高三數(shù)學(xué)下學(xué)期函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題單元達標(biāo)質(zhì)量專項訓(xùn)練試題一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題1．設(shè)函數(shù)其中表示中的最小者.下列說法正確的有（）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．當(dāng)時，有C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，【答案】ABC【分析】畫出的圖象然后依據(jù)圖像逐個檢驗即可．【詳解】解：畫出的圖象如圖所示：對A，由圖象可知：的圖象關(guān)于軸對稱，故為偶函數(shù)，故A正確；對B，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，此時有，故B成立；對C，從圖象上看，當(dāng)時，有成立，令，則，故，故C正確；對D，取，則，，，故D不正確．故選：ABC．【點睛】方法點睛：一般地，若（其中表示中的較小者），則的圖象是由這兩個函數(shù)的圖象的較低部分構(gòu)成的．2．已知，則關(guān)于的方程，下列正確的是（）A．存在實數(shù)，使得方程恰有1個不同的實數(shù)解；B．存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實數(shù)解；C．存在實數(shù)，使得方程恰有3個不同的實數(shù)解；D．存在實數(shù)，使得方程恰有6個不同的實數(shù)解；【答案】ACD【分析】令，根據(jù)判別式確定方程根的個數(shù)，作出的大致圖象，根據(jù)根的取值，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】令，則關(guān)于的方程，可得，當(dāng)時，，此時方程僅有一個根；當(dāng)時，，此時方程有兩個根，且，此時至少有一個正根；當(dāng)時，，此時方程無根；作出的大致圖象，如下：當(dāng)時，此時，由圖可知，有個不同的交點，C正確；當(dāng)時，此時方程有兩個根，且，此時至少有一個正根，當(dāng)、，且時，，有個不同的交點，D正確；當(dāng)方程有兩個根，一個大于1，另一個小于0，此時，僅有個交點，故A正確；當(dāng)方程有兩個根，一個等于1，另一個等于0，，有個不同的交點，當(dāng)時，，此時方程無根.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了根的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵是利用換元法將方程化為，根據(jù)方程根的分布求解，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想.3．定義：若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復(fù)區(qū)間長度”為，已知函數(shù)，則（）A．是的一個“完美區(qū)間”B．是的一個“完美區(qū)間”C．的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為D．的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為【答案】AC【分析】根據(jù)定義，當(dāng)時求得的值域，即可判斷A；對于B，結(jié)合函數(shù)值域特點即可判斷；對于C、D，討論與兩種情況，分別結(jié)合定義求得“復(fù)區(qū)間長度”，即可判斷選項.【詳解】對于A，當(dāng)時，，則其值域為，滿足定義域與值域的范圍相同，因而滿足“完美區(qū)間”定義，所以A正確；對于B，因為函數(shù)，所以其值域為，而，所以不存在定義域與值域范圍相同情況，所以B錯誤；對于C，由定義域為，可知，當(dāng)時，，此時，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，則滿足，化簡可得，即，所以或，解得（舍）或，由解得或（舍），所以，經(jīng)檢驗滿足原方程組，所以此時完美區(qū)間為，則“復(fù)區(qū)間長度”為；當(dāng)時，①若，則，此時.當(dāng)在的值域為，則，因為，所以，即滿足，解得，（舍）.所以此時完美區(qū)間為，則“復(fù)區(qū)間長度”為；②若，則，，此時在內(nèi)單調(diào)遞增，若的值域為，則，則為方程的兩個不等式實數(shù)根，解得，，所以，與矛盾，所以此時不存在完美區(qū)間.綜上可知，函數(shù)的“復(fù)區(qū)間長度”的和為，所以C正確，D錯誤；故選：AC.【點睛】本題考查了函數(shù)新定義的綜合應(yīng)用，由函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的值域，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于難題.4．已知定義在上的函數(shù)滿足：，且當(dāng)時，.若.在上恒成立，則的可能取值為()A． B． C． D．【答案】CD【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,得到sinx≥k(2+sinx),再根據(jù)題意，利用檢驗法判斷即可.【詳解】因為定義在上的函數(shù)滿足：,所以為奇函數(shù)，時，，顯然在上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，由恒成立，可得在R上恒成立，即，整理得：當(dāng)時，，不恒成立，故A錯誤;當(dāng)時，，不恒成立，故B錯誤;當(dāng)時，，恒成立，故C正確；當(dāng)時，，恒成立，故D正確.故選：CD【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不等式恒成立問題，屬于中檔題.5．已知是定義域為的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A．是周期為2的函數(shù)B．C．的值域為[-1，1]D．的圖象與曲線在上有4個交點【答案】BCD【分析】對于A，由為R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，得，則是周期為4的周期函數(shù)，可判斷A；對于B，由是周期為4的周期函數(shù)，則，，可判斷B．對于C，當(dāng)時，，有，又由為R上的奇函數(shù)，則時，，可判斷C．對于D，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點存在性定理，即可判斷D．【詳解】根據(jù)題意，對于A，為R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于對稱，即則是周期為4的周期函數(shù)，A錯誤；對于B，定義域為R的奇函數(shù)，則，是周期為4的周期函數(shù)，則；當(dāng)時，，則，則，則；故B正確．對于C，當(dāng)時，，此時有，又由為R上的奇函數(shù)，則時，，，函數(shù)關(guān)于對稱，所以函數(shù)的值域．故C正確．對于D，，且時，，，，，是奇函數(shù)，，的周期為，，，，設(shè)，當(dāng)，，設(shè)在恒成立，在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減，且，存在，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，所以在有唯一零點，在沒有零點，即，的圖象與曲線有1個交點，當(dāng)時，，，則，，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一的，使得，所以，，在單調(diào)遞減，，，在單調(diào)遞增，又，所以，又，所以在上有一個唯一的零點，在上有唯一的零點，所以當(dāng)時，的圖象與曲線有2個交點，，當(dāng)時，同，的圖象與曲線有1個交點，當(dāng)，的圖象與曲線沒有交點，所以的圖象與曲線在上有4個交點，故D正確；故選：BCD．【點睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性、兩函數(shù)圖像的交點，屬于較難題.6．已知函數(shù)，當(dāng)實數(shù)取確定的某個值時，方程的根的個數(shù)可以是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．4個【答案】ABC【分析】令，畫出，結(jié)合的解的情況可得正確的選項.【詳解】，故當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)；當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，而且當(dāng)時，恒成立，故的圖象如圖所示：考慮方程的解的情況.，當(dāng)時，，此時方程有兩個不等的正根，因為，故，，由圖象可知方程的解的個數(shù)為2，方程的解的個數(shù)為0，故方程的根的個數(shù)是2.當(dāng)時，，此時方程有兩個相等的正根，由圖象可知方程的解的個數(shù)為1，故方程的根的個數(shù)是1.當(dāng)時，，此時方程無解，故方程的根的個數(shù)是0.當(dāng)時，，此時方程有兩個相等的負(fù)根，由圖象可知方程的解的個數(shù)為1，故方程的根的個數(shù)是1.當(dāng)時，，此時方程有兩個不等的負(fù)根，由圖象可知方程的解的個數(shù)為1，方程的解的個數(shù)為1，故方程的根的個數(shù)是2.故選：ABC．【點睛】本題考查復(fù)合方程的解，此類問題，一般用換元法來考慮，其中不含的參數(shù)的函數(shù)的圖象應(yīng)利用導(dǎo)數(shù)來刻畫，本題屬于難題．7．已知函數(shù)滿足：當(dāng)時，，下列命題正確的是（）A．若是偶函數(shù)，則當(dāng)時，B．若，則在上有3個零點C．若是奇函數(shù)，則，，D．若，方程在上有6個不同的根，則的范圍為【答案】BC【分析】A選項，利用函數(shù)的奇偶性求出解析式即可判斷；B選項，函數(shù)關(guān)于直線對稱，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性作出函數(shù)圖像，由函數(shù)圖像可知當(dāng)時，函數(shù)與直線有3個交點可判斷；C選項，由函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱求出函數(shù)的值域進行判斷；D選項，函數(shù)周期為3，作出函數(shù)圖像知方程在上有兩個不同的根，則時方程在上有4個不同的根.【詳解】A選項，若，則，，因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，A錯誤；B選項，若，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，，，作出函數(shù)大致圖像如圖所示，則當(dāng)時，函數(shù)與直線有3個交點，即函數(shù)在上有3個零點，B正確；C選項，由B知當(dāng)時，，若函數(shù)為奇函數(shù)，則當(dāng)時，所以，，，C正確；D選項，若，則函數(shù)的周期為3，作出函數(shù)在上的圖像如圖所示，若方程即在上有6個不同的根，因為方程在上有兩個不同的根，所以在上有4個不同的根，又，，所以，D錯誤.故選：BC【點睛】本題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性，函數(shù)的零點與方程的根，綜合性較強，屬于較難題.8．對于具有相同定義域D的函數(shù)和，若存在函數(shù)（k，b為常數(shù)），對任給的正數(shù)m，存在相應(yīng)的，使得當(dāng)且時，總有，則稱直線為曲線與的“分漸近線”.給出定義域均為的四組函數(shù)，其中曲線與存在“分漸近線”的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】BD【分析】根據(jù)分漸近線的定義，對四組函數(shù)逐一分析，由此確定存在“分漸近線”的函數(shù).【詳解】解：和存在分漸近線的充要條件是時，．對于①，，，當(dāng)時，令，由于，所以為增函數(shù)，不符合時，，所以不存在分漸近線；對于②，，，，因為當(dāng)且時，，所以存在分漸近線；對于③，，，當(dāng)且時，與均單調(diào)遞減，但的遞減速度比快，所以當(dāng)時，會越來越小，不會趨近于0，所以不存在分漸近線；對于④，，，當(dāng)時，，且，因此存在分漸近線．故存在分漸近線的是BD．故選：BD．【點睛】本小題主要考查新定義概念的理解和運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.9．已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的為（）A．在定義域內(nèi)有三個零點 B．函數(shù)的值域為C．在定義域內(nèi)為周期函數(shù) D．圖象是中心對稱圖象【答案】ABD【分析】將函數(shù)變形為，求出定義域，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性即可判斷BC，由零點存在定理結(jié)合單調(diào)性可判斷A，由可求出函數(shù)的對稱點，即可判斷D.【詳解】解：由題意知，，定義域為，，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，C不正確；當(dāng)時，，則上有一個零點，當(dāng)時，，所以在上有一個零點，當(dāng)時，，所以在上有一個零點，當(dāng)，，所以在定義域內(nèi)函數(shù)有三個零點，A正確；當(dāng)，時，，當(dāng)時，，又函數(shù)在遞增，且在上有一個零點，則值域為R，B正確；，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于對稱，D正確；故選:ABD.【點睛】結(jié)論點睛:1、與圖象關(guān)于x軸對稱；2、與圖象關(guān)于y軸對稱；3、與圖象關(guān)于軸對稱；4、與圖象關(guān)于軸對稱；5、與圖象關(guān)于軸對稱.10．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如：，，又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費，出租車收費等均按“取整函數(shù)”進行計費，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）A．，B．，若，則C．，D．不等式的解集為或【答案】BCD【分析】通過反例可得A錯誤，根據(jù)取整函數(shù)的定義可證明BC成立，求出不等式的解后可得不等式的解集，從而可判斷D正確與否.【詳解】對于A，，則，故，故A不成立.對于B，，則，故，所以，故B成立.對于C，設(shè)，其中，則，，若，則，，故；若，則，，故，故C成立.對于D，由不等式可得或，故或，故D正確.故選：BCD【點睛】本題考查在新定義背景下恒等式的證明與不等式的解法，注意把等式的證明歸結(jié)為整數(shù)部分和小數(shù)部分的關(guān)系，本題屬于較難題.11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍為B．關(guān)于x的方程有個不同的解C．對于實數(shù)，不等式恒成立D．當(dāng)時，函數(shù)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為1【答案】AC【分析】根據(jù)函數(shù)的表達式，作出函數(shù)的圖像，對于A，C利用數(shù)形結(jié)合進行判斷，對于B，D利用特值法進行判斷.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)，則，；當(dāng)，則，；當(dāng)，則，；當(dāng)，則，；依次類推，作出函數(shù)的圖像：對于A，函數(shù)有4個零點，即與有4個交點，如圖，直線的斜率應(yīng)該在直線m,n之間，又，，，故A正確；對于B，當(dāng)時，有3個交點，與不符合，故B錯誤；對于C，對于實數(shù)，不等式恒成立，即恒成立，由圖知函數(shù)的每一個上頂點都在曲線上，故恒成立，故C正確；對于D，取，，此時函數(shù)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為，故D錯誤；故選：AC【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.12．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）有唯一零點，則的值可以為（）A．1 B． C．2 D．【答案】BC【分析】由已知，換元令，可得，從而為偶函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性分析可得結(jié)論.【詳解】∵，令，則，定義域為，，故函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，要使得函數(shù)有唯一零點，則，即，解得或①當(dāng)時，由基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)時取得故，當(dāng)且僅當(dāng)取等號故此時有唯一零點②當(dāng)時，，同理滿足題意.故選：BC．【點睛】方法點睛：①函數(shù)軸對稱：如果一個函數(shù)的圖像沿一條直線對折，直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合，則稱該函數(shù)具備對稱性中的軸對稱，該直線稱為該函數(shù)的對稱軸.②的圖象關(guān)于直線對稱13．已知，，則（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)條件求得表達式，根據(jù)對數(shù)性質(zhì)結(jié)合放縮法得A正確，根據(jù)不等式性質(zhì)得B正確，通過作差法判斷C錯，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性與放縮法可得D正確．【詳解】解：∵，，∴，，因為，又由，所以，選項A正確；，，則，，所以，選項B正確；因為，，則，，此時，所以，故選項C不正確；由和知與均遞減，再由，的大小關(guān)系知，故選項D正確.故選：ABD【點睛】本題考查了數(shù)值大小比較，關(guān)鍵運用了指對數(shù)運算性質(zhì)，作差法和放縮法．14．設(shè)函數(shù)，g（x）＝x2-（m＋1）x＋m2-2，下列選項正確的有（）A．當(dāng)m＞3時，f[f（x）]＝m有5個不相等的實根B．當(dāng)m＝0時，g[g（x）]＝m有4個不相等的實根C．當(dāng)0＜m＜1時，f[g（x）]＝m有6個不相等的實根D．當(dāng)m＝2時，g[f（x）]＝m有5個不相等的實根【答案】BCD【分析】作出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象分析可解得結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象：令，得；當(dāng)時，有兩個根：，方程有1個根，方程有2個根，所以A錯誤；②當(dāng)時，，，令，由得由由所以B正確；③令，，因為，所以有個實根根，設(shè)，所以，，因為在上遞減，所以，所以，所以，即方程的最小根大于的最小值，所以、、都有2個不等實根，且這6個實根互不相等，所以當(dāng)0＜m＜1時，f[g（x）]＝m有6個不相等的實根，所以C正確；④令，則，當(dāng)時，方程化為，得；當(dāng)，得；當(dāng)?shù)梅项}意，所以D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解是解題關(guān)鍵.15．1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(P.G.Dirichlet，1805-1859)第一個引入了現(xiàn)代函數(shù)概念：“如果對于的每一個值，總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，那么是的函數(shù)”.由此引發(fā)了數(shù)學(xué)家們對函數(shù)性質(zhì)的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函數(shù)”：(Q表示有理數(shù)集合)，關(guān)于此函數(shù)，下列說法正確的是（）A．是偶函數(shù)B．C．對于任意的有理數(shù)，都有D．存在三個點，使為正三角形【答案】ABCD【分析】利用定義判斷函數(shù)奇偶性，可確定A的正誤，根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”及有理數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)，判斷其它三個選項的正誤.【詳解】A：由定義知：定義域關(guān)于原點對稱，當(dāng)則，當(dāng)則，即有，故是偶函數(shù)，正確；B：由解析式知：或，即，正確；C：任意的有理數(shù)，當(dāng)時，即，當(dāng)時，即，正確；D：若存在為正三角形，則其高為1，邊長為，所以當(dāng)時成立，正確；故選：ABCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用函數(shù)的奇偶性判斷，結(jié)合新定義函數(shù)及有理數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)判斷各選項的正誤.16．設(shè)函數(shù)，對關(guān)于的方程，下列說法正確的有（）．A．當(dāng)時，方程有1個實根B．當(dāng)時，方程有5個不等實根C．若方程有2個不等實根，則D．若方程有6個不等實根，則【答案】BD【分析】先作出函數(shù)的圖象，進行換元，將方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次方程，結(jié)合函數(shù)值的分布，對選項中參數(shù)值與根的情況逐一分析判斷四個選項的正誤即可.【詳解】函數(shù)，作圖如下：由圖可知，，令，則，則方程轉(zhuǎn)化為，即選項A中，時方程為，即，故，即，看圖知存在三個根，使得，故A錯誤；選項B中，，方程即，即，解得或，當(dāng)時看圖可知，存在3個根，當(dāng)時看圖可知，存在2個根，故共5個不等的實根，B正確；選項C中，方程有2個不等實根，則有兩種情況：（1），則或，此時，即，解得，，均不滿足上面范圍，舍去；（2）時，即或.①當(dāng)時，代入方程得，解得，由，得，不滿足題意，舍去；②當(dāng)時，則，，，解得，故C錯誤；選項D中，方程有6個不等實根，則且，圖象如下：需滿足：，解得：，故D正確.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵在于對方程進行換元，變成關(guān)于t的二次方程根的分布問題，結(jié)合函數(shù)圖象中函數(shù)值的分布情況來突破難點.17．若定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，()，則下列說法正確的是（）A．若方程有兩個不同的實數(shù)根，則或B．若方程有兩個不同的實數(shù)根，則C．若方程有4個不同的實數(shù)根，則D．若方程有4個不同的實數(shù)根，則【答案】AC【分析】由題知是R上的奇函數(shù)，則由時的解析式可求出在R上的解析式.先討論特殊情況為方程的根，則可求出，此時方程化為，而函數(shù)為R上的減函數(shù)，則方程僅有一個根.當(dāng)時，由分段函數(shù)分類討論得出時，，時，.利用數(shù)形結(jié)合思想，畫出圖象，則可得知方程不同的實數(shù)根個數(shù)分別為2個和4時，參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為所以，所以是R上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，，，所以，綜上，若是方程的一個根，則，此時，即，而，在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時，原方程有一個實根.當(dāng)時，，所以，當(dāng)時不滿足，所以，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時不滿足，所以，如圖：若方程有兩個不同的實數(shù)根，則或；若方程有4個不同的實數(shù)根，則.故選：AC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是將方程進行參數(shù)分離，再借助數(shù)形結(jié)合法，求出對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不等實根，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．的最小值為10【答案】ACD【分析】畫出的圖象，結(jié)合圖象求得的取值范圍，利用特殊值確定B選項錯誤，利用基本不等式確定CD選項正確.【詳解】畫出的圖象如下圖所示，由于關(guān)于的方程有四個不等實根，，，，由圖可知，故A選項正確.由圖可知關(guān)于直線對稱，故，由解得或，所以，，當(dāng)時，，所以B選項錯誤.令，，，，是此方程的解，所以，或，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D選項正確.由圖象可知，，，，由，解得或，由，解得或，所以，①.令或，所以①的等號不成立，即，故C選項正確.故選：ACD【點睛】求解有關(guān)方程的根、函數(shù)的零點問題，可考慮結(jié)合圖象來求解.求解不等式、最值有關(guān)的問題，可考慮利用基本不等式來求