高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1新疆兵地聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線過點，則直線的傾斜角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線的斜率為，則，即．因為，所以．故選：C.2.平行線與間的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方程變形為由平行線間的距離公式可得所求距離．故選：A.3.已知圓的圓心為為坐標(biāo)原點，則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為圓的圓心為，所以，所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為．故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D.4.已知向量，則在方向上的投影向量的模為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，，所以在方向上的投影向量的模為.故選：B.5.“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若方程表示橢圓，則，解得且，所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．故選：B.6.在空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意知在空間四邊形中，，，，且，，則，故選：D.7.某手機信號檢測設(shè)備的監(jiān)測范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一名人員持手機以每分鐘的速度從設(shè)備正東的處沿西偏北方向走向位于設(shè)備正北方向的處，則這名人員被持續(xù)監(jiān)測的時長約為（）A.2分鐘 B.3分鐘 C.4分鐘 D.5分鐘【答案】C【解析】以設(shè)備的位置為坐標(biāo)原點，其正東、正北方向分別為軸、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則直線，即，圓，記從處開始被監(jiān)測，到處監(jiān)測結(jié)束，點到直線的距離為，則，所以被監(jiān)測的時長為分鐘.故選：C.8.已知橢圓的右焦點為，過點的直線與圓相切于點且與橢圓相交于、兩點，若、恰為線段的三等分點，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨設(shè)切點在第一象限，點在第一象限，記橢圓的左焦點為，連接、，由圓的幾何性質(zhì)可知，易知、分別為、的中點，則，且，所以，，由橢圓的定義可得，由勾股定理可得，即，整理可得，可得，因此，該橢圓的離心率為，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知橢圓，則（）A.橢圓的長軸長為 B.橢圓的一個焦點為C.橢圓的短半軸長為6 D.橢圓的離心率為【答案】AD【解析】因為，且橢圓的焦點在軸上，所以橢圓的長軸長為，焦點坐標(biāo)為，短半軸長為3，離心率．故選：AD.10.空間內(nèi)有四點，則（）A.點到直線EF的距離為 B.點到直線EF的距離為C.點到平面EFN的距離為 D.點到平面EFN的距離為【答案】AD【解析】因為，所以EF的一個單位方向向量為．因為，所以點到直線EF的距離為．設(shè)平面EFN的法向量為，因為，所以令，得．因為，所以點到平面EFN的距離為．故選:AD.11.已知圓與直線，點在圓上，點在直線上，則下列說法正確的是（）A.若，則直線與圓相切B.若圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，則C.若，則D.若，從點向圓引切線，則切線長最小值是【答案】BC【解析】A.由題意得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑.∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，故A不正確.B.若圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，則直線經(jīng)過圓的圓心，∴，解得，故B正確.C.若，則圓心到直線的距離，∴，故C正確.D.若，從點向圓引切線，設(shè)一個切點為，連接，則，如圖所示，，當(dāng)時，取得最小值，此時取得最小值，即，故D不正確.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線垂直于直線，且過點，則直線的斜截式方程為_____________；在軸上的截距為_____________．【答案】【解析】因為直線的斜率為，所以直線的斜率為2．因為直線過點，所以直線的方程為，即，故直線的斜截式方程為，令，解得，所以在軸上的截距為．13.經(jīng)過橢圓的左焦點的直線交橢圓于兩點，是橢圓的右焦點，則的周長為______.【答案】【解析】由題意可知：，因為，所以的周長為.14.在直三棱柱中，分別是的中點，，則與所成角的余弦值為__________.【答案】【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，于是，所以與所成角的余弦值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）一個焦點為，長軸長是短軸長的2倍；（2）經(jīng)過兩點.解：（1）由題意知，因為，即，解得，且焦點在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)橢圓的方程為.因為橢圓經(jīng)過兩點，則，解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，.（1）判斷直線與是否垂直，并說明理由；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）和不垂直，理由如下：設(shè)，則，在中，，所以為等邊三角形，所以，因為，，所以，從而，所以在直角中，，，又因為，所以，所以在中，滿足，故為直角三角形，則；又因為，，所以平面；因為，所以，所以，故以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，；所以，，，，，所以，，所以，所以不成立，故和不垂直.（2）由（1）可知，，，所以平面，故為平面的一個法向量；又，，設(shè)平面法向量，所以，即，取，則，，故，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.已知直線．（1）證明直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)；（2）若直線過（1）中的定點，且在軸上的截距與在軸上的截距的絕對值相等，求直線的方程．解：（1）將直線的方程整理為，所以直線過直線與的交點，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過定點，其坐標(biāo)為．（2）①當(dāng)截距為0時，直線的方程為，即．②當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線的方程為，則，解得或若，則直線的方程為，即；若，則直線的方程為．故直線方程為或或．18.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，為底面內(nèi)一動點（包括邊界），且滿足.（1）否存在點，使得平面？（2）求的取值范圍.（3）求點到直線的距離的最小值.解：（1）如圖，以為原點，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，設(shè)，所以，又，所以，即，所以，設(shè)存在點，使得平面，則，解得，則，則，所以存在點，使得平面（2）由（1）知，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以的取值范圍是.（3）由（1）知點滿足，取中點為，則點軌跡為線段，所以點到直線的距離的最小值就是異面直線與的距離，，，，，，設(shè)，，則，可取，又，點到直線的距離的最小值.19.已知圓經(jīng)過三點．（1）求圓的方程．（2）已知直線與圓交于M，N（異于A點）兩點，若直線的斜率之積為2，試問直線是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出該定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由．解：（1）設(shè)圓W的方程為，則，解得則圓W的方程為．（2）若直線的斜率不存在，則設(shè)直線的方程為，則，整理得．又，解得，所以直線的方程為，此時經(jīng)過點，不符合題意．若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則．，則，整理得，解得或．當(dāng)時，直線的方程為，此時直線經(jīng)過點，不符合題意，故舍去．所以，故直線的方程為，即，經(jīng)過定點．綜上所述，直線經(jīng)過定點，且該定點的坐標(biāo)為．新疆兵地聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線過點，則直線的傾斜角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線的斜率為，則，即．因為，所以．故選：C.2.平行線與間的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方程變形為由平行線間的距離公式可得所求距離．故選：A.3.已知圓的圓心為為坐標(biāo)原點，則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為圓的圓心為，所以，所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為．故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D.4.已知向量，則在方向上的投影向量的模為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，，所以在方向上的投影向量的模為.故選：B.5.“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若方程表示橢圓，則，解得且，所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．故選：B.6.在空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意知在空間四邊形中，，，，且，，則，故選：D.7.某手機信號檢測設(shè)備的監(jiān)測范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一名人員持手機以每分鐘的速度從設(shè)備正東的處沿西偏北方向走向位于設(shè)備正北方向的處，則這名人員被持續(xù)監(jiān)測的時長約為（）A.2分鐘 B.3分鐘 C.4分鐘 D.5分鐘【答案】C【解析】以設(shè)備的位置為坐標(biāo)原點，其正東、正北方向分別為軸、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則直線，即，圓，記從處開始被監(jiān)測，到處監(jiān)測結(jié)束，點到直線的距離為，則，所以被監(jiān)測的時長為分鐘.故選：C.8.已知橢圓的右焦點為，過點的直線與圓相切于點且與橢圓相交于、兩點，若、恰為線段的三等分點，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨設(shè)切點在第一象限，點在第一象限，記橢圓的左焦點為，連接、，由圓的幾何性質(zhì)可知，易知、分別為、的中點，則，且，所以，，由橢圓的定義可得，由勾股定理可得，即，整理可得，可得，因此，該橢圓的離心率為，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知橢圓，則（）A.橢圓的長軸長為 B.橢圓的一個焦點為C.橢圓的短半軸長為6 D.橢圓的離心率為【答案】AD【解析】因為，且橢圓的焦點在軸上，所以橢圓的長軸長為，焦點坐標(biāo)為，短半軸長為3，離心率．故選：AD.10.空間內(nèi)有四點，則（）A.點到直線EF的距離為 B.點到直線EF的距離為C.點到平面EFN的距離為 D.點到平面EFN的距離為【答案】AD【解析】因為，所以EF的一個單位方向向量為．因為，所以點到直線EF的距離為．設(shè)平面EFN的法向量為，因為，所以令，得．因為，所以點到平面EFN的距離為．故選:AD.11.已知圓與直線，點在圓上，點在直線上，則下列說法正確的是（）A.若，則直線與圓相切B.若圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，則C.若，則D.若，從點向圓引切線，則切線長最小值是【答案】BC【解析】A.由題意得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑.∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，故A不正確.B.若圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，則直線經(jīng)過圓的圓心，∴，解得，故B正確.C.若，則圓心到直線的距離，∴，故C正確.D.若，從點向圓引切線，設(shè)一個切點為，連接，則，如圖所示，，當(dāng)時，取得最小值，此時取得最小值，即，故D不正確.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線垂直于直線，且過點，則直線的斜截式方程為_____________；在軸上的截距為_____________．【答案】【解析】因為直線的斜率為，所以直線的斜率為2．因為直線過點，所以直線的方程為，即，故直線的斜截式方程為，令，解得，所以在軸上的截距為．13.經(jīng)過橢圓的左焦點的直線交橢圓于兩點，是橢圓的右焦點，則的周長為______.【答案】【解析】由題意可知：，因為，所以的周長為.14.在直三棱柱中，分別是的中點，，則與所成角的余弦值為__________.【答案】【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，于是，所以與所成角的余弦值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）一個焦點為，長軸長是短軸長的2倍；（2）經(jīng)過兩點.解：（1）由題意知，因為，即，解得，且焦點在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)橢圓的方程為.因為橢圓經(jīng)過兩點，則，解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，.（1）判斷直線與是否垂直，并說明理由；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）和不垂直，理由如下：設(shè)，則，在中，，所以為等邊三角形，所以，因為，，所以，從而，所以在直角中，，，又因為，所以，所以在中，滿足，故為直角三角形，則；又因為，，所以平面；因為，所以，所以，故以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，；所以，，，，，所以，，所以，所以不成立，故和不垂直.（2）由（1）可知，，，所以平面，故為平面的一個法向量；又，，設(shè)平面法向量，所以，即，取，則，，故，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.已知直線．（1）證明直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)；（2）若直線過（1）中的定點，且在軸上的截距與在軸上的截距的絕對值相等，求直線的方程．解：（1）將直線的方程整理為，所以直線過直線與的交點，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過定點，其坐標(biāo)為．（2）①當(dāng)截距為0時，直線的方程為