統(tǒng)計(jì)與決策在科技發(fā)展中的應(yīng)用，大學(xué)期末考試試題型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述描述統(tǒng)計(jì)在科技研究中的作用，并列舉至少三種常用的描述統(tǒng)計(jì)量及其在科技數(shù)據(jù)分析中的具體應(yīng)用場(chǎng)景。二、假設(shè)某科技公司研發(fā)了兩種新型材料A和B，為了比較兩種材料的抗拉強(qiáng)度，隨機(jī)抽取了10組樣本進(jìn)行測(cè)試，得到如下數(shù)據(jù)（單位：MPa）：材料A：85,88,82,86,87,84,90,83,86,85材料B：80,83,78,82,81,79,84,80,83,78請(qǐng)計(jì)算兩種材料的樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，并基于這些計(jì)算結(jié)果，初步判斷哪種材料的抗拉強(qiáng)度表現(xiàn)更穩(wěn)定。三、某醫(yī)生想要評(píng)估一種新藥X治療某種疾病的療效。他設(shè)計(jì)了以下試驗(yàn)：選取100名患者，其中50名隨機(jī)分配接受新藥X治療（處理組），另外50名接受安慰劑治療（對(duì)照組）。一個(gè)月后，記錄每位患者的康復(fù)情況（康復(fù)/未康復(fù)）。試驗(yàn)結(jié)果如下：處理組：康復(fù)45人，未康復(fù)5人對(duì)照組：康復(fù)30人，未康復(fù)20人請(qǐng)使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法，檢驗(yàn)新藥X是否比安慰劑在治療該疾病方面具有顯著療效。在檢驗(yàn)過(guò)程中，需要說(shuō)明假設(shè)檢驗(yàn)的步驟，包括提出零假設(shè)和備擇假設(shè)、選擇檢驗(yàn)方法及顯著性水平、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定P值并做出統(tǒng)計(jì)決策。同時(shí)，請(qǐng)解釋你的結(jié)論在醫(yī)學(xué)實(shí)踐中的含義。四、某科研項(xiàng)目的成功與否取決于三個(gè)關(guān)鍵因素：資金投入（X1，單位：百萬(wàn)元）、研發(fā)人員數(shù)量（X2，單位：人）、研發(fā)時(shí)間（X3，單位：月）。通過(guò)收集過(guò)去10個(gè)類(lèi)似項(xiàng)目的數(shù)據(jù)，得到了項(xiàng)目的成功指標(biāo)（Y，成功為1，失敗為0）與這三個(gè)因素的數(shù)據(jù)。利用這些數(shù)據(jù)建立了一個(gè)邏輯回歸模型，模型的部分輸出結(jié)果如下：logit(P(Y=1))=0.5+1.2*X1+0.3*X2-0.4*X3其中，P(Y=1)表示項(xiàng)目成功的概率。請(qǐng)解釋該模型中各個(gè)系數(shù)的含義?，F(xiàn)在，假設(shè)有一個(gè)新項(xiàng)目計(jì)劃投入資金200萬(wàn)元，配備20名研發(fā)人員，預(yù)計(jì)研發(fā)時(shí)間為18個(gè)月，請(qǐng)利用該模型預(yù)測(cè)該項(xiàng)目成功的概率。五、假設(shè)某公司需要決定是否投資一個(gè)新科技項(xiàng)目。投資該項(xiàng)目有兩種可能的結(jié)果：成功（帶來(lái)利潤(rùn)1000萬(wàn)元）或失?。▽?dǎo)致?lián)p失500萬(wàn)元）。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研和公司評(píng)估，預(yù)測(cè)項(xiàng)目成功的概率為0.6，失敗的概率為0.4。公司也可以選擇不投資，此時(shí)既沒(méi)有收益也沒(méi)有損失。請(qǐng)計(jì)算該項(xiàng)目的期望收益。公司應(yīng)如何決策？如果公司決策時(shí)采用“等可能性”準(zhǔn)則（Laplace準(zhǔn)則），決策結(jié)果又會(huì)是什么？六、為了優(yōu)化某種產(chǎn)品的生產(chǎn)過(guò)程，需要確定兩種關(guān)鍵原材料A和B的最佳配比（x1,x2）。已知生產(chǎn)成本與原材料的用量成正比，產(chǎn)品純度與原材料A的用量成正比，與原材料B的用量成反比。建立如下線性規(guī)劃模型：最大化Z=50x1+40x2約束條件：x1+x2≤100（原材料總量限制）2x1+x2≥60（純度要求）x1≥0,x2≥0（非負(fù)限制）請(qǐng)寫(xiě)出該線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式，并說(shuō)明目標(biāo)函數(shù)和約束條件在實(shí)際生產(chǎn)中的意義。七、某科研團(tuán)隊(duì)需要對(duì)三個(gè)候選技術(shù)方案（T1,T2,T3）進(jìn)行評(píng)估和選擇。評(píng)估指標(biāo)包括：研發(fā)成本、預(yù)期性能、環(huán)境影響和社會(huì)效益，分別用C,P,E,S表示。各方案的指標(biāo)表現(xiàn)如下（數(shù)值越高表示表現(xiàn)越好）：方案T1：C=70,P=80,E=60,S=75方案T2：C=60,P=70,E=80,S=65方案T3：C=80,P=60,E=70,S=80科研團(tuán)隊(duì)認(rèn)為各指標(biāo)的重要性不同，并根據(jù)經(jīng)驗(yàn)賦予的權(quán)重為：成本（0.2）、性能（0.4）、環(huán)境（0.2）、社會(huì)效益（0.2）。請(qǐng)計(jì)算每個(gè)方案的綜合評(píng)價(jià)值，并根據(jù)評(píng)價(jià)值對(duì)三個(gè)方案進(jìn)行排序。如果科研團(tuán)隊(duì)認(rèn)為性能指標(biāo)的重要性是成本的兩倍，環(huán)境影響的重要性是成本和社會(huì)效益的總和，請(qǐng)重新計(jì)算各方案的綜合評(píng)價(jià)值并進(jìn)行排序。試卷答案一、描述統(tǒng)計(jì)通過(guò)計(jì)算和描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)（如均值、中位數(shù)）、離散程度（如方差、標(biāo)準(zhǔn)差）和分布形狀（如偏態(tài)、峰態(tài)），幫助科技研究者快速了解數(shù)據(jù)的基本特征，識(shí)別數(shù)據(jù)中的模式、異常值，為后續(xù)的深入分析和科學(xué)結(jié)論提供基礎(chǔ)。應(yīng)用場(chǎng)景包括：1）評(píng)估材料性能的均值和波動(dòng)性（如材料的平均強(qiáng)度和強(qiáng)度的一致性）；2）分析生物實(shí)驗(yàn)中不同組別樣本的生理指標(biāo)分布情況（如不同藥物處理組下老鼠體重的分布）；3）研究傳感器數(shù)據(jù)的典型值和變異性（如某種環(huán)境監(jiān)測(cè)傳感器讀數(shù)的平均值和波動(dòng)范圍）。二、材料A：樣本均值$\bar{X}_A=(85+88+82+86+87+84+90+83+86+85)/10=85.5$樣本方差$S_A^2=[(85-85.5)^2+...+(85-85.5)^2]/(10-1)=10.9$樣本標(biāo)準(zhǔn)差$S_A=\sqrt{10.9}\approx3.3$材料B：樣本均值$\bar{X}_B=(80+83+78+82+81+79+84+80+83+78)/10=81.0$樣本方差$S_B^2=[(80-81)^2+...+(78-81)^2]/(10-1)=7.7$樣本標(biāo)準(zhǔn)差$S_B=\sqrt{7.7}\approx2.8$初步判斷：材料B的樣本標(biāo)準(zhǔn)差（2.8MPa）小于材料A的樣本標(biāo)準(zhǔn)差（3.3MPa），說(shuō)明在此次測(cè)試樣本中，材料B的抗拉強(qiáng)度值圍繞其均值的波動(dòng)更小，即表現(xiàn)更穩(wěn)定。三、使用卡方檢驗(yàn)（Chi-squaredtestforindependence）檢驗(yàn)治療方式與康復(fù)情況是否獨(dú)立。1.提出假設(shè)：*零假設(shè)$H_0$：治療方式（新藥Xvs安慰劑）與康復(fù)情況（康復(fù)vs未康復(fù)）獨(dú)立。*備擇假設(shè)$H_1$：治療方式與康復(fù)情況不獨(dú)立（新藥X的治療效果顯著）。2.選擇檢驗(yàn)方法及顯著性水平：*使用卡方檢驗(yàn)。*顯著性水平$\alpha=0.05$。3.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：*列出觀測(cè)頻數(shù)表：||康復(fù)|未康復(fù)|合計(jì)||-------------|------|--------|------||處理組(X)|45|5|50||對(duì)照組(安慰劑)|30|20|50||合計(jì)|75|25|100|*計(jì)算期望頻數(shù)：*期望頻數(shù)(E)=(行合計(jì)*列合計(jì))/總合計(jì)*$E_{11}=(50*75)/100=37.5$*$E_{12}=(50*25)/100=12.5$*$E_{21}=(50*75)/100=37.5$*$E_{22}=(50*25)/100=12.5$*計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量$\chi^2$：*$\chi^2=[(45-37.5)^2/37.5]+[(5-12.5)^2/12.5]+[(30-37.5)^2/37.5]+[(20-12.5)^2/12.5]$*$\chi^2=[7.5^2/37.5]+[(-7.5)^2/12.5]+[(-7.5)^2/37.5]+[7.5^2/12.5]$*$\chi^2=[0.5625]+[4.5]+[1.5625]+[4.5]=11.125$4.確定P值并做出統(tǒng)計(jì)決策：*查卡方分布表，自由度df=(行數(shù)-1)*(列數(shù)-1)=1*1=1。*在df=1,$\alpha=0.05$時(shí)，臨界值約為3.841。*由于計(jì)算得到的$\chi^2=11.125>3.841$，或者通過(guò)計(jì)算P值得知P<0.05。*拒絕零假設(shè)$H_0$。5.結(jié)論：在0.05的顯著性水平下，有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明新藥X治療該疾病的康復(fù)情況與安慰劑組存在顯著差異。結(jié)合數(shù)據(jù)（康復(fù)率45%vs30%），可以得出結(jié)論：新藥X比安慰劑在治療該疾病方面具有顯著療效。四、1.系數(shù)含義：*$\beta_0=0.5$：當(dāng)所有自變量$X1,X2,X3$都為0時(shí)，logit(P(Y=1))的值。雖然實(shí)際中$X1,X2,X3$不可能為0，但它構(gòu)成了模型的基礎(chǔ)。*$\beta_1=1.2$：資金投入$X1$每增加一個(gè)單位（百萬(wàn)元），logit(P(Y=1))增加1.2，即成功概率的對(duì)數(shù)增加1.2。等價(jià)于資金投入每增加1個(gè)單位，項(xiàng)目成功的概率變?yōu)樵瓉?lái)的$e^{1.2}\approx3.32$倍。*$\beta_2=0.3$：研發(fā)人員數(shù)量$X2$每增加一人，logit(P(Y=1))增加0.3，即成功概率的對(duì)數(shù)增加0.3。等價(jià)于人員數(shù)量每增加1人，項(xiàng)目成功的概率變?yōu)樵瓉?lái)的$e^{0.3}\approx1.35$倍。*$\beta_3=-0.4$：研發(fā)時(shí)間$X3$每增加一個(gè)月，logit(P(Y=1))減少0.4，即成功概率的對(duì)數(shù)減少0.4。等價(jià)于時(shí)間每增加1個(gè)月，項(xiàng)目成功的概率變?yōu)樵瓉?lái)的$e^{-0.4}\approx0.67$。2.預(yù)測(cè)項(xiàng)目成功概率：*logit(P(Y=1))=0.5+1.2*(200)+0.3*(20)-0.4*(18)*logit(P(Y=1))=0.5+240+6-7.2*logit(P(Y=1))=239.3*成功概率P(Y=1)=1/(1+$e^{-239.3}$)*由于239.3非常大，$e^{-239.3}$非常接近0。*P(Y=1)≈1/(1+0)=1*預(yù)測(cè)該項(xiàng)目成功的概率非常高，接近100%。五、1.計(jì)算期望收益：*期望收益E=(成功概率*成功收益)+(失敗概率*失敗收益)*E=(0.6*1000萬(wàn)元)+(0.4*-500萬(wàn)元)*E=600-200=400萬(wàn)元2.決策：*比較期望收益和不投資的收益（0萬(wàn)元）。因?yàn)槠谕找妫?00萬(wàn)元）大于不投資的收益（0萬(wàn)元），所以公司應(yīng)選擇投資該項(xiàng)目。3.等可能性準(zhǔn)則（Laplace準(zhǔn)則）：*該準(zhǔn)則假設(shè)所有可能的結(jié)果發(fā)生的概率相等。*結(jié)果有“成功”和“失敗”兩種，概率相等，各為1/2=0.5。*期望收益（按等概率計(jì)算）=(0.5*1000萬(wàn)元)+(0.5*-500萬(wàn)元)=500-250=250萬(wàn)元。*因?yàn)?50萬(wàn)元>0萬(wàn)元，所以按照等可能性準(zhǔn)則，公司也應(yīng)選擇投資該項(xiàng)目。六、1.標(biāo)準(zhǔn)形式：*目標(biāo)函數(shù)（最大化）：MaxZ=50x1+40x2*約束條件：*x1+x2≤100->x1+x2+s1=100(s1為松弛變量)*2x1+x2≥60->2x1+x2-s2=60(s2為剩余變量)*x1≥0,x2≥0*標(biāo)準(zhǔn)形式為：MaxZ=50x1+40x2s.t.x1+x2+s1=1002x1+x2-s2=60x1,x2,s1,s2≥02.實(shí)際意義：*目標(biāo)函數(shù)Z=50x1+40x2：表示總生產(chǎn)成本，其中50是原材料A每單位（假設(shè)是千克或噸）的成本，40是原材料B每單位成本，x1和x2分別是兩種原材料的計(jì)劃使用量。*約束條件x1+x2≤100：表示兩種原材料的總用量不能超過(guò)100單位（如100千克或100噸），這是生產(chǎn)能力的限制或預(yù)算限制。*約束條件2x1+x2≥60：表示產(chǎn)品純度要求，即兩種原材料的組合必須滿足至少60個(gè)單位的某種“純度指標(biāo)”（可能是質(zhì)量分?jǐn)?shù)或其他衡量標(biāo)準(zhǔn)），2x1+x2代表當(dāng)前組合的純度貢獻(xiàn)。*非負(fù)限制x1≥0,x2≥0：表示兩種原材料的用量不能為負(fù)。七、1.原始權(quán)重計(jì)算：*方案T1：$V_1=0.2*70+0.4*80+0.2*60+0.2*75=14+32+12+15=73$*方案T2：$V_2=0.2*