多元統(tǒng)計(jì)分析因子分析MultivariateStatisticalAnalysis案例Spearman關(guān)于智力的研究？

Spearman發(fā)表論文《對(duì)智力測(cè)驗(yàn)得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析》，對(duì)學(xué)生考試成績(jī)進(jìn)行研究。該論文為因子分析的起點(diǎn)。Spearman(1863—1945)第8章因子分析8.1什么是因子分析8.2因子分析的數(shù)學(xué)模型8.3因子載荷陣的估計(jì)方法8.4因子旋轉(zhuǎn)8.5因子得分8.1什么是因子分析可測(cè)（observed）變量潛在（latent）變量學(xué)生英語(yǔ)、高等數(shù)學(xué)、大學(xué)物理、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等課程成績(jī)。每門課的成績(jī)必定受到一些潛在的共同因素的影響，比如學(xué)習(xí)能力。另外，每門課程的成績(jī)還受自己課程特點(diǎn)因素的影響，如英語(yǔ)受語(yǔ)言能力影響、大學(xué)物理受動(dòng)手實(shí)驗(yàn)?zāi)芰τ绊憽⒏叩葦?shù)學(xué)受推理能力影響等。例如，在商業(yè)企業(yè)的形象評(píng)價(jià)中，消費(fèi)者可以通過(guò)一系列指標(biāo)構(gòu)成的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，評(píng)價(jià)百貨商場(chǎng)的各個(gè)方面的優(yōu)劣。但消費(fèi)者真正關(guān)心的只是三個(gè)方面：商店環(huán)境、商店服務(wù)和商品價(jià)格。除了價(jià)格外，商店環(huán)境和服務(wù)質(zhì)量，都是客觀存在的、抽象的影響因素，都不便于直接測(cè)量，只能通過(guò)其它具體指標(biāo)進(jìn)行間接反映。例如，1957年Krumbren研究沉積學(xué)。

…

Fm…潛變量可測(cè)變量

利用少數(shù)幾個(gè)潛在變量（或公共因子）去解釋多個(gè)顯在變量（或可觀測(cè)變量）中存在的復(fù)雜關(guān)系?；蛘撸總€(gè)原始（可觀測(cè)）變量分解為兩部分，一部分是公共因子；另一部分是每個(gè)原始變量獨(dú)自具有的特殊因素（或特殊因子），特殊因子的存在，使不同原始變量有所區(qū)別。8.1.1Spearman的因子分析Spearman研究了“高級(jí)預(yù)備學(xué)校”的33名學(xué)生在古典語(yǔ)（C）、法語(yǔ)（F）、英語(yǔ)（E）、數(shù)學(xué)（M）、判別（D）和音樂(lè)（Mu）六門考試成績(jī)之間的相關(guān)性，相關(guān)陣如下：Spearman注意到上面相關(guān)陣中，如果不考慮對(duì)角元素的話，任意兩列的元素大致成比例，比如對(duì)C列和E列有：（8.1.1）于是Spearman指出每一科目的考試成績(jī)都遵從以下形式：（8.1.2）（8.1.2）模型就是最初的因子分析模型。在一些合理的假設(shè)下，若滿足上式（8.1.2）模型，就能得出（8.1.1）結(jié)論。8.1.2一般的因子分析初探8.1.3因子分析的基本思想因子分析的基本思想是通過(guò)對(duì)研究變量的信息矩陣（協(xié)方差陣，或相關(guān)系數(shù)矩陣，或樣品相似系數(shù)矩陣）的分析，找出能控制所有研究變量（原始變量）的少數(shù)幾個(gè)綜合變量，去描述所有研究變量之間的相關(guān)（或相似）關(guān)系。注意：這少數(shù)幾個(gè)綜合變量一般是不可觀測(cè)的，通常稱為因子。

故該方法稱為因子分析(FactorAnalysis，F(xiàn)A)。常用的因子分析類型是R型因子分析和Q型因子分析。R型的因子分析是對(duì)變量作因子分析，Q型因子分析是對(duì)樣品作因子分析。本章側(cè)重討論R型因子分析。因子分析的主要應(yīng)用有兩方面：一是它將具有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的變量（或樣品）綜合為數(shù)量較少的幾個(gè)因子，呈現(xiàn)原始變量與因子之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，二是根據(jù)不同因子可以對(duì)樣品（或變量）進(jìn)行評(píng)價(jià)和分類。8.2因子分析的數(shù)學(xué)模型8.2.1數(shù)學(xué)模型（正交因子模型）用矩陣表示：8.2.2因子模型中各個(gè)量的統(tǒng)計(jì)意義（2）因子載荷的統(tǒng)計(jì)意義（3）變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義變量方差＝公共因子方差＋特殊因子方差（變量方差＝共同度＋剩余方差）方差貢獻(xiàn)率是衡量公共因子相對(duì)重要程度的一個(gè)指標(biāo)。方差貢獻(xiàn)率越大，該公共因子就越重要。8.3因子載荷陣的估計(jì)方法8.3.1主成分法主成分分析因子模型8.3.2主因子法（主軸因子法）主成分法、主因子法、最小二乘法、極大似然法、因子提取法、一般的加權(quán)最小二乘法、重心法、因子分析法、映象因子分析法、最小殘差法、典型極大似然法等。這些方法求解因子載荷的出發(fā)點(diǎn)不同，所得的結(jié)果也不完全相同。所以由主成分法得到的因子分析模型：可見(jiàn)第一公因子F1為物價(jià)就業(yè)因子，可得它對(duì)X的貢獻(xiàn)為1.55。第二公因子F2為投資因子，對(duì)X的貢獻(xiàn)為0.85。

設(shè)T為正交矩陣，則：8.4因子旋轉(zhuǎn)因子載荷不唯一！建立了因子分析目的除了要找出公共因子，更重要的要知道每個(gè)公共因子的意義，以便進(jìn)行進(jìn)一步的分析。Thurstone(1947)提出“簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)”：旋轉(zhuǎn)后的載荷矩陣每列元素平方值向0和1兩極分化，使因子載荷陣的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，凱澤(Kaiser)提出！當(dāng)m>2時(shí)，我們可以逐次對(duì)每?jī)蓚€(gè)公共因子和進(jìn)行上述旋轉(zhuǎn)。對(duì)公因子Fl和Fk進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，就是對(duì)A的第l和k兩列進(jìn)行正交變換，使這兩列元素平方的相對(duì)方差之和達(dá)到最大，而其余各列不變，其正交變換矩陣為

百米跑成績(jī)跳遠(yuǎn)成績(jī)鉛球成績(jī)跳高成績(jī)

400米跑成績(jī)百米跨欄鐵餅成績(jī)撐桿跳遠(yuǎn)成績(jī)標(biāo)槍成績(jī)

1500米跑成績(jī)

例8.2奧運(yùn)會(huì)十項(xiàng)全能運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目得分?jǐn)?shù)據(jù)的因子分析

某年度數(shù)據(jù)相關(guān)系數(shù)矩陣（給出一半）47

初始因子載荷矩陣可以看出，除第一因子在所有的變量上有較大的正載荷，可以稱為一般運(yùn)動(dòng)因子。其他的3個(gè)因子不太容易解釋。于是考慮旋轉(zhuǎn)，得下面的旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣

A*A48A*變換后因子的共同度沒(méi)有發(fā)生變化！49

通過(guò)旋轉(zhuǎn)，因子有了較為明確的含義。百米跑，跳遠(yuǎn)和400米跑，需要爆發(fā)力的項(xiàng)目在有較大的載荷，可以稱為短跑速度因子；鉛球，鐵餅和標(biāo)槍在上有較大的載荷，可以稱為爆發(fā)性臂力因子；百米跨欄，撐桿跳遠(yuǎn)，跳遠(yuǎn)和跳高在上有較大的載荷，爆發(fā)腿力因子；長(zhǎng)跑耐力因子。8.5因子得分8.5.1最小二乘法8.5.2回歸法例8.3將上一章例7.3對(duì)全國(guó)30個(gè)省市自治區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展八項(xiàng)指標(biāo)作因子分析。SPSS軟件操作步驟：1．選擇菜單項(xiàng)Analyze→DataReduction→Factor。2．打開(kāi)FactorAnalysis對(duì)話框，將原始變量x1(GDP)到x8(工業(yè)總產(chǎn)值)移入Variables列表框中，圖8.5,1。圖8.5.1圖8.5.23.點(diǎn)擊Extraction按鈕，打開(kāi)Extraction子對(duì)話框，如圖8.5.3，設(shè)置有關(guān)因子提取的選項(xiàng)。在Method下拉列表中選擇因子提取的方法，SPSS提供了七種提取方法可供選擇，一般選擇默認(rèn)選項(xiàng)Principalcomponents，即“主成分法”。圖8.5.34.點(diǎn)擊Rotation按鈕，打開(kāi)Rotation子對(duì)話框，如圖8.5.4，設(shè)置有關(guān)因子旋轉(zhuǎn)的選項(xiàng)。圖8.5.45.點(diǎn)擊Scores按鈕，打開(kāi)FactorScores子對(duì)話框，如圖8.5.5，設(shè)置有關(guān)因子得分的選項(xiàng)。圖8.5.5選中Saveasvariables復(fù)選框，表示將因子得分作為新變量保存在數(shù)據(jù)文件中。軟件默認(rèn)的Regression方法。在數(shù)據(jù)文件中因子得分變量名為“facm_n”，其中，m表示第m個(gè)因子，n表示進(jìn)行第n次因子分析的結(jié)果。選中Displayfactorscorecoefficientmatrix復(fù)選框，在結(jié)果輸出窗口中會(huì)給出因子得分系數(shù)矩陣。主要結(jié)果：旋轉(zhuǎn)前后的因子載荷陣根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣可以寫(xiě)出每個(gè)原始變量的因子模型表達(dá)式：公共因子的意義及命名

高載荷指標(biāo)意義及命名1X1：GDPX3：固定資產(chǎn)投資X8：工業(yè)總產(chǎn)值總量因子2X2：居民消費(fèi)水平X4：職工平均工資X5：貨物周轉(zhuǎn)量消費(fèi)因子3X6：居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)X7：商品零售價(jià)格指數(shù)價(jià)格因子因子得分系數(shù)矩陣可得因子得分函數(shù)為：分類及評(píng)價(jià)在數(shù)據(jù)文件中會(huì)生成3個(gè)樣本標(biāo)準(zhǔn)化因子得分變量，變量名分別為：FAC1_1、FAC2_1、FAC3_1，其結(jié)果是由式（8.5.6），代入標(biāo)準(zhǔn)化原始數(shù)據(jù)，給出樣本標(biāo)準(zhǔn)化因子得分值，見(jiàn)下表。樣本因子得分省份FAC1_1FAC2_1FAC3_1北

京

-0.3971.583-0.261天

津

-0.8890.970-1.634…

………新

疆

-0.5860.1141.139例8.4研究消費(fèi)者對(duì)購(gòu)買牙膏偏好的調(diào)查數(shù)據(jù)。通過(guò)市場(chǎng)的攔截訪問(wèn)，用7級(jí)量表詢問(wèn)受訪者對(duì)以下陳述的認(rèn)同程度（1表示非常不同意，7表示非常同意）。

V1：購(gòu)買預(yù)防蛀牙的牙膏是重要的；

V2：我喜歡使牙齒亮澤的牙膏；

V3：牙膏應(yīng)當(dāng)保護(hù)牙齦；

V4：我喜歡使口氣清新的牙膏；

V5：預(yù)防壞牙不是牙膏提供的一項(xiàng)重要利益；

V6：購(gòu)買牙膏時(shí)最重要的考慮是富有魅力的牙齒。牙膏屬性評(píng)分得分表牙膏屬性評(píng)分得分表（續(xù)上表）通過(guò)SPSS進(jìn)行因子分析，得到相關(guān)結(jié)果是：

1.特征根和累計(jì)貢獻(xiàn)率方差貢獻(xiàn)率表可以看出，提取兩個(gè)因子累計(jì)方差貢獻(xiàn)率就達(dá)到82%，第三個(gè)特征根相比下降較快，因此選取兩個(gè)公共因子。

2.因子的含義為了得到意義明確的因子含義，我們將因子載荷陣進(jìn)行方差最大法旋轉(zhuǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣如下表。旋轉(zhuǎn)后因子載荷矩陣

因子模型表達(dá)式：從因子載荷陣可以看出：因子1與V1（預(yù)防蛀牙），V3（保護(hù)牙齦），V5（預(yù)防壞牙）相關(guān)性強(qiáng)，其中V5的載荷是負(fù)數(shù)，是由于這個(gè)陳述是反向詢問(wèn)的；因子2與V2（牙齒亮澤），V4（口氣清新），V6（富有魅力）的相關(guān)系數(shù)相對(duì)較高。因此，我們命名因子1為“護(hù)牙因子”，是人們對(duì)牙齒的保健態(tài)度；因子2是“美牙因子”，說(shuō)明人們“‘通過(guò)牙膏美化牙齒’影響社交活動(dòng)”的重視。從這兩方面分析，對(duì)牙膏生產(chǎn)企業(yè)開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品都富有啟發(fā)意義。哇！“某些人不喜歡統(tǒng)計(jì)學(xué)