2025年下學期初中數(shù)學探究學習能力試卷一、數(shù)與代數(shù)模塊（一）規(guī)律探究題題目1：觀察下列等式的規(guī)律，完成填空并解答問題。(1=1^2)(1+3=2^2)(1+3+5=3^2)(1+3+5+7=4^2)...（1）寫出第5個等式：；（2）用含正整數(shù)(n)的代數(shù)式表示第(n)個等式：；（3）若等式左邊共有2025個連續(xù)奇數(shù)相加，求等式右邊的結(jié)果。題目2：某便利店銷售一款飲料，進價為每瓶4元，售價為每瓶6元。為了促銷，店主推出“買三送一”活動（即購買3瓶贈送1瓶）。（1）若顧客購買10瓶飲料，最少需要支付多少元？（2）設顧客購買(x)瓶飲料（(x)為正整數(shù)），實際支付金額為(y)元，求(y)與(x)之間的函數(shù)關系式（寫出自變量(x)的取值范圍）；（3）若顧客支付了54元，最多可獲得多少瓶飲料？（二）方程與不等式應用探究題題目3：某校計劃組織學生參加社會實踐活動，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；如果改租同樣數(shù)量的60座客車，則多出一輛，且其余客車剛好坐滿。（1）求原計劃租用45座客車的數(shù)量和參加活動的學生人數(shù)；（2）若45座客車的租金為每輛220元，60座客車的租金為每輛300元，要使每位學生都有座位，且租車費用最少，應如何租車？二、幾何與圖形模塊（一）圖形性質(zhì)探究題題目4：如圖1，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，(\angleBAC=120^\circ)，點(D)是(BC)的中點，連接(AD)。（1）求證：(AD=\frac{1}{2}BC)；（2）將(\triangleABD)繞點(A)順時針旋轉(zhuǎn)(120^\circ)得到(\triangleACE)，連接(DE)，判斷(\triangleADE)的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，若(BC=6)，求(DE)的長度。（二）動態(tài)幾何探究題題目5：如圖2，在矩形(ABCD)中，(AB=8)，(BC=6)，點(P)從點(A)出發(fā)，沿(AB)邊向點(B)以每秒2個單位長度的速度運動，同時點(Q)從點(C)出發(fā)，沿(CD)邊向點(D)以每秒1個單位長度的速度運動，當點(P)到達點(B)時，兩點同時停止運動。設運動時間為(t)秒（(t>0)）。（1）用含(t)的代數(shù)式表示線段(AP)、(CQ)的長度；（2）當(t)為何值時，四邊形(APQD)是平行四邊形？（3）在運動過程中，是否存在某一時刻(t)，使得(\triangleBPQ)為等腰三角形？若存在，求出(t)的值；若不存在，說明理由。（三）圓的綜合探究題題目6：如圖3，(AB)是(\odotO)的直徑，點(C)在(\odotO)上，過點(C)作(\odotO)的切線(CD)，交(AB)的延長線于點(D)，連接(AC)、(BC)。（1）求證：(\angleACD=\angleB)；（2）若(AB=10)，(CD=6)，求(BD)的長；（3）在（2）的條件下，點(E)是(\odotO)上一點，且(\angleACE=30^\circ)，求(AE)的長（結(jié)果保留根號）。三、數(shù)據(jù)與概率模塊（一）統(tǒng)計圖表分析題題目7：為了解某校七年級學生的體育鍛煉情況，隨機抽取了部分學生進行調(diào)查，得到如下不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖：鍛煉時間（分鐘/天）頻數(shù)頻率10≤t＜2050.120≤t＜30a0.230≤t＜4015b40≤t＜50100.250≤t＜60c0.1（1）求本次調(diào)查的樣本容量及表中(a)、(b)、(c)的值；（2）補全頻數(shù)分布直方圖（用文字描述即可）；（3）若該校七年級共有800名學生，估計每天鍛煉時間不少于40分鐘的學生人數(shù)。（二）概率實驗探究題題目8：在一個不透明的袋子中，裝有3個紅球和2個白球，這些球除顏色外都相同。（1）從袋子中隨機摸出一個球，求摸到紅球的概率；（2）小明和小亮約定進行摸球游戲，規(guī)則如下：先由小明隨機摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻后再由小亮隨機摸出一個球，若兩人摸到的球顏色相同，則小明勝；否則，小亮勝。這個游戲公平嗎？請說明理由；（3）若再向袋子中放入(x)個白球，使得摸到白球的概率為(\frac{2}{3})，求(x)的值。（三）綜合實踐探究題題目9：某學校為了豐富學生的課余生活，計劃購買一批籃球和足球。已知購買2個籃球和1個足球共需320元；購買3個籃球和2個足球共需540元。（1）求每個籃球和每個足球的售價；（2）若學校計劃購買籃球和足球共50個，且總費用不超過5500元，最多可購買多少個足球？（3）在（2）的條件下，若籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的2倍，有哪幾種購買方案？哪種方案最省錢？四、拓展探究模塊（一）跨學科綜合題題目10：如圖4，某數(shù)學興趣小組為測量學校旗桿的高度，在地面上的點(C)處測得旗桿頂端(A)的仰角為(30^\circ)，沿(BC)方向前進20米到達點(D)，測得旗桿頂端(A)的仰角為(60^\circ)（點(B)、(C)、(D)在同一條直線上，且旗桿(AB)垂直于地面）。（1）求旗桿(AB)的高度（結(jié)果保留根號）；（2）若此時測得旗桿影子的長度為10米，求此時太陽光線與地面的夾角（精確到(1^\circ)，參考數(shù)據(jù)：(\tan60^\circ\approx1.732)，(\tan30^\circ\approx0.577)）。（二）開放型探究題題目11：已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)的圖象經(jīng)過點(A(1,0))、(B(3,0))、(C(0,3))。（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(P)，使得(\trianglePAC)的周長最??？若存在，求出點(P)的坐標