．20 B．10 C． D．4．（24-25八年級下·西藏·期中）如圖，四邊形中，，，，，，則四邊形的面積是(

)A． B． C． D．5．（24-25八年級下·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，一塊三角形木板，測得，，，則三角形木板的面積為（

）A．15 B．24 C．30 D．不能確定6．（24-25九年級下·四川綿陽·開學(xué)考試）如圖，，，，，，則這個圖形的面積為．7．（24-25八年級上·福建漳州·期中）如圖，在四邊形中，，，，，，則四邊形的面積是．題型六：勾股定理的逆定理綜合解答題1．（24-25八年級下·天津紅橋·期末）如圖，在四邊形中，，，，，，(1)求的大?。?2)求四邊形的面積．2．（24-25八年級下·安徽阜陽·期中）如圖，在四邊形中，，，，，．(1)連接，求的長；(2)求四邊形的面積．3．（24-25八年級下·廣西欽州·期中）如圖，在中，，，，是的垂直平分線，分別交，于點，．(1)求證：是直角三角形；(2)求的長．4．（24-25八年級下·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖所示，已知等腰三角形的底邊，D是腰上一點，且，，求的面積．5．（24-25八年級下·江蘇南通·期中）如圖，在中，，，點D為內(nèi)一點，且，，．(1)求BC的長；(2)求圖中陰影部分的面積．6．（24-25八年級下·浙江臺州·期中）如圖，在中，于點D．(1)已知，，，求證：；(2)已知．①若，，求的長；②若設(shè)，，，則m，n，k的數(shù)量關(guān)系為__________．7．（24-25八年級下·廣東東莞·期中）如圖，四邊形中，，，，，．(1)求的長度；(2)求四邊形的面積．題型七：勾股定理逆定理的實際應(yīng)用1．（24-25八年級下·貴州遵義·期末）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”其大意是：有一塊三角形沙田，三條邊分別為5里，12里，13里，問這塊沙田的面積為（

）A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里2．（24-25八年級下·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖，在我國海軍某次海上編隊演習(xí)中，兩艘航母護衛(wèi)艦從同一港口同時出發(fā)，號艦沿南偏東方向以節(jié)（節(jié)海里/小時）的速度航行，號艦以節(jié)的速度航行，離開港口小時后它們分別到達兩點且相距海里，則號艦的航行方向是（

）A．北偏西 B．南偏西 C．南偏東 D．南偏西3．（24-25八年級上·山西晉中·期中）城市綠化是城市重要的基礎(chǔ)設(shè)施，是改善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾生活質(zhì)量的公益事業(yè)．如圖，某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街清理出了一塊可以綠化的空地（陰影部分）．若，，，，則這塊可以綠化的空地（陰影部分）的面積為（

）A． B．C． D．4．（24-25八年級下·河北滄州·期末）如圖，為居民飲水方便，某小區(qū)設(shè)立了兩個直飲水自動售賣機A，B，且A，B均位于地下管道的同側(cè)，售賣機A，B之間的距離（）為500米，管道分叉口M與B之間的距離為300米，于點N，M到的距離（）為240米．假設(shè)所有管道的材質(zhì)相同．(1)求B，N之間的距離；(2)珍珍認(rèn)為：從管道上的任意一處向售賣機B引出的分叉管道中，是這些分叉管道中最省材料的，請通過計算判斷珍珍的觀點是否正確．5．（24-25八年級下·江西宜春·期末）城市綠化是城市重要的基礎(chǔ)設(shè)施，是改善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾生活質(zhì)量的公益事業(yè)．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力下，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地，如圖，，，，，，現(xiàn)計劃在空地內(nèi)種草，若每平方米草地造價40元，則這塊地全部種草的費用是多少元？6．（24-25八年級下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）如圖，某港口位于東西方向的海岸線上．“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里．它們離開港口一個半小時后分別位于點處，且相距30海里．已知“遠航”號沿東北方向航行，則“海天”號沿方向航行．7．（24-25八年級下·河北唐山·期中）如圖是某工廠的平面圖經(jīng)測量．（1）則度；（2）已知是在邊上藥廠的進出口，為了能觀察到進出口周圍環(huán)境情況，工作人員計劃在點處安裝一個攝像頭，且攝像頭能監(jiān)控的最遠距離為，若，則直線上被攝像頭監(jiān)控的公路長度為米．題型一：最短路徑之圓柱體上的問題1．（24-25八年級下·安徽安慶·期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為．在杯內(nèi)離杯底的點C處有滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜C點的最短距離為（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級下·河北張家口·期末）如圖是一個底面周長為，高為的圓柱模型，是底面直徑．現(xiàn)要在此模型的側(cè)面貼一圈彩色裝飾帶，使裝飾帶經(jīng)過A，C兩點（接頭不計），則裝飾帶的長度最短為（

）A． B． C． D．3．（24-25八年級下·內(nèi)蒙古通遼·期中）如圖，圓柱體的底面周長為，是底面圓的直徑，在圓柱表面的高上有一點，，，一只螞蟻從A點出發(fā)，沿圓柱的表面爬行到點的最短路程是（

）A． B． C． D．4．（24-25八年級下·遼寧鞍山·期中）如圖，在底面周長約為8米且?guī)в袑訉踊丨h(huán)不斷的云朵石柱上，有一條雕龍從柱底沿立柱表面均勻地盤繞2圈到達柱頂正上方（從點A到點C，B為的中點），每根石柱刻有雕龍的部分的柱身高約12米，則雕刻在石柱上的巨龍的長度至少為（

）A．10米 B．12米 C．16米 D．20米5．（24-25七年級下·廣西玉林·期末）2025年中國輪滑（滑板）公開賽于5月2日在江西崇義站舉行，標(biāo)志著我國鄉(xiāng)村體育發(fā)展的新突破．如圖是一名滑板選手訓(xùn)練的U型池的示意圖，該U型池可以看成是長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為米的半圓，其邊緣米，點E在上，米，該選手從A點滑到E點，則他滑行的最短距離為米．6．（24-25八年級下·浙江臺州·期中）如圖，有一個圓柱，它的高為，底面圓的周長為，在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，求它從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到上底面與點A相對的點B處的最短路徑是．7．（24-25八年級下·湖南郴州·期中）如圖，半徑為1，高為3的圓柱體，一只甲殼蟲從點到點，則甲殼蟲的最短路程為．題型二：最短路徑之長方形上的問題1．（24-25八年級下·云南西雙版納·期中）如圖，正方體的棱長長為，一只螞蟻從點出發(fā)，沿長方體表面到點處吃食物，那么它爬行最短路程是（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，有一個長方體．如果用一根細線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達點B，那么所用細線最短需要（）A． B． C． D．3．（24-25八年級下·廣東韶關(guān)·期末）如圖，在桌面上放置一個棱長為的正方體，點B為一條棱上的點，且，螞蟻在正方體表面爬行，從頂點A爬行到點B的最短路程是（

）A． B． C． D．4．（2025八年級下·河南·專題練習(xí)）如圖，用7個棱長為1的正方體搭成一個幾何體，沿著該幾何體的表面從點到點的所有路徑中，最短路徑的長是（

）A．5 B． C． D．5．（2025八年級下·河南·專題練習(xí)）如圖，長方體的底面是邊長為6的正方形，側(cè)面都是長為13的長方形，點是的中點，在長方體下底面的點處有一只螞蟻，它想吃到上底面點處的蜂蜜，則沿著表面需要爬行的最短路程的值為（

）A． B． C． D．6．（24-25八年級上·四川成都·期中）在一個長6米，寬為6米的正方形草地上，如圖堆放著一根三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場地寬，木塊的主視圖的高是米的正三角形，一只昆蟲從點A處到C處需要走的最短路程是米．7．（24-25八年級下·四川綿陽·期中）如圖，長方體的底面是邊長為的正方形，高為．如果用一根細線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達點B，則所用細線最短需．8．（24-25八年級下·河北邢臺·期中）如圖1，在棱長為的立方體紙盒的頂點處有一只螞蟻，在另一頂點處有一粒糖．(1)現(xiàn)甲、乙、丙三人分別為這只螞蟻設(shè)計了一條爬行路線，使它沿著立方體表面上的這一條路線爬行到點處，如圖所示．請通過計算分析，甲、乙、丙中誰設(shè)計的爬行路線最長？誰設(shè)計的爬行路線最短？(2)將題干中的立方體紙盒改為長、寬、高分別為，，的長方體紙盒（如圖3），其他條件不變，試通過分析求螞蟻經(jīng)過的最短路程．題型三：勾股定理逆定理的拓展問題1．（24-25八年級下·河南信陽·期中）閱讀下列內(nèi)容：設(shè)，，是一個三角形的三條邊的長，且是最長邊，我們可以利用，，三邊長間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：若，則該三角形是直角三角形；若，則該三角形是鈍角三角形；若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是，，，則最長邊是，由于，由結(jié)論可知該三角形是銳角三角形．請解答以下問題：(1)若一個三角形的三邊長分別是，，，則該三角形是________三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)若一個三角形的三邊長分別是，，，且這個三角形是直角三角形，則的值為________．2．（23-24八年級下·福建莆田·階段練習(xí)）定義：若a，b，c是的三邊，且，則稱為“方倍三角形”．(1)對于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是．A．①一定是“方倍三角形”

B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”

D．①②都一定不是“方倍三角形”(2)如圖，中，，，P為邊上一點，將沿直線進行折疊，點A落在點D處，連接，．若為“方倍三角形”，且，求的面積．3．（23-24八年級上·湖南長沙·期中）定義：a，b，c為正整數(shù)，若，則稱c為“完美勾股數(shù)”，a，b為c的“伴侶勾股數(shù)”．如，則13是“完美勾股數(shù)”，5，12是13的“伴侶勾股數(shù)”．(1)數(shù)10________“完美勾股數(shù)”（填“是”或“不是”）；(2)已知的三邊a，b，c滿足．求證：c是“完美勾股數(shù)”．(3)已知m，且，，，，c為“完美勾股數(shù)”，a，b為c的“伴侶勾股數(shù)”．多項式有一個因式，求該多項式的另一個因式．4．（23-24八年級上·江蘇徐州·期中）在中，，設(shè)為最長邊，當(dāng)時，是直角三角形；當(dāng)時，利用代數(shù)式和的大小關(guān)系，探究的形狀（按角分類）．(1)當(dāng)三邊分別為6、8、9時，為________三角形；當(dāng)三邊分別為6、8、11時，為________三角形；(2)猜想：當(dāng)________時，為銳角三角形；當(dāng)________時，為鈍角三角形；（填“>”或“<”或“=”）(3)判斷：當(dāng)時，當(dāng)為直角三角形時，則的取值為________；當(dāng)為銳角三角形時，則的取值范圍________；當(dāng)為鈍角三角形時，則的取值范圍________．5．（21-22八年級上·山西晉中·期中）閱讀下列內(nèi)容，并解決問題．一道習(xí)題引發(fā)的思考小明在學(xué)習(xí)《勾股定理》一章內(nèi)容時，遇到了一個習(xí)題，并對有關(guān)內(nèi)容進行了研究：【習(xí)題再現(xiàn)】古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么a，b，c為勾股數(shù)．你認(rèn)為對嗎?如果對，你能利用這個結(jié)論得出一些勾股數(shù)嗎?【資料搜集】定義：勾股數(shù)是指可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)．一般地，若三角形三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2=c2，那么a，b，c稱為一組勾股數(shù)．關(guān)于勾股數(shù)的研究；我國西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)了"勾三，股四，弦五"，這組數(shù)（3、4、5）是世界上最早發(fā)現(xiàn)的一組勾股數(shù)．畢達哥拉斯學(xué)派、柏拉圖學(xué)派、我國數(shù)學(xué)家劉徽、古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖都進行過勾股數(shù)的研究，習(xí)題中的表達式是柏拉圖給出的勾股數(shù)公式，這個表達式未給出全部勾股數(shù)．世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是《九章算術(shù)》．【問題解答】（1）根據(jù)柏拉圖的研究，當(dāng)m=6時，請直接寫出一組勾股數(shù)；（2）若m表示大于1的整數(shù)，試證明（m2-1，2m，m2+1）是一組勾股數(shù)；（3）請舉出一個反例（即寫出一組勾股數(shù)），說明柏拉圖給出的勾股數(shù)公式不能構(gòu)造出所有的勾股數(shù)．6．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個三角形的三條邊的長，且a是最長邊，我們可以利用a，b，c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是4，5，6，則最長邊是6，，故由③可知該三角形是銳角三角形，請解答以下問題：（1）若一個三角形的三邊長分別是7，8，9，則該三角形是________三角形．（2）若一個三角形的三邊長分別是5，12，x．且這個三角形是直角三角形，求的值．（3）當(dāng)，時，判斷的形狀，并求出對應(yīng)的的取值范圍．1．（24-25八年級下·湖北十堰·期末）下列各組線段中，能夠組成直角三角形的是（

）A．8，15，17 B．5，6，7 C．，， D．6，7，82．（24-25八年級下·江西上饒·期末）設(shè)的三邊分別為，滿足下列條件的中，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．3．（24-25八年級下·湖北省直轄縣級單位·期中）如圖，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點，，都在格點上，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C．的面積為10 D．點到直線的距離是24．（24-25八年級下·吉林松原·期中）小智用四根長度相同的木條制作了能夠活動的菱形學(xué)具，他先將活動學(xué)具制成為如圖①所示的菱形，并測得，接著將活動學(xué)具制成為如圖②所示的正方形，并測得圖②中的對角線，則圖①中的對角線的長為（

）A． B． C． D．5．（24-25八年級上·山西晉中·期末）五根小木棒的長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，下列圖形正確的是（

）A． B．C． D．6．（24-25八年級下·湖北武漢·期中）如圖：在一個邊長為1的小正方形組成的方格稿紙上，有A、B、C、D、E、F、G七個點，則在下列任選三個點的方案中可以構(gòu)成直角三角形的是（

）A．點A、點B、點D B．點A、點C、點GC．點B、點E、點F D．點B、點G、點E7．（24-25八年級下·湖北十堰·期末）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿的點A處，則該螞蟻要吃到飯粒需爬行的最短路徑長是（

）A． B． C． D．8．（河北省張家口市經(jīng)開區(qū)2024-2025學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)練習(xí)