第29講二次函數(shù)單元綜合檢測(cè)（重點(diǎn)）一、單選題1．下列各點(diǎn)在拋物線上的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將四個(gè)選項(xiàng)中的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，看兩邊是否相等，即可判斷該點(diǎn)是否在拋物線上．【解析】解：A.2≠2×4，故（2，2）不在拋物線上．B.4≠2×4，故（2，4）不在拋物線上．C.8=2×4，故（2，8）在拋物線上．D.16≠2×4，故（2，16）不在拋物線上．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．2．下列函數(shù)關(guān)系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函數(shù)的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如為常數(shù)，的函數(shù)叫做二次函數(shù)．判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡(jiǎn)整理（去括號(hào)、合并同類項(xiàng)）后，能寫成為常數(shù)，的形式，那么這個(gè)函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是．【解析】解：（1）是二次函數(shù)，故符合題意；（2），不是二次函數(shù)，故不符合題意；（3）是二次函數(shù)，故符合題意；（4）不是二次函數(shù)，故不符合題意；（5）不是二次函數(shù)，故不符合題意；（6），不確定m是否為0，不一定是二次函數(shù)，故不符合題意；綜上所述，二次函數(shù)有2個(gè)．故選：B．3．拋物線的對(duì)稱軸是（

）A．x=2 B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸．根據(jù)拋物線解析式得出，代入數(shù)值，即可求出對(duì)稱軸．【解析】解：根據(jù)題意可得拋物線中的，∴，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，故選A．4．如果將拋物線平移后得到拋物線，那么它的平移過程可以是（

）A．向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位 B．向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位C．向左平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位 D．向左平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移問題，先求出平移前后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)判斷出平移方式即可．【解析】解：∵平移前拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴將拋物線向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位可得到拋物線，故選A．5．對(duì)于二次函數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．圖象開口向下 B．圖象的對(duì)稱軸為直線C．圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【解析】解：二次函數(shù)，，則該函數(shù)的圖象開口向下，故選項(xiàng)A不符合題意；對(duì)稱軸是直線，故選項(xiàng)B不符合題意；∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故選項(xiàng)D不符合題意；當(dāng)時(shí)，，∴圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故選項(xiàng)C符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值k，在對(duì)稱軸右邊y隨x增大而增大，在對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減??；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值k，在對(duì)稱軸右邊y隨x增大而減小，在對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大．6．如圖，二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)和，下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】將代入解析式，可得，即可判斷①，根據(jù)拋物線開口方向得，利用對(duì)稱軸在軸的右側(cè)得，可得，即可判斷②；將點(diǎn)代入解析式可得，即可判斷③，觀察函數(shù)圖象得到時(shí)，拋物線有部分在軸上方，有部分在軸下方，即可判斷④．【解析】解：二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)和，∴，，故①③正確；∵根據(jù)拋物線開口方向得，利用對(duì)稱軸在軸的右側(cè)得，∴，故②正確；觀察函數(shù)圖象得到時(shí)，拋物線有部分在軸上方，有部分在軸下方，則或或，故④不正確，故選：C．二、填空題7．如果拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)和，那么的值是．【答案】【分析】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式求出的值，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，求出的值即可．【解析】解：把，代入，得：，∴，把，代入，得：；故答案為：．8．已知拋物線開口向上，那么a的取值范圍是．【答案】/【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用二次函數(shù)的性質(zhì)：0時(shí)，拋物線開口向上，列出不等式解答即可．【解析】解：∵拋物線開口向上，∴，∴．∴的取值范圍是：．故答案為：．9．二次函數(shù)圖像的最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)是.【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值，將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，由此即可得出答案，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【解析】解：，二次函數(shù)圖像的最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，故答案為：．10．將拋物線向下平移2個(gè)單位，那么平移后拋物線的表達(dá)式是．【答案】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)“上下移動(dòng)，縱坐標(biāo)相加減，左右移動(dòng)橫坐標(biāo)相加減”進(jìn)行求解即可．【解析】解：將拋物線向下平移2個(gè)單位，那么平移后拋物線的表達(dá)式是，故答案為：．11．如果二次函數(shù)的圖像上有兩點(diǎn)那么和那么．（填“”、“”或“”）【答案】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)值的比較方法．【解析】解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，∴距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)，函數(shù)值越小，∵，∴．故答案為：．12．直徑是2的圓，當(dāng)半徑增加x時(shí)，面積的增加值s與x之間的函數(shù)關(guān)系式是．【答案】【分析】本題考查函數(shù)關(guān)系式，掌握?qǐng)A的面積公式是本題的關(guān)鍵．根據(jù)“增加的面積=半徑增加后的圓的面積-半徑增加前的圓的面積”作答即可．【解析】解：根據(jù)題意，得，故答案為：．13．二次函數(shù)圖像上部分點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)值如表所示，那么該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是直線．…【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)表格中縱坐標(biāo)相等的數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸．【解析】解：由表格中的數(shù)據(jù)可得，和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是直線，即，故答案為：．14．已知拋物線的頂點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，那么的值為．【答案】【分析】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線的頂點(diǎn)在軸上，即有與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)即可求解，解題的關(guān)鍵是正確理解拋物線的頂點(diǎn)在軸上，即有與軸只有一個(gè)交點(diǎn)．【解析】∵拋物線的頂點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，∴拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，∵拋物線的頂點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，∴，即，∴，故答案為：．15．沿著軸正方向看，如果拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)的部分是下降的，那么的取值范圍是．【答案】【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線開口向上，則，然后解不等式即可．【解析】∵拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)的部分是下降的，∴拋物線開口向上，∴，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口．16．二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，要使函數(shù)值，則自變量的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)，則函數(shù)圖象在直線的上方，所以找出函數(shù)圖象在直線的上方的取值范圍即可.【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知：對(duì)稱軸為x=?1，已知一個(gè)點(diǎn)為，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，則點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱性對(duì)稱的另一個(gè)點(diǎn)為，所以時(shí)，的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱性，讀懂圖象信息，利用對(duì)稱軸求出點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．17．在同一平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)二次函數(shù)與的圖象的形狀相同，并且對(duì)稱軸關(guān)于軸對(duì)稱，那么我們稱這兩個(gè)二次函數(shù)互為夢(mèng)函數(shù).如二次函數(shù)與互為夢(mèng)函數(shù)，寫出二次函數(shù)的其中一個(gè)夢(mèng)函數(shù)．【答案】（答案不唯一）【分析】由一對(duì)夢(mèng)函數(shù)的圖象的形狀相同，并且對(duì)稱軸關(guān)于y軸對(duì)稱，可知，與互為相反數(shù)，由此可解．【解析】解：由題意知，若與互為夢(mèng)函數(shù)，則，，因此二次函數(shù)的其中一個(gè)夢(mèng)函數(shù)是，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與幾何變換，讀懂題意，得出變換的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．18．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形，則．

【答案】或【分析】根據(jù)題意求得點(diǎn)，，，根據(jù)題意分兩種情況，待定系數(shù)法求解析式即可求解．【解析】由，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，四邊形是矩形，∴，①當(dāng)拋物線經(jīng)過時(shí)，將點(diǎn)，代入，∴解得：②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，將點(diǎn),代入，∴解得：綜上所述，或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．下列函數(shù)中（x，t為自變量），哪些是二次函數(shù)？如果是二次函數(shù)，請(qǐng)指出二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)是，二次項(xiàng)是、一次項(xiàng)系數(shù)是、常數(shù)項(xiàng)是；(2)不是；(3)是，二次項(xiàng)是、一次項(xiàng)系數(shù)是、常數(shù)項(xiàng)是；(4)不是【分析】根據(jù)二次函數(shù)的概念求解即可．【解析】（1）是二次函數(shù)，二次項(xiàng)是、一次項(xiàng)系數(shù)是、常數(shù)項(xiàng)是；（2），不含二次項(xiàng)，故不是二次函數(shù)；（3）是二次函數(shù)，二次項(xiàng)是、一次項(xiàng)系數(shù)是、常數(shù)項(xiàng)是；（4）中不是整式，故不是二次函數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的概念，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的概念，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．形如（）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中叫做二次項(xiàng)、叫做一次項(xiàng)系數(shù)、是常數(shù)項(xiàng)．20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D與點(diǎn)E是拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，如果點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)以及待定系數(shù)法解決此題．（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性求得的橫坐標(biāo)，再將其代入函數(shù)解析式，進(jìn)而求得的坐標(biāo)．【解析】（1）解：由題意得，，，．，．這個(gè)拋物線的表達(dá)式為．（2）由（1）得，．該拋物線的對(duì)稱軸是直線．點(diǎn)與點(diǎn)是拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)是4．當(dāng)時(shí)，．．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解決本題的關(guān)鍵．21．已知拋物線的頂點(diǎn)在直線上，直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)與的值；(2)求的面積．【答案】(1)；3(2)3【分析】（1）根據(jù)所給的二次函數(shù)解析式，易求頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，再把代入，可求，于是可得頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，再把代入，易求；（2）畫圖后，根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】（1）解：，此函數(shù)的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把代入，可得，二次函數(shù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，把代入，可得，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，點(diǎn)坐標(biāo)是；（2）解：如圖，．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)．(1)求此拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)將此拋物線沿軸向左平移個(gè)單位得到新拋物線，且新拋物線仍經(jīng)過點(diǎn)，求的值．【答案】(1)，點(diǎn)的坐標(biāo)是(2)6【分析】（1）用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）把二次函數(shù)配方得到頂點(diǎn)式，根據(jù)題目進(jìn)行平移解題即可．【解析】（1）解：把和代入，解得∴拋物線的表達(dá)式為∴當(dāng)x=0時(shí)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是（2）設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為把代入得解得∵，∴【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的解析式和拋物線的平移，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)若將該拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，求平移后的解析式；(3)若點(diǎn)D是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，求線段長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）再把原解析式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)平移的性質(zhì)，即可求解；（3）先求出直線的解析式，設(shè)，則，可得，即可．【解析】（1）解：將代入，∴，解得，∴拋物線解析式為；（2）解：∵，∴平移后的函數(shù)解析式為；（3）解：令，則，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，設(shè)，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)有最大值4．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，且與y軸交于點(diǎn)A．(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作，交線段OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，如果，求證：；(3)若點(diǎn)F是線段AB（不包含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，且點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上述拋物線上，求直線的解析式．【答案】(1)拋物線的解析式為；點(diǎn)A的坐標(biāo)(2)證明見解析(3)直線的解析式為：【分析】（1）將，代入拋物線解析式得到二元一次方程組，解得m、n的值，即可得到拋物線解析式，再令，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意畫出圖形，通過坐標(biāo)證明為直角三角形，且，利用及角的關(guān)系證明，結(jié)合，即可證明兩個(gè)三角形相似；（3）作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B’，則A、F’、B’三點(diǎn)共線，先求直線AB’的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求得F’的坐標(biāo)，再求直線BB’的解析式，利用及求得的F’的坐標(biāo)，即可求的解析式．【解析】（1）解：將，代入拋物線解析式，得：，解得∴拋物線的解析式為當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（2）如圖所示，點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作，交線段OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q∵，，∴∴即為直角三角形，且∵，∴OA=OC∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P只能在點(diǎn)B的右側(cè)，∴∴∵∴又∵∴（3）如圖所示，作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B’，則A、F’、B’三點(diǎn)共線∵，點(diǎn)B’和點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱，∴設(shè)直線AB’的解析式為：，代入得：解得：∴直線AB’的解析式為：聯(lián)立解得：（舍去）則設(shè)直線BB’的解析式為：，代入，得：，解得∴直線BB’的解析式為：由題意可知∴設(shè)直線的解析式為：，代入得：解得：∴直線的解析式為：．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題．涉及勾股定理的逆定理，相似三角形的判定，待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，難度較大，綜合性強(qiáng)．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，且交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在(2)中周長(zhǎng)取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線CB方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)為平移后的拋