12奇偶性問題【方法技巧與總結(jié)】方法技巧一、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1、函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么稱為偶函數(shù)．奇函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么稱為奇函數(shù)．詮釋：（1）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）在定義域中，那么在定義域中嗎？----具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點對稱的；（3）的等價形式為：，的等價形式為：；（4）由定義不難得出若一個函數(shù)是奇函數(shù)且在原點有定義，則必有；（5）若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有．2、奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．（2）如果一個函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．3、用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點對稱，則進行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性．若，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)方法技巧二、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點對稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的，再判斷與之一是否相等．（2）驗證法：在判斷與的關(guān)系時，只需驗證及是否成立即可．（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價于它的圖象關(guān)于原點（軸）對稱．（4）性質(zhì)法：兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時，通常利用定義法判斷．在函數(shù)定義域內(nèi)，對自變量的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù)．因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷與的關(guān)系．首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達式中，與對應(yīng)不同的表達式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進行比較．方法技巧三、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見結(jié)論（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如．對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)奇偶性的判斷題型二：求函數(shù)值與解析式題型三：已知奇偶性求參數(shù)題型四：利用性質(zhì)解決不等式問題題型五：性質(zhì)的綜合運用【典型例題】題型一：函數(shù)奇偶性的判斷例1．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．例2．已知，且是定義在R上的奇函數(shù)，，則（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)例3．（多選題）已知函數(shù)，均為定義在上的奇函數(shù)，且，，則（

）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)例4．（多選題）下列判斷正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是非奇非偶函數(shù)例5．判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4)．例6．設(shè)函數(shù)對任意，都有，證明：為奇函數(shù)．題型二：求函數(shù)值與解析式例7．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則時，的解析式為________．例8．已知是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，_________．例9．已知，分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，試求和的表達式．例10．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且當(dāng)時，(1)試求在R上的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間.例11．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．(1)求當(dāng)x＞0時，函數(shù)的解析式；(2)解不等式．題型三：已知奇偶性求參數(shù)例12．若函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為___________.例13．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則_____．例14．定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，最大值為，則__________.例15．若函數(shù)在上為奇函數(shù)，則___________.例16．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則a＝______．題型四：利用性質(zhì)解決不等式問題例17．函數(shù)為奇函數(shù)，是定義在上的減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為______．例18．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，在上的圖象如圖所示，則使的x的取值集合為______．例19．奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為__________.例20．已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則實數(shù)的取值范圍為_________．例21．已知偶函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，則的解集為（

）A． B．C． D．例22．定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的有則（

）A． B．C． D．題型五：性質(zhì)的綜合運用例23．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則函數(shù)在上的最小值為______．例24．已知函數(shù)的定義域是，對任意，都有：，且當(dāng)時，．給出結(jié)論：①是偶函數(shù)；②是奇函數(shù)；③在上是增函數(shù)；④在上是減函數(shù)．則正確結(jié)論的序號是________．例25．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為______.例26．已知f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的奇函數(shù)，且f(1)＝1，當(dāng)a，b∈[－1，1]，a＋b≠0時，有＞0成立.(1)判斷f(x)在區(qū)間[－1，1]上的單調(diào)性，并證明；(2)若f(x)≤m2－2am＋1對所有的a∈[－1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.例27．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示．(1)請補出函數(shù)，剩余部分的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)，的單調(diào)增區(qū)間；(2)求函數(shù)，的解析式；(3)已知關(guān)于x的方程有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．例28．函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱的充要條件是函數(shù)是奇函數(shù).(1)依據(jù)推廣結(jié)論，求函數(shù)的圖象的對稱中心；(2)請利用函數(shù)的對稱性的值；(3)類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)的圖像關(guān)于軸成軸對稱的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論.（不需要證明）例29．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝若f(x)在上的最大值為m，最小值為n，求m＋n．例30．設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足：①當(dāng)時，；②，．則是_______函數(shù)（填“奇”或“偶”），在定義域上是_______函數(shù)（填“增”或“減”）．【過關(guān)測試】一、單選題1．某同學(xué)在研究函數(shù)時，分別給出下面四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù) B．函數(shù)的值域是C．函數(shù)在R上是增函數(shù) D．方程有實根2．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．若函數(shù)在上的最大值為M，最小值為N，且M＋N＝2024，則實數(shù)t的值為（

）A．－506 B．506 C．2022 D．20244．已知定義在R上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①；②，當(dāng)時，．記，，，則（

）A． B．C． D．5．若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．16．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則的解集是（

）A． B．或C． D．或7．定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．下列圖象中，不可能是的圖象的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知函數(shù)，其中，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在實數(shù)a，使得函數(shù)為奇函數(shù)B．存在實數(shù)a，使得函數(shù)為偶函數(shù)C．當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，D．當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為10．已知定義域為R的函數(shù)在上為增函數(shù)，且為偶函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱 B．在上為增函數(shù)C． D．11．在復(fù)習(xí)了函數(shù)性質(zhì)后，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是的圖彖關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱：可以引申為：函數(shù)為奇函數(shù)，則圖象關(guān)于點成中心對稱.現(xiàn)在已知函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對稱，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．對任意，都有12．已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，對于任意a，都滿足，則下述正確的是（

）A． B． C．是奇函數(shù) D．若，則三、填空題13．設(shè)偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是___________．14．已知函數(shù)滿足，，且，.若，則的取值范圍是_______.15．若定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍為___________.16．函數(shù)，若，則實數(shù)m的取值范圍是____________．四、解答題17．設(shè)函數(shù)，．(1)某同學(xué)認(rèn)為，無論實數(shù)a取何值，都不可能是奇函數(shù)，該同學(xué)的觀點正確嗎？請說明你的理由．(2)若是偶函數(shù)，求實數(shù)a的值．(3)在（2）的情況下，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．18．已知函數(shù)．(1)若，判斷的奇偶性并加以證明．(2)當(dāng)時，先用定義法證明函數(shù)f（x）在[1，）上單調(diào)遞增，再求函數(shù)在[1，）上的最小值．(3)若對任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．19．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)