第四章隨機變量的數(shù)字特征4.1數(shù)學期望4.2方差與矩4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.4特征函數(shù)4.1數(shù)學期望4.1.1離散型隨機變量的數(shù)學期望4.1.2連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望4.1.3隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望4.1.4數(shù)學期望的性質(zhì)4.1.1

離散型隨機變量的數(shù)學期望

X甲

8910擊中次數(shù)316

P0.30.10.6

Y乙

8910擊中次數(shù)253P0.20.50.3

解：平均擊中的環(huán)數(shù)：結(jié)論：甲水平較高這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均1.定義第3頁

第4頁

注記定義（數(shù)學期望）第5頁

分布律：

第6頁

7

(1)一旅客8：00到站，求他候車時間的數(shù)學期望；(2)一旅客8：20到站，求他候車時間的數(shù)學期望.第7頁8

第8頁9

解：

第9頁

10第10頁

11

第11頁12

第12頁2.幾種典型的離散型隨機變量的數(shù)學期望

數(shù)學期望為第13頁

第14頁

數(shù)學期望為

第15頁

小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為

4.1.2

連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望

第16頁小區(qū)間[Xi,Xi+1)由于xi與xi+1很接近,所以區(qū)間[xi,xi+1)中的值可以用xi來近似代替.這正是的漸近和式.陰影面積近似為因此X與以概率

該離散型r.v

的數(shù)學期望是第17頁

(柯西分布)第18頁

2.幾個常見連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望

數(shù)學期望為第19頁

第20頁

第21頁4.1.3.隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望

法1法2第22頁定理

第23頁

第24頁

解:

第25頁

第26頁

第27頁

第28頁解：

第29頁

解:由公式得第30頁

4.1.4.數(shù)學期望的性質(zhì)第31頁

第32頁

由于

E(Xk)=P(Xk=1)解:

k=1,2,…,10則故引入隨機變量

k=1,2,…,10第33頁

由于

E(Xk)=P(Xk=1)

k=1,2,…,n則故引入第34頁

注記第35頁4.2方差

例1甲、乙兩射手，各射擊十次，X,Y分別表示他們射中的環(huán)數(shù)，如下表，問哪一個選手較穩(wěn)定？

X甲

8910P0.20.60.2

Y乙

8910P0.40.20.4

結(jié)論：甲較穩(wěn)定.第36頁

若讓你就上述結(jié)果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣，你認為哪臺儀器好一些呢？乙儀器測量結(jié)果

甲儀器測量結(jié)果較好

因為乙儀器的測量結(jié)果集中在均值附近第37頁

4.2.1方差的定義

1.方差的定義

注記第38頁

注記

第39頁2.方差的計算公式

注記

第40頁例1中甲、乙兩射手射擊環(huán)數(shù)的方差分別為第41頁

解：第42頁

第43頁于是第44頁

4.2.2．方差的性質(zhì)1．方差的性質(zhì)第45頁

1．方差的性質(zhì)第46頁

2．幾種重要隨機變量的數(shù)學期望和方差

注記第47頁

第48頁

證：第49頁

證：

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

第50頁

證：

第51頁

泊松分布和指數(shù)分布都只含一個參數(shù)，因而只要道它們的數(shù)學期望或方差就能完全確定它們的分布.注記第52頁

證：

第53頁

注記第54頁

第55頁

第56頁

3．切比雪夫不等式(Chebyshev)第57頁

(1)切比雪夫不等式也可改寫成如下的形式意義第58頁

證：

第59頁

第60頁

解：設(shè)每毫升白細胞數(shù)為X,依題意，E(X)=7300,D(X)=7002

由切比雪夫不等式

第61頁

第62頁

4.2.3矩的定義

第63頁

第64頁由此得推遞關(guān)系:

第66頁4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.3.1隨機向量的數(shù)學期望4.3.2隨機向量的協(xié)方差矩陣第67頁4.3.1隨機向量的數(shù)學期望

1.隨機向量數(shù)學期望的定義第68頁

2.隨機向量數(shù)學期望的性質(zhì)第69頁4.3.2隨機向量的協(xié)方差矩陣

1.二維隨機向量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第70頁

協(xié)方差的性質(zhì)

第71頁

協(xié)方差的計算公式:第72頁

注記第73頁

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

第74頁

即第75頁76說明:相關(guān)系數(shù)刻畫X與Y之間線性關(guān)系的緊密程度

第76頁

第77頁

解：

第78頁

解：

第79頁

第80頁

第81頁

3.隨機向量的協(xié)方差矩陣

第82頁

第83頁

證(3)：

協(xié)方差矩陣的性質(zhì)

引入下面記號第85頁經(jīng)簡單的運算可得出

第86頁

第87頁4.4特征函數(shù)4.4.1一維隨機向量的特征函數(shù)4.4.2特征函數(shù)的性質(zhì)4.4.3多維隨機變量的特征函數(shù)

第88頁4.4.1一維隨機向量的特征函數(shù)

第90頁

于是，特征函數(shù)為

第91頁

第92頁

第93頁

4.4.2特征函數(shù)的性質(zhì)第94頁

4.4.2特征函數(shù)的性質(zhì)第95頁

傅里葉變換第96頁

第97頁