3.2等比數(shù)列的前n項和新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.探索并掌握等比數(shù)列的前

n

項和公式，理解等比數(shù)列

的通項公式與前

n

項和公式的關(guān)系數(shù)學(xué)運算2.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解

決相應(yīng)的問題邏輯推理、數(shù)學(xué)運算第一課時等比數(shù)列的前n項和公式目錄基礎(chǔ)知識·重落實01典型例題·精研析02知能演練·扣課標(biāo)03基礎(chǔ)知識·重落實01課前預(yù)習(xí)

必備知識梳理

在信息技術(shù)高度發(fā)展的今天，人們可以借助手機、計算機等

快速地傳遞有關(guān)信息.在此背景下，要求每一個人都要“不造謠，

不信謠，不傳謠”，否則要依法承擔(dān)有關(guān)法律責(zé)任.你知道其中的

緣由嗎？

如圖所示，如果一個人得到某個信息之后，就將這個信息傳給3

個不同的好友（稱為第1輪傳播），每個好友收到信息后，又都傳給

了3個不同的好友（稱為第2輪傳播），……，依此下去，假設(shè)信息在

傳播的過程中都是傳給不同的人，則每一輪傳播后，信息傳播的人數(shù)

就構(gòu)成了一個等比數(shù)列：1，3，9，27，81，….【問題】如果信息按照上述方式共傳播了20輪，那么知曉這個信息

的人數(shù)共有多少？

知識點一

等比數(shù)列的前

n

項和公式已知量首項

a1與公比

q

首項

a1，末項

an

與公比

q

公式

Sn

＝

?

?

Sn

＝

?

?

≠0）

≠0）

提醒

（1）等比數(shù)列前

n

項和公式的推導(dǎo)方法是“錯位相減法”；

（2）若

q

是否等于1不能確定時，需按

q

＝1和

q

≠1分類討論.【想一想】若某數(shù)列的前

n

項和公式為

Sn

＝－

aqn

＋

a

（

a

≠0，

q

≠0且

q

≠1，

n

∈N＋），則此數(shù)列一定是等比數(shù)列嗎？

知識點二等比數(shù)列前

n

項和的性質(zhì)

（2）

Sn＋

m

＝

Sm

＋

qmSn

＝

Sn

＋

qnSm

；（3）設(shè)

S偶與

S奇分別是偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和；

（4）當(dāng)

q

≠－1時，連續(xù)

m

項的和（如

Sm

，

S2

m

－

Sm

，

S3

m

－

S2

m

，…）仍組成等比數(shù)列（公比為

qm

，

m

≥2）.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）等比數(shù)列前

n

項和

Sn

不可能為0.

（

×

）（2）若首項為

a

的數(shù)列既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列，則其前

n

項和

等于

na

.

（

√

）

（4）數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

＝

an

＋

b

（

a

≠0，

a

≠1），則數(shù)列

{

an

}一定是等比數(shù)列.

（

×

）×√××

3.

設(shè)等比數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，若

S3＋

S6＝

S9，則公比

q

＝

?.解析：由

S3＋

S6＝

S9得

S3＝

S9－

S6，即

a1＋

a2＋

a3＝

a7＋

a8＋

a9＝

q6（

a1＋

a2＋

a3），則

q6＝1，

q

＝±1.±1典型例題·精研析02課堂互動關(guān)鍵能力提升

題型一等比數(shù)列前

n

項和公式的基本運算【例1】

（1）設(shè)等比數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，若

a1＝3，且

a2

022

＋

a2

023＝0，則

S101＝（

A

）A.3B.303C.

－3D.

－303解析：

設(shè)數(shù)列{

an

}的公比為

q

，由

a2

022＋

a2

023＝0可得

q

＝－1，故

S101＝

a101＝

a1＝3.A（2）（多選）已知等比數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，公比為

q

，若

a1≠

a2，

a3

a4＝2

a1，

a3－

a2＝2（

a4－

a3），則下列結(jié)論正確的是

（

AD

）B.

a7＝2C.

a8＝8D.

S6＝126AD

（3）在數(shù)列{

an

}中，

a1＝2，

an＋1＝2

an

，

Sn

為{

an

}的前

n

項和.若

Sn

＝126，則

n

＝

?.

6通性通法等比數(shù)列前

n

項和基本運算的技巧（1）在等比數(shù)列的通項公式和前

n

項和公式中，共涉及五個量：

a1，

an

，

n

，

q

，

Sn

，其中首項

a1和公比

q

為基本量，且“知三求

二”，常常列方程組來解答；

（3）在解決與前

n

項和有關(guān)的問題時，首先要對公比

q

＝1或

q

≠1進

行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論.【跟蹤訓(xùn)練】在等比數(shù)列{

an

}中：

（2）已知

S4＝1，

S8＝17，求

an

.

題型二等比數(shù)列前

n

項和的性質(zhì)【例2】（1）在等比數(shù)列{

an

}中，若

S10＝10，

S20＝30，則

S30

＝

?；70解析：

設(shè)等比數(shù)列{

an

}的公比為

q

，∵

S20≠2

S10，∴

q

≠1.∵

S10≠

S20，∴

q

≠－1.

法二

由性質(zhì)（4）得

S10，

S20－

S10，

S30－

S20仍成等比數(shù)列，則（

S20

－

S10）2＝

S10（

S30－

S20），即（30－10）2＝10（

S30－30），得

S30

＝70.法三

由性質(zhì)（2）得

S20＝

S10＋

q10

S10，即30＝10＋10

q10，∴

q10＝

2，∴

S30＝

S20＋

q20

S10＝30＋40＝70.

（2）已知等比數(shù)列{

an

}共有2

n

項，其和為－240，且（

a1＋

a3＋…＋

a2

n－1）－（

a2＋

a4＋…＋

a2

n

）＝80，則公比

q

＝

?；2解析：由題意知

S奇＋

S偶＝－240，

S奇－

S偶＝80，

（3）若數(shù)列{

an

}是等比數(shù)列，且其前

n

項和為

Sn

＝3

n＋1－2

k

，則實

數(shù)

k

＝

?.

通性通法處理等比數(shù)列前

n

項和有關(guān)問題的常用方法（1）運用等比數(shù)列的前

n

項和公式，要注意公比

q

＝1和

q

≠1兩種情

形，在解有關(guān)的方程（組）時，通常用約分或兩式相除的方法

進行消元；（2）靈活運用等比數(shù)列前

n

項和的有關(guān)性質(zhì).【跟蹤訓(xùn)練】1.

已知等比數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，

S4＝1，

S8＝3，則

a9＋

a10＋

a11＋

a12＝（

）A.8B.6C.4D.2解析：

S4，

S8－

S4，

S12－

S8成等比數(shù)列.即1，2，

a9＋

a10＋

a11

＋

a12成等比數(shù)列.∴

a9＋

a10＋

a11＋

a12＝4.2.

一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{

an

}，全部各項之和為偶數(shù)項之和的4

倍，前3項之積為64，求數(shù)列的通項公式.

題型三等比數(shù)列前

n

項和公式的實際應(yīng)用【例3】

某市2023年共有1萬輛燃油型公交車.有關(guān)部門計劃于2024

年投入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年

增加50%.則：（1）該市在2030年應(yīng)該投入電力型公交車多少輛？

通性通法解數(shù)列應(yīng)用題的思路和方法【跟蹤訓(xùn)練】為保護我國的稀土資源，國家限定某礦區(qū)的出口總量不能超過80噸，

該礦區(qū)計劃從2024年開始出口，當(dāng)年出口

a

噸，以后每年出口量均比

上一年減少10%.（1）以2024年為第一年，設(shè)第

n

年出口量為

an

噸，試求

an

的表

達式；解：

由題意知每年的出口量構(gòu)成等比數(shù)列，且首項

a1＝

a

，公比

q

＝1－10%＝0.9，∴

an

＝

a

·0.9

n－1.（2）國家計劃10年后終止該礦區(qū)的出口，問2024年最多出口多少

噸？（0.910≈0.35，保留一位小數(shù)）

1.

數(shù)列1，5，52，53，54，…的前10項和為（

）

2.

等比數(shù)列{

an

}中，公比

q

＝－2，

S5＝44，則

a1的值為（

）A.4B.

－4C.2D.

－2

3.

記

Sn

為等比數(shù)列{

an

}的前

n

項和.若

S2＝4，

S4＝6，則

S6＝

（

）A.7B.8C.9D.10

4.

中國古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，

次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸

減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，

那么這匹馬在最后一天行走的里程數(shù)為（

）

5.

等比數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，若

an

＞0，

q

＞1，

a3＋

a5＝20，

a2

a6＝64，則

S5＝

?.

31知能演練·扣課標(biāo)03課后鞏固核心素養(yǎng)落地

1.

在等比數(shù)列{

an

}中，

a1＝2，

a2＝1，則

S100＝（

）A.4－2100B.4＋2100C.4－2－98D.4－2－100

123456789101112131415162.

設(shè)等比數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，已知

S3＝8，

S6＝7，則

a7＋

a8＋

a9＝（

）

123456789101112131415163.

河南洛陽龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫，現(xiàn)為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)

之一.某洞窟的浮雕共7層，它們構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案.若從下往上

計算，從第二層開始，每層浮雕像個數(shù)依次是下層個數(shù)的2倍，該

洞窟浮雕像總共有1

016個，則第5層浮雕像的個數(shù)為（

）A.64B.128C.224D.512

12345678910111213141516

A.

（3

n

－1）2D.27

n

－1

123456789101112131415165.

（多選）設(shè)等比數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，且滿足

a6＝8

a3，則

（

）A.

數(shù)列{

an

}的公比為2B.

數(shù)列{

an

}的公比為8

123456789101112131415166.

（多選）在公比

q

為整數(shù)的等比數(shù)列{

an

}中，

Sn

是數(shù)列{

an

}的前

n

項和，若

a1＋

a4＝18，

a2＋

a3＝12，則下列說法正確的是（

）A.

q

＝2B.

數(shù)列{

Sn

＋2}是等比數(shù)列C.

S8＝510D.

數(shù)列{lg

an

}是公差為2的等差數(shù)列12345678910111213141516

123456789101112131415167.

若等比數(shù)列{

an

}的前

n

項和

Sn

＝2·3

n

＋

r

，則

r

＝

?.解析：

Sn

＝2·3

n

＋

r

，由等比數(shù)列前

n

項和的性質(zhì)得

r

＝－2.－2123456789101112131415168.

已知

Sn

為等比數(shù)列{

an

}的前

n

項和，

Sn

＝93，

an

＝48，公比

q

＝

2，則項數(shù)

n

＝

，

a1＝

?.

53123456789101112131415168.

已知

Sn

為等比數(shù)列{

an

}的前

n

項和，

Sn

＝93，

an

＝48，公比

q

＝

2，則項數(shù)

n

＝

，

a1＝

?.

53123456789101112131415169.

已知{

an

}是遞減的等比數(shù)列，且

a2＝2，

a1＋

a3＝5，則{

an

}的通項

公式為

，

a1

a2＋

a2

a3＋…＋

anan＋1（

n

∈N＋）

＝

?.

1234567891011121314151610.

設(shè)數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，

a1＝1，且數(shù)列{

Sn

}是以2為公比的

等比數(shù)列.（1）求數(shù)列{

an

}的通項公式；

12345678910111213141516（2）求

a1＋

a3＋…＋

a2

n＋1.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.1

673B.1

67512345678910111213141516

12345678910111213141516

2

n－1

1234567891011121314151614.

（1）設(shè)數(shù)列{

xn

}滿足log2

xn＋1＝1＋log2

xn

（

n

∈N＋），且

x1＋

x2

＋…＋

x10＝10，記{

xn

}的前

n

項和為

Sn

，求

S20；解：∵log2

xn＋1＝1＋log2

xn

＝log2（2

xn

），∴

xn＋1＝2

xn

，且

xn

＞0，∴{

xn

}為等比數(shù)列，且公比

q

＝2，∴

S