高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省漢中市多校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)（）A.2 B. C.-2 D.【答案】B【解析】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，故選：B.2.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】全集，集合，則，故選：C.3.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.外切 C.相離 D.內(nèi)切【答案】C【解析】圓的圓心，半徑，的圓心，半徑，所以，所以相離，故選：C.4.一輛公交車上有位乘客，沿途個(gè)車站，則乘客下車的可能方式共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】A【解析】一輛公交車上有位乘客，沿途個(gè)車站，每位乘客都有種下車方式，所以，乘客下車的可能方式共有種.故選：A.5.下列函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)于A：是正弦函數(shù)且為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，故A符合題意；對(duì)于B：是指數(shù)函數(shù)不是奇函數(shù)，故B不符合題意；對(duì)于C：是二次函數(shù)，且為偶函數(shù)不是奇函數(shù)，故C不符合題意；對(duì)于D：是反比例函數(shù)且是奇函數(shù)，但在區(qū)間上是減函數(shù)，故D不符合題意.故選：A．6.有兩臺(tái)車床加工同一型號(hào)零件，第1臺(tái)加工的次品率為，第2臺(tái)加工的次品率為，將兩臺(tái)車床加工出來的零件混放在一起，已知第1臺(tái)，第2臺(tái)車床加工的零件占比分別為，，現(xiàn)任取一件零件，則它是次品的概率為（）A.0.044 B.0.046 C.0.050 D.0.090【答案】B【解析】記現(xiàn)任取一件零件它是次品為事件，則.故選：B.7.在長(zhǎng)方體中，，，，則點(diǎn)D到平面的距離為（）A.1 B.3 C. D.【答案】D【解析】由題意，以為原點(diǎn)，分別為軸所在直線建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)?，，，所以，則，不妨設(shè)平面的法向量為，所以，不妨令，解得，即取平面的法向量為，所以點(diǎn)D到平面的距離為.故選：D.8.已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】設(shè)，又，得，即點(diǎn)的軌跡為以圓心，以1為半徑的圓，又過定點(diǎn)，又，所以P在圓外，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式共有7項(xiàng) B.展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和是C.展開式中第三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 D.展開式中的常數(shù)項(xiàng)是20【答案】AB【解析】的展開式是，其展開式共有7項(xiàng)，故A正確；展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和是，故B正確；根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性可知：最大，即展開式的第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；展開式的常數(shù)項(xiàng)是，故D錯(cuò)誤；故選：AB.10.已知平面的法向量分別是，直線的方向向量為，則（）A. B.C.可以作為空間的一個(gè)基底 D.在上的投影向量的模長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋曰?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)，解析可知，由的坐標(biāo)可知不共線，所以不共面，則可以作為空間的一個(gè)基底，故C正確；對(duì)于D，在上的投影向量的模長(zhǎng)為，故D正確．故選：ACD.11.已知飛船在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度大小的變化服從面積守恒規(guī)律，即飛船的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為，則下列結(jié)論中正確的有（）A.飛船向徑的取值范圍是B.飛船在左半橢圓弧運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間C.飛船向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D.飛船運(yùn)行速度的大小，在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小【答案】ABD【解析】根據(jù)橢圓定義知飛船向徑的取值范圍是，A正確；當(dāng)飛船在左半橢圓弧上運(yùn)行時(shí)，對(duì)應(yīng)面積更大，根據(jù)面積守恒規(guī)律，知飛船在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間，B正確；，比值越大，則越小，橢圓軌道越圓，C錯(cuò)誤；根據(jù)面積守恒規(guī)律，飛船在近地點(diǎn)時(shí)向徑最小，故速度的大小最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑最大，故速度的大小最小，D正確．故選：ABD．第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則_____.【答案】【解析】.13.已知是拋物線上的一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則的值為_____.【答案】9【解析】由題意得，，解得：.14.如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有最左邊一列的兩個(gè)數(shù)字之和為8”的不同放法有_____種.【答案】64【解析】在、、、、、六個(gè)數(shù)字中，，若左邊一列兩個(gè)數(shù)字為和，根據(jù)題意，、不能放在一列，此時(shí)，不同的填數(shù)字的方法種數(shù)為，所以，若左邊一列兩個(gè)數(shù)字為和，符合條件的放法種數(shù)為種.同理，若左邊一列兩個(gè)數(shù)字為和，符合條件的放法種數(shù)為種.因此，滿足條件的放法種數(shù)為種.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線的傾斜角為，且過點(diǎn).（1）求直線的方程；（2）若以點(diǎn)為圓心的圓恰好與直線相切，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：（1）由題設(shè)，直線過點(diǎn)，則直線為，整理得；（2）圓心到直線的距離為，又直線與圓相切，，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求的遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，則，則，由，得，所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?17.已知雙曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，且焦距為.（1）求雙曲線的方程；（2）若點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線左支上一點(diǎn)，求的最小值.解：（1）雙曲線焦距為，半焦距，右焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，一條漸近線方程為，即，，得，，雙曲線的方程為.（2）設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，由雙曲線的定義可知，，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.18.為了提高學(xué)生的法律意識(shí)，某校組織全校學(xué)生參與答題闖關(guān)活動(dòng)，共兩關(guān).現(xiàn)隨機(jī)抽取100人，對(duì)第一關(guān)答題情況進(jìn)行調(diào)查.分?jǐn)?shù)人數(shù)1015452010（1）求樣本中學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值）；（2）假設(shè)分?jǐn)?shù)Z近似服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值），近似為樣本方差，若該校有4000名學(xué)生參與答題活動(dòng)，試估計(jì)分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生數(shù)(結(jié)果四舍五入)；（3）學(xué)校規(guī)定：分?jǐn)?shù)在內(nèi)的為闖關(guān)成功，并對(duì)第一關(guān)闖關(guān)成功的學(xué)生記德育學(xué)分5分；只有第一關(guān)成功才能闖第二關(guān)，第二關(guān)闖關(guān)不成功的學(xué)生德育學(xué)分只記第一關(guān)學(xué)分；對(duì)兩關(guān)均闖關(guān)成功的學(xué)生記德育學(xué)分10分.在闖過第一關(guān)的同學(xué)中，每位同學(xué)第二關(guān)闖關(guān)成功的概率均為，同學(xué)之間第二關(guān)闖關(guān)是相互獨(dú)立的.從第一關(guān)闖關(guān)成功的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記2人本次活動(dòng)總分為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則）解：（1）樣本的平均數(shù).（2）分?jǐn)?shù)Z近似服從正態(tài)分布，即，可得，所以，所以分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生數(shù)約為（人）.（3）隨機(jī)變量X的所有可能取值為，，所以X的分布列為X101520P，因此X的數(shù)學(xué)期望為17.5分.19.如圖，在圓錐中，為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，.（1）證明：平面；（2）若圓錐的母線長(zhǎng)為4，求二面角的正弦值.（1）證明：由題知，平面，，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，與同向的方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，平面，平面.（2）解：由題知，，由（1）可知，為平面的一個(gè)法向量，，，設(shè)平面的法向量為，則，，令，得，則，二面角的正弦值為.陜西省漢中市多校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)（）A.2 B. C.-2 D.【答案】B【解析】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，故選：B.2.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】全集，集合，則，故選：C.3.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.外切 C.相離 D.內(nèi)切【答案】C【解析】圓的圓心，半徑，的圓心，半徑，所以，所以相離，故選：C.4.一輛公交車上有位乘客，沿途個(gè)車站，則乘客下車的可能方式共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】A【解析】一輛公交車上有位乘客，沿途個(gè)車站，每位乘客都有種下車方式，所以，乘客下車的可能方式共有種.故選：A.5.下列函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)于A：是正弦函數(shù)且為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，故A符合題意；對(duì)于B：是指數(shù)函數(shù)不是奇函數(shù)，故B不符合題意；對(duì)于C：是二次函數(shù)，且為偶函數(shù)不是奇函數(shù)，故C不符合題意；對(duì)于D：是反比例函數(shù)且是奇函數(shù)，但在區(qū)間上是減函數(shù)，故D不符合題意.故選：A．6.有兩臺(tái)車床加工同一型號(hào)零件，第1臺(tái)加工的次品率為，第2臺(tái)加工的次品率為，將兩臺(tái)車床加工出來的零件混放在一起，已知第1臺(tái)，第2臺(tái)車床加工的零件占比分別為，，現(xiàn)任取一件零件，則它是次品的概率為（）A.0.044 B.0.046 C.0.050 D.0.090【答案】B【解析】記現(xiàn)任取一件零件它是次品為事件，則.故選：B.7.在長(zhǎng)方體中，，，，則點(diǎn)D到平面的距離為（）A.1 B.3 C. D.【答案】D【解析】由題意，以為原點(diǎn)，分別為軸所在直線建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)?，，，所以，則，不妨設(shè)平面的法向量為，所以，不妨令，解得，即取平面的法向量為，所以點(diǎn)D到平面的距離為.故選：D.8.已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】設(shè)，又，得，即點(diǎn)的軌跡為以圓心，以1為半徑的圓，又過定點(diǎn)，又，所以P在圓外，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式共有7項(xiàng) B.展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和是C.展開式中第三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 D.展開式中的常數(shù)項(xiàng)是20【答案】AB【解析】的展開式是，其展開式共有7項(xiàng)，故A正確；展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和是，故B正確；根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性可知：最大，即展開式的第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；展開式的常數(shù)項(xiàng)是，故D錯(cuò)誤；故選：AB.10.已知平面的法向量分別是，直線的方向向量為，則（）A. B.C.可以作為空間的一個(gè)基底 D.在上的投影向量的模長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)，解析可知，由的坐標(biāo)可知不共線，所以不共面，則可以作為空間的一個(gè)基底，故C正確；對(duì)于D，在上的投影向量的模長(zhǎng)為，故D正確．故選：ACD.11.已知飛船在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度大小的變化服從面積守恒規(guī)律，即飛船的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為，則下列結(jié)論中正確的有（）A.飛船向徑的取值范圍是B.飛船在左半橢圓弧運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間C.飛船向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D.飛船運(yùn)行速度的大小，在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小【答案】ABD【解析】根據(jù)橢圓定義知飛船向徑的取值范圍是，A正確；當(dāng)飛船在左半橢圓弧上運(yùn)行時(shí)，對(duì)應(yīng)面積更大，根據(jù)面積守恒規(guī)律，知飛船在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間，B正確；，比值越大，則越小，橢圓軌道越圓，C錯(cuò)誤；根據(jù)面積守恒規(guī)律，飛船在近地點(diǎn)時(shí)向徑最小，故速度的大小最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑最大，故速度的大小最小，D正確．故選：ABD．第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則_____.【答案】【解析】.13.已知是拋物線上的一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則的值為_____.【答案】9【解析】由題意得，，解得：.14.如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有最左邊一列的兩個(gè)數(shù)字之和為8”的不同放法有_____種.【答案】64【解析】在、、、、、六個(gè)數(shù)字中，，若左邊一列兩個(gè)數(shù)字為和，根據(jù)題意，、不能放在一列，此時(shí)，不同的填數(shù)字的方法種數(shù)為，所以，若左邊一列兩個(gè)數(shù)字為和，符合條件的放法種數(shù)為種.同理，若左邊一列兩個(gè)數(shù)字為和，符合條件的放法種數(shù)為種.因此，滿足條件的放法種數(shù)為種.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線的傾斜角為，且過點(diǎn).（1）求直線的方程；（2）若以點(diǎn)為圓心的圓恰好與直線相切，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：（1）由題設(shè)，直線過點(diǎn)，則直線為，整理得；（2）圓心到直線的距離為，又直線與圓相切，，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求的遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，則，則，由，得，所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?17.已知雙曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，且焦距為.（1）求雙曲線的方程；（2）若點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線左支上一點(diǎn)，求的最小值.解：（1）雙曲線焦距為，半焦距，右焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，一條漸近線方程為，即，，得，，雙曲線的方程為.（2）設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，由雙曲線的定義可知，，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.18.為了提高學(xué)生的法律意識(shí)，某校組織全校學(xué)生參與答題闖關(guān)活動(dòng)，共兩