29三角函數(shù)特征量與圖象關系的研究【方法技巧與總結(jié)】1、振幅變換：，（且）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點的縱坐標伸長（）或縮短（）到原來的倍得到的（橫坐標不變），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的圖象，再以軸為對稱軸翻折，稱為振幅．2、周期變換：函數(shù)，（且）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短或伸長到原來的倍（縱坐標不變）．若則可用誘導公式將符號“提出”再作圖．決定了函數(shù)的周期．3、相位變換：函數(shù)，（其中）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左（當時）或向右（當時）平行移動個單位長度而得到．（用平移法注意講清方向：“左加右減”）．4、函數(shù)的圖象經(jīng)變換得到的圖象的兩種途徑一般地，函數(shù)，的圖象可以看作是用下面的方法得到的：（1）先把y=sinx的圖象上所有的點向左（）或右（）平行移動個單位；（2）再把所得各點的橫坐標縮短或伸長到原來的倍（縱坐標不變）；（3）再把所得各點的縱坐標伸長（）或縮短（）到原來的倍（橫坐標不變）．【題型歸納目錄】題型一：三角函數(shù)圖象的平移與伸縮變換題型二：利用三角函數(shù)圖象解決函數(shù)性質(zhì)問題題型三：已知圖象或性質(zhì)求三角函數(shù)的解析式題型四：綜合類函數(shù)性質(zhì)處理問題【典型例題】題型一：三角函數(shù)圖象的平移與伸縮變換例1．已知曲線，，則下面結(jié)論正確的是A．把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線 B．把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線 C．把上各點的橫坐標縮短到原來的是，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線 D．把上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線【解析】解：，把上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)圖象，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，即曲線，故選：．例2．將函數(shù)圖象上的點，向左平移個單位長度得到點，若位于函數(shù)的圖象上，則A．，的最小值為 B．，的最小值為 C．，的最小值為 D．，的最小值為【解析】解：將代入得：，將函數(shù)圖象上的點向左平移個單位，得到，點，若位于函數(shù)的圖象上，則，則，，則，，由得：當時，的最小值為，故選：．例3．將函數(shù)圖象上的點，向左平移個單位，得到點，若位于函數(shù)的圖象上，則A．，的最小值為 B．，的最小值為 C．，的最小值為 D．，的最小值為【解析】解：將代入得：．將函數(shù)圖象上的點，向左平移個單位，得到點，，若位于函數(shù)的圖象上，則，則，，則，，由得：當時，的最小值為，故選：．變式1．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點A．橫坐標伸長到原來的倍，再把得到的圖象向右平移個單位長度，縱坐標不變 B．橫坐標伸長到原來的倍，再把得到的圖象向左平移個單位長度，縱坐標不變 C．橫坐標縮短到原來的倍，再把得到的圖象向右平移個單位長度，縱坐標不變 D．橫坐標縮短到原來的倍，再把得到的圖象向左平移個單位長度，縱坐標不變【解析】解：只要把函數(shù)圖象上所有的點，橫坐標縮短到原來的倍，得到函數(shù)的圖象，再把得到的圖象向左平移個單位長度，縱坐標不變，可得函數(shù)的圖象，故選：．變式2．（多選題）已知曲線，，則下面結(jié)論正確的是A．把曲線向左平移個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到曲線 B．把曲線向左平移個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到曲線 C．把曲線上各點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線 D．把曲線上各點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線【解析】解：對于，曲線向左平移個單位長度，得的圖象，橫坐標縮短到原來的，得的圖象，即曲線，選項正確．對于，曲線向左平移個單位長度，得的圖象，橫坐標伸長到原來的2倍，得的圖象，不是曲線，選項錯誤．對于，曲線上各點的橫坐標縮短到原來的，得的圖象，向左平移個單位長度，得的圖象，不是曲線，選項錯誤．對于，曲線上各點的橫坐標縮短到原來的，得的圖象，向左平移個單位長度，得的圖象，是曲線，選項正確．故選：．變式3．（多選題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點A．向左平移個單位長度，再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍 B．向左平移個單位長度，再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?C．橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮傧蜃笃揭苽€單位長度 D．橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，再向左平移個單位長度【解析】解：把函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位長度，可得的圖象；再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，可得的圖象．或把函數(shù)圖象上所有的點橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖象；再向左平移個單位長度，可得的圖象．故選：．變式4．（多選題）下列函數(shù)通過變換得到的解析式與函數(shù)解析式相同的有A．函數(shù)橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變 B．函數(shù)向左平移個單位長度 C．函數(shù)橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，再向左平移個單位長度 D．函數(shù)向左平移個單位長度，再橫坐標變?yōu)樵瓉肀?，縱坐標不變【解析】解：對于：數(shù)橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，得到函數(shù)的解析式，故正確；對于：函數(shù)向左平移個單位長度得到的解析式，故正確；對于：函數(shù)橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變得到，再向左平移個單位，得到的解析式，故錯誤；對于：函數(shù)向左平移個單位長度得到，再橫坐標變?yōu)樵瓉肀叮v坐標不變得到的解析式，故錯誤．故選：．變式5．將函數(shù)圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，再向右平移個單位長度得到的圖象，則．【解析】解：將函數(shù)圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，可得的圖象；再把圖象向右平移個單位長度得到的圖象．再根據(jù)所得圖象為，，求得，且，，則．變式6．已知函數(shù)．（1）用五點法畫出函數(shù)在，上的大致圖象；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）說明怎樣由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象．【解析】解：（1）列表：00300描點連線得在，上的圖象如圖所示，（2）由，得，，，所以的單調(diào)增區(qū)間為，，，由，得，，，所以的單調(diào)減區(qū)間為，，．（3）將的圖象向右平移個單位，得函數(shù)的圖象，將的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變）得函數(shù)的圖象，再將的圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標不變）就得到函數(shù)的圖象．題型二：利用三角函數(shù)圖象解決函數(shù)性質(zhì)問題例4．將函數(shù)的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的，然后再將所得圖象上的每一點向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則的一條對稱軸方程可能是A． B． C． D．【解析】解：將函數(shù)的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的，可得的圖象；然后再將所得圖象上的每一點向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．令，可得，，結(jié)合所給的選項，故選：．例5．（多選題）已知函數(shù)，將圖象上每一點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則A．的圖象向左平移個單位后對應的函數(shù)是偶函數(shù) B．在上單調(diào)遞減 C．當時，取最大值 D．直線與圖象的所有交點的橫坐標之和為【解析】解：由已知：函數(shù)圖象上每一點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），可得，對于：函數(shù)向左平移個單位，得到，顯然，故為偶函數(shù)，正確；對于：因為，，故，顯然在上不單調(diào)，亦即函數(shù)在上不單調(diào)，錯誤；對于：當時，是最小值，錯誤；對于：令，即，，令或，解得或，當時，，當時，，當時，，當時，，故所有的交點的橫標之和為：，故選項正確．故選：．例6．（多選題）設函數(shù)，已知在，有且僅有5個零點，則下列結(jié)論成立的有A．在有且僅有2個零點 B．在單調(diào)遞增 C．的取值范圍是 D．將的圖象先右移個單位，再縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的2倍，得到函數(shù)【解析】解：．如圖，，上函數(shù)僅有5個零點，但有3個最小值點，這3個最小值點就是在上的3個零點；．，時，若函數(shù)在，有且僅有5個零點，則，得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故正確；．函數(shù)的圖象先右移個單位后得到，再將橫坐標擴大為原來的2倍，得到，故不正確；故選：．變式7．（多選題）已知函數(shù)的部分圖象如圖，將函數(shù)的圖象所有點的橫坐標伸長到原來的，再將所得函數(shù)圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列關于函數(shù)的說法正確的是A．點是圖象的一個對稱中心 B．是圖象的一條對稱軸 C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．若，則的最小值為【解析】解：根據(jù)函數(shù)圖象可得：，，可得，圖象過點，可得；將函數(shù)的圖象所有點的橫坐標伸長到原來的，可得再將所得函數(shù)圖象向左平移個單位長度，可得即對于：當時，，故不正確；對于：令，可得，當時，可得是圖象的一條對稱軸；故正確；對于：令，解得，故不正確；對于，可知取得最低點橫坐標，那么必然是最高點橫坐標，的周期，則的最小值為；故正確；故選：．變式8．（多選題）已知直線是函數(shù)的一條對稱軸，則A．是奇函數(shù) B．是的一個零點 C．在，上單調(diào)遞減 D．與的圖象關于直線對稱【解析】解：直線是函數(shù)的一條對稱軸，，，，函數(shù)．是偶函數(shù)，故錯誤；令，求得，可得是的一個零點，故正確；當，，，，函數(shù)單調(diào)遞減，故正確；顯然，與的圖象關于直線對稱，故正確，故選：．變式9．（多選題）已知直線是函數(shù)的一條對稱軸，則A．的圖像關于點中心對稱 B．在上有兩個零點 C．在上單調(diào)遞減 D．與的圖象關于直線對稱【解析】解：直線是函數(shù)的一條對稱軸，所以，所以，即，對于：所以，故正確；對于：當，當時，，該函數(shù)只有一個零點，故錯誤；對于：當，此時函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減，故正確；對于：由于函數(shù)，故，故這兩個函數(shù)的圖象關于直線對稱，故正確．故選：．變式10．已知函數(shù)，，的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的值域．【解析】解：（1）由圖可知，，所以，又函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，解得，因為，所以，所以，由得的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由題意得，則，所以的值域為題型三：已知圖象或性質(zhì)求三角函數(shù)的解析式例7．已知函數(shù)（其中，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式是A． B． C． D．【解析】解：由圖象知．，．又圖象經(jīng)過點，，．，，．故選：．例8．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明代科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理．假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動．將筒車抽象為一個幾何圖形（圓，筒車的半徑為，筒車的軸心到水面的距離為，筒車每分鐘按逆時針轉(zhuǎn)動2圈．規(guī)定：盛水筒對應的點從水中浮現(xiàn)（即時的位置）時開始計算時間，設盛水筒從運動到點時所用時間為（單位：，且此時點距離水面的高度為（單位：．若以筒車的軸心為坐標原點，過點的水平直線為軸建立平面直角坐標系（如圖，則與的函數(shù)關系式為A．，， B．，， C．，， D．，，【解析】解：因為，所以是以為始邊，為終邊的角，由在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為，可知以為始邊，以為終邊的角為，則點的縱坐標為，所以點距水面的高度表示為時間的函數(shù)關系是，，．故選：．例9．（多選題）如圖是函數(shù)的部分圖象，則A． B． C． D．【解析】解：根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，，再結(jié)合五點法作圖，可得，，故函數(shù)的解析式為，故選：．變式11．（多選題）如圖是函數(shù)的部分圖象，則A． B． C． D．【解析】解：若，根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，由，求得．再結(jié)合五點法作圖，可得，，故函數(shù)的解析式為．若，根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，由，求得．再結(jié)合五點法作圖，可得，，故據(jù)函數(shù)．故選：．變式12．（多選題）如圖是函數(shù)的部分圖象，則A． B． C． D．【解析】解：由圖可知，，，則，，由五點作圖的第三點可知，，即．．故選：．變式13．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應用，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫1描繪了筒車的工作原理．假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動．如圖2，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓，筒車的半徑為，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，筒車每分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動4圈．規(guī)定：盛水筒對應的點從水中浮現(xiàn)（即時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心為坐標原點，過點的水平直線為軸建立平面直角坐標系．設盛水筒從點運動到點時所經(jīng)過的時間為（單位：，且此時點距離水面的高度為（單位：，則與的函數(shù)關系式為，點第一次到達最高點需要的時間為．【解析】解：因為，所以是以為始邊，為終邊的角．由在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為，可知以為始邊，以為終邊的角為，則點的縱坐標為，所以點距水面的高度表示為時間的函數(shù)是，令，得，?。式?jīng)過后點第一次到達最高點．故答案為：；5．變式14．某同學用“五點法”畫函數(shù)（其中，，在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入部分數(shù)據(jù)，如表：（1）請根據(jù)如表中的部分數(shù)據(jù)，求出函數(shù)的解析式；（2）若定義在區(qū)間上的函數(shù)的最大值為7，最小值為1，求實數(shù)，的值．03【解析】解：（1）由已知的表格可得，，，可得．結(jié)合五點法作圖，可得，可得，故．把表格補充完整為：01311（2）由定義在區(qū)間，上的函數(shù)的最大值為7，最小值為1，根據(jù)，，當時，則當時，取得最大值為，當時，取得最小值為，求得，．當時，則當時，取得最小值為，當時，取得最大值為，求得，．綜上可得，，；或，．變式15．某同學用“五點法“”畫函數(shù)，在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：0050（1）請將上表數(shù)據(jù)補充完整，并直接寫出函數(shù)的解析式；（2）將圖象上所有點向左平行移動個單位長度，得到的圖象．若圖象的一個對稱中心為，求的最小值．【解析】解：（1）表格如下：00500所以．（2）根據(jù)題意可得，若的一個對稱中心為，則，，解得，，且，所以當時，取得最小值為．題型四：綜合類函數(shù)性質(zhì)處理問題例10．（多選題）如圖，摩天輪的半徑為40米，摩天輪的軸點距離地面的高度為45米，摩天輪勻速逆時針旋轉(zhuǎn)，每6分鐘轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點的起始位置在最高點處，下面的有關結(jié)論正確的有A．經(jīng)過3分鐘，點首次到達最低點 B．第4分鐘和第8分鐘點距離地面一樣高 C．從第7分鐘至第10分鐘摩天輪上的點距離地面的高度一直在降低 D．摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周的過程中有2分鐘距離地面不低于65米【解析】解：由圖形知，可以以點在地面上的垂足為原點，所在直線為軸，與垂直的向右的方向為軸建立坐標系，設，表示時間．由題意可得：，，，，，可得，故有點離地面的高度．．經(jīng)過3分鐘，．點首次到達最低點，正確．．第4分鐘和第8分鐘點距離地面的高度分別為：（4），（8）．第4分鐘和第8分鐘點距離地面一樣高．正確．．從第7分鐘至第9分鐘摩天輪上的點距離地面的高度一直在降低，而從第9分鐘至第10分鐘摩天輪上的點距離地面的高度開始上升．．由，化為：，取，可得．結(jié)合圖形可得：摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周的過程中有2分鐘距離地面不低于65米．因此正確．綜上可得：正確．故選：．例11．函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）寫出圖中、的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上所有點的縱坐標縮短為原來的倍，橫坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求方程在區(qū)間，上的解．【解析】解：（1）因為函數(shù)，則函數(shù)的最大值為3，所以，由題意可知，在處是軸正半軸上取得第二個最大值，令，解得，，所以，；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上所有點的縱坐標縮短為原來的倍，橫坐標不變，得到函數(shù)，由，可得，所以或，，解得或，，又，，所以方程的解為．例12．在①函數(shù)為奇函數(shù)②當時，③是函數(shù)的一個零點這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知函數(shù)，的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為，_____．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在，上的單調(diào)遞增區(qū)間．【解析】解：函數(shù)的圖象相鄰對稱軸間的距離為，，，．方案一：選條件①為奇函數(shù)，，，（1），，．（2）由，，得，，令，得，令，得，函數(shù)在，上的單調(diào)遞增區(qū)間為，，方案二：選條件②，，，，或，，（1），，，（2）由，，得，，令，得，令，得，函數(shù)在，上的單調(diào)遞增區(qū)間為，，方案三：選條件③是函數(shù)的一個零點，，，，（1），，，（2）由，，得，，令，得，令，得．函數(shù)在，上的單調(diào)遞增區(qū)間為，．故答案為：．變式16．如圖，摩天輪的半徑為，圓心距地面的高度為．已知摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)動一圈．游客在摩天輪的艙位轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙．（1）游客進入摩天輪的艙位，開始轉(zhuǎn)動后，他距離地面的高度為，求關于的函數(shù)解析式；（2）已知在距離地面超過的高度，游客可以觀看到游樂場全景，那么在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈的過程中，游客可以觀看到游樂場全景的時間是多少？【解析】解：（1）由題意可知：設在時刻時點距離地面的高度．，，，，即．又，．解得，．（2）由，化為：．，解得．在距離地面超過的高度，游客可以觀看到游樂場全景，那么在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈的過程中，游客可以觀看到游樂場全景的時間是：到．變式17．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示：（1）求的解析式；（2）將的圖象上所有的點橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象求方程在，的實數(shù)解．【解析】解：（1）函數(shù)的部分圖象可得，，．再根據(jù)五點法作圖，可得，求得，．（2）將的圖象上所有的點橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，方程，即，可得或，，即或，由于，，可得，，．變式18．在①圖象過點，②圖象關于直線對稱，③圖象關于點對稱，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答．問題：已知的最小正周期為，_____．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將的圖象上所有點向左平移個單位長度，再將得到的圖象上每個點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間．【解析】解：若選①：（1）由已知得，則，于是因為圖象過點，所以，即，又因為，所以，故．（2）由已知得，于是，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為．若選②：（1）由已知得，，則，于是．因為圖象關于直線對稱，所以，即又因為，所以，故．（2）由已知得．由，即．故的單調(diào)遞增區(qū)間為．若選③：（1）由已知得，則，于是．因為圖象關于點對稱，所以，即，又因為，所以，故．（2）由已知得，由，，即故的單調(diào)遞增區(qū)間為．變式19．在下列三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．①的最小正周期為，且是偶函數(shù)；②圖象上相鄰兩個最高點之間的距離為，且；③與是圖象上相鄰的兩條對稱軸，且．問題：已知函數(shù)，，若_____．（1）求，的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，再將得到的函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求在，上的單調(diào)遞減區(qū)間．【解析】解：（1）選條件①：的最小正周期為，，即，又是偶函數(shù)，，，，．選條件②：圖象上相鄰兩個最高點之間的距離為，，即，又，，即，，，，．選條件③：與是圖象上相鄰的兩條對稱軸，，即，解得，又，，即，，，，．（2）由（1）知，，將的圖象向右平移個單位，得到的圖象，再將橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，令，，，則，，，當時，，，故在，上的單調(diào)遞減區(qū)間為，．變式20．在下列三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．①的最小正周期為，且是偶函數(shù)；②圖象上相鄰兩個最高點之間的距離為，且；③直線與直線是圖象上相鄰的兩條對稱軸，且．問題：已知函數(shù)，，若______．（Ⅰ）求，的值；（請先在答題卡上寫出所選序號再作答）（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，再將得到的函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求在，上的最小值和最大值．【解析】解：（Ⅰ）選條件①的最小正周期為，且是偶函數(shù)，所以，因為函數(shù)為偶函數(shù)；所以，整理得，故，又，所以；選條件②時，圖象上相鄰兩個最高點之間的距離為，則，所以；因為函數(shù)滿足，所以，整理得，所以，又，所以；選條件③時，直線與直線是圖象上相鄰的兩條對稱軸，則，整理得，因為，所以，所以，因為，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）無論取條件①②③，求得，．故；將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，再將得到的函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，由，得，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，．所以函數(shù)在，上的最大值為2，最小值為1．【過關測試】一．選擇題1．若在，是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．【解析】解：，由，，得，，取，得的一個減區(qū)間為，，由在，是減函數(shù)，得，．則的最大值是．故選：．二．多選題2．已知曲線，，下列說法中正確的是A．把向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到 B．把向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得?C．把上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，再向右平移個單位長度，得到 D．把上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，再向右平移個單位長度，得到【解析】解：曲線向右平移個單位，得到，再將函數(shù)圖象上所有點的坐標變?yōu)樵瓉淼?，即可得到函?shù)的圖象；把曲線上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖象，再向右平移個單位長度得到的圖象，即曲線的圖象．故選：．3．將函數(shù)圖象上的各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再向左平移個單位，得到的圖象，下列說法正確的是A．點，是函數(shù)圖象的對稱中心 B．函數(shù)在上單調(diào)遞減 C．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相同 D．若，是函數(shù)的零點，則是的整數(shù)倍【解析】解：將函數(shù)圖象上的各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，可得的圖象；再向左平移個單位，得到的圖象．令，求得，故排除．在上，，，故單調(diào)遞減．故正確．，顯然，的周期為，故正確．若，是函數(shù)的零點，則，則是或的整數(shù)倍，故不正確，故選：．4．將函數(shù)圖象上的各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再向左平移個單位，得到的圖象，下列說法正確的是A．點是函數(shù)圖象的對稱中心 B．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相同 C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸【解析】解：函數(shù)圖象上的各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，再向左平移個單位，得到的圖象．對于：當時，，故錯誤；對于：函數(shù)，故正確；對于：當，故，故函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，故錯誤；對于：當時，函數(shù)取得最大值為1，故正確．故選：．5．已知函數(shù)，，是奇函數(shù)，將的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象對應的函數(shù)為．若的最小正周期為，且，則下列結(jié)論正確的是A．在有且僅有3個零點 B．在有且僅有3個極值點 C．在單調(diào)遞增 D．圖象的一個對稱中心為，【解析】解：函數(shù)分，，是奇函數(shù)，，．將的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象對應的函數(shù)為．若的最小正周期為，則，，，，，故，．在上，，有3個零點，，，故正確．在上，，有4個極值，即，，，，故錯誤．在上，，單調(diào)遞增，故正確．令，求得，可得圖象的一個對稱中心為，，故正確，故選：．6．水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點，出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時60秒．經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設的坐標為，其縱坐標滿足，，．則下列敘述正確的是A．，， B．當，時，點到軸的距離的最大值為6 C．當，時，函數(shù)單調(diào)遞減 D．當時，【解析】解：由題意，，，，點，代入可得，，．故正確；，當，時，，，點到軸的距離的最大值為6，正確；當，時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，不正確；當時，，的縱坐標為6，，正確，故選：．7．對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是A．把函數(shù)的圖象上的各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則是函數(shù)的一個周期 B．對，若，則 C．對成立 D．當且僅當時，取得最大值【解析】解：因為，令，所以，所以，對于：將圖象上的各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，則，所以，所以是函數(shù)的一個周期，故正確；對于：因為，所以，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，對稱軸為，開口向上，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故錯誤；對于，，故正確；因為，當時取得最大值，令，則，所以，解得，即當時，函數(shù)取得最大值，故錯誤；故選：．三．填空題8．港口水深是港口重要特征之一，表明其自然條件和船舶可能利用的基本界限，如圖是某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：的最大值為8．【解析】解：對于函數(shù)，由題意可得，．故函數(shù)，即函數(shù)，故函數(shù)的最大值為，故答案為：8．9．函數(shù)的圖象向右平移個單位后，與函數(shù)的圖象重合，則．【解析】解：把函數(shù)的圖象向右平移個單位后，可得的圖象，再根據(jù)所得圖象與函數(shù)的圖象重合，可得，，故答案為：．10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后函數(shù)圖象的解析式為；平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程是．【解析】解：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后函數(shù)圖象的解析式為．令，求得，．令，可得平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程為，故答案為：；．11．已知函數(shù)，，（其中，，為常數(shù)，且有且僅有3個零點，則的值為，的取值范圍是．【解析】解：函數(shù)在，上為偶函數(shù)，又函數(shù)，，有且僅有3個零點，故必有一個零點為，且函數(shù)的零點個數(shù)必為奇數(shù)，，；又函數(shù)，，的零點個數(shù)，即函數(shù)與直線的圖象在，上交點的個數(shù)，而函數(shù)相當于函數(shù)縱坐標不變，橫坐標擴大（或縮小）為原來的倍，當時，函數(shù)與直線在，上僅有一個交點，則，；當時，函數(shù)與直線在，上恰有3個零點，如圖，故；當時，函數(shù)與直線在，上恰有5個零點，如圖，故；綜上，的取值范圍是，．故答案為：，，．12．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是，．【解析】解：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，且，，應有，且，求得，則實數(shù)的取值范圍是，，故答案為：，．13．設，其中，，，若對一切恒成立，則對于以下四個結(jié)論：①；②；③既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④的單調(diào)遞增區(qū)間是．正確的是①③（寫出所有正確結(jié)論的編號）．【解析】解：由題設，，且，因為對一切恒成立，所以，即，則，①，故①正確；②，，所以，故②錯誤；③，所以，即非奇非偶，故③正確；④因為在，上單調(diào)遞增，所以，令，則，等價于上單調(diào)遞增，故④錯誤．故答案為：①③．14．2020年是蘇頌誕辰1000周年．蘇頌發(fā)明的水運儀象臺被譽為世界上最早的天文鐘．水運儀象臺的原動輪叫樞輪，是一個直徑約3.4米的水輪，它轉(zhuǎn)一圈需要30分鐘．如圖，當點從樞輪最高處隨樞輪開始轉(zhuǎn)動時，退水壺內(nèi)水面位于樞輪中心下方1.19米處．此時打開退水壺出水口，壺內(nèi)水位以每分鐘0.017米的速度下降，將樞輪轉(zhuǎn)動視為勻速圓周運動，則點至少經(jīng)過12分鐘（結(jié)果取整數(shù)）進入水中．（參考數(shù)據(jù)：，，【解析】解：設分鐘后點轉(zhuǎn)至點，和水面重合，，如圖所示：則分鐘后，，，轉(zhuǎn)一圈需要30分鐘，每分鐘轉(zhuǎn)，當時，，代入得：（舍去），當時，，代入得：，可取，點至少經(jīng)過13分鐘進入水中．故答案為：13．四．解答題15．已知函數(shù)滿足條件：，且．（1）求的解析式；（2）由函數(shù)的圖象經(jīng)過適當?shù)淖儞Q可以得到的圖象．現(xiàn)提供以下兩種變換方案：①；②．請你選擇其中一種方案作答，并將變換過程敘述完整．【解析】解：（1）由，得函數(shù)的周期，即，得，由．得函數(shù)關于對稱，則，得，，，當時，，即．（2）若按①；則將的圖象沿著軸，向右平移個單位得到，然后縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到．若按②．將的圖象沿著軸，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖象，然后．向右平移個單位得到．16．函數(shù)在上的最大值為，．（1）若點在的圖象上，求函數(shù)圖象的對稱中心；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得的圖象縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的，得函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，求的最大值．【解析】解：（1）由題意，，由，得，，，則．又，．得，．，．，取，得．．由，得，．函數(shù)圖象的對稱中心為，，；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得的圖象縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的，得函數(shù)的圖象，則．由，，得，，取，得．由在上為增函數(shù)，得，解得，又，，的最大值為2．17．已知函數(shù)，，的圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到曲線，把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的曲線對應的函數(shù)記作．求函數(shù)的最大值；若函數(shù)在，內(nèi)恰有2015個零點，求、的值．【解析】解：（1）由函數(shù)圖象可得，且，解得，所以，所以可得，，而，解得：，所以，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，，；（2）由（1）及函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到曲線，把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變可得，，所以的最大值為，這時，，即，．由題意可得，所以，令，可得，令，，即，易知△，方程由兩個不同的實數(shù)解，，由，則，異號，①當且，或且時，則方程和在區(qū)間上均有偶數(shù)個根，不合題意，舍去；②當且時，則方程和在區(qū)間上均有偶數(shù)個根，不合題意，舍去；③當且時，時，方程只有一根，方程有兩根，所以關于的方程在上有三個根，由于，則方程在上有2013個根，因為方程在區(qū)間上只有一根，在區(qū)間上無根；方程在區(qū)間上無根，在區(qū)間上有兩個根，因此，不合題意，舍去；④當且時，時，方程只有一根，方程有兩根，所以關于的方程在上有三個根，由于，則方程在上有2013個根，因為方程在區(qū)間上無根，方程在區(qū)間上有兩個根，因此，當時，滿足題意，此時，解得，綜上，．18．2022年是