2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)與函數(shù)思維試卷一、函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)（一）函數(shù)的基本概念在數(shù)學(xué)中，函數(shù)是描述兩個(gè)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的重要工具。一般來說，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。例如，在勻速直線運(yùn)動(dòng)中，路程s與時(shí)間t的關(guān)系s=vt（其中v為速度）就是一個(gè)典型的函數(shù)關(guān)系，時(shí)間t是自變量，路程s是因變量，對(duì)于每一個(gè)確定的時(shí)間t，都有唯一確定的路程s與之對(duì)應(yīng)。函數(shù)的定義域是指自變量允許取值的范圍。確定函數(shù)定義域時(shí)，需要考慮多種因素：當(dāng)函數(shù)關(guān)系式為整式時(shí)，定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；關(guān)系式中含有分式時(shí)，分式的分母不能等于零；含有二次根式時(shí)，被開方數(shù)必須大于等于零；關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不能等于零。在實(shí)際問題中，函數(shù)的定義域還需要結(jié)合實(shí)際情況來確定，使其具有實(shí)際意義。例如，在計(jì)算矩形面積時(shí)，矩形的邊長(zhǎng)不能為負(fù)數(shù)，所以自變量的取值范圍必須是正數(shù)。函數(shù)有三種主要的表示方法：列表法、解析式法和圖象法。列表法通過表格列出自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值，一目了然，使用方便，但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的，不易看出兩者之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律；解析式法用含有自變量的代數(shù)式表示因變量，簡(jiǎn)單明了，能精確反映整個(gè)變化過程中自變量與函數(shù)的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系無法用解析式表示；圖象法是將自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出這些點(diǎn)所構(gòu)成的圖形，形象直觀，但只能近似地體現(xiàn)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。（二）一次函數(shù)一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中最基本的函數(shù)類型之一，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)叫做一次函數(shù)，其中x是自變量。當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)y=kx又叫做正比例函數(shù)。例如，y=2x+3和y=-5x都是一次函數(shù)，而y=3x2則不是一次函數(shù)，因?yàn)樽宰兞康拇螖?shù)是2。一次函數(shù)的圖象是一條直線。在畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，通常采用描點(diǎn)法，其一般步驟為：第一步，列表，給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；第二步，描點(diǎn)，在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)；第三步，連線，按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑的直線連接起來。例如，對(duì)于一次函數(shù)y=2x+1，我們可以取x=-1，0，1，得到對(duì)應(yīng)的y值為-1，1，3，然后在坐標(biāo)系中描出點(diǎn)(-1,-1)、(0,1)、(1,3)，再將這些點(diǎn)連接成直線。一次函數(shù)具有單調(diào)性，當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小。例如，函數(shù)y=3x-2中k=3>0，所以y隨x的增大而增大；函數(shù)y=-2x+5中k=-2<0，所以y隨x的增大而減小。此外，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)(0,b)，b稱為函數(shù)的截距，當(dāng)b>0時(shí)，圖象與y軸交于正半軸；當(dāng)b<0時(shí)，交于負(fù)半軸；當(dāng)b=0時(shí)，圖象經(jīng)過原點(diǎn)，此時(shí)的一次函數(shù)就是正比例函數(shù)。（三）二次函數(shù)二次函數(shù)是形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，其中a叫做二次項(xiàng)系數(shù)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)，c叫做常數(shù)項(xiàng)。例如，y=x2+2x-3和y=-2x2+5都是二次函數(shù)，而y=3x+1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)。二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。拋物線的開口方向由二次項(xiàng)系數(shù)a決定，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下。拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/(2a)，(4ac-b2)/(4a))，對(duì)稱軸是直線x=-b/(2a)。例如，對(duì)于二次函數(shù)y=x2-4x+3，a=1>0，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)。二次函數(shù)具有最值性，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)有最小值，最小值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，最大值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。例如，函數(shù)y=x2-4x+3，因?yàn)閍=1>0，所以函數(shù)有最小值，最小值為-1，此時(shí)x=2。在實(shí)際問題中，我們常常利用二次函數(shù)的最值來解決最大利潤(rùn)、最大面積等問題。二、教學(xué)案例（一）一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用案例問題：某商店將每件進(jìn)價(jià)為8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件。該店想通過降低售價(jià)、增加銷售量的方法來提高利潤(rùn)，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品每件每降價(jià)0.1元，其銷售量可增加10件。將這種商品的售價(jià)降低多少時(shí)，能使銷售利潤(rùn)最大？分析過程：首先，我們需要明確商品的利潤(rùn)與售價(jià)、進(jìn)價(jià)以及銷售量之間的關(guān)系。利潤(rùn)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷售量。在不降低售價(jià)時(shí)，每件商品的利潤(rùn)為10-8=2元，一天總的利潤(rùn)為2×100=200元。若設(shè)每件商品降價(jià)x元，則此時(shí)的售價(jià)為(10-x)元，每件商品的利潤(rùn)為(10-x-8)=(2-x)元。因?yàn)槊考拷祪r(jià)0.1元，銷售量可增加10件，那么降價(jià)x元，銷售量增加的數(shù)量為(x÷0.1)×10=100x件，所以此時(shí)的銷售量為(100+100x)件。根據(jù)利潤(rùn)公式，可得到利潤(rùn)y與降價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=(2-x)(100+100x)，展開并化簡(jiǎn)可得y=-100x2+100x+200。因?yàn)槭蹆r(jià)不能低于進(jìn)價(jià)，所以10-x≥8，解得x≤2，又因?yàn)榻祪r(jià)不能為負(fù)數(shù)，所以x≥0，因此自變量x的取值范圍是0≤x≤2。接下來，我們需要求出這個(gè)二次函數(shù)在0≤x≤2范圍內(nèi)的最大值。對(duì)于二次函數(shù)y=-100x2+100x+200，其中a=-100<0，拋物線開口向下，函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最大值。對(duì)稱軸為x=-b/(2a)=-100/(2×(-100))=0.5。因?yàn)?.5在自變量的取值范圍內(nèi)，所以當(dāng)x=0.5時(shí)，利潤(rùn)y有最大值，最大值為y=-100×(0.5)2+100×0.5+200=225元。結(jié)論：將這種商品的售價(jià)降低0.5元時(shí)，能使銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為225元。（二）二次函數(shù)的幾何應(yīng)用案例問題：用一段長(zhǎng)為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，如何確定矩形的長(zhǎng)和寬，才能使菜園的面積最大？分析過程：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm，因?yàn)榛h笆的總長(zhǎng)為20m，所以矩形的寬為(20÷2-x)=(10-x)m。矩形的面積y與長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=x(10-x)，展開可得y=-x2+10x。由于矩形的長(zhǎng)和寬都必須是正數(shù)，所以x>0且10-x>0，即0<x<10，因此自變量x的取值范圍是0<x<10。對(duì)于二次函數(shù)y=-x2+10x，其中a=-1<0，拋物線開口向下，函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最大值。對(duì)稱軸為x=-b/(2a)=-10/(2×(-1))=5。因?yàn)?在自變量的取值范圍內(nèi)，所以當(dāng)x=5時(shí)，面積y有最大值，最大值為y=-52+10×5=25m2。此時(shí)矩形的寬為10-5=5m，即當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬都為5m時(shí)，菜園的面積最大，為25m2。結(jié)論：圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為5m的正方形菜園時(shí)，面積最大，最大面積為25m2。三、思維訓(xùn)練方法（一）模型思想的培養(yǎng)模型思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要思想方法，在函數(shù)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的模型思想有助于他們運(yùn)用函數(shù)模型描述和解決實(shí)際問題。教師可以通過實(shí)際問題引導(dǎo)學(xué)生抽象出函數(shù)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的過程。例如，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，可以讓學(xué)生解決這樣的問題：某電信公司推出兩種手機(jī)套餐，套餐A：每月基本月租費(fèi)50元，每分鐘通話費(fèi)0.3元；套餐B：每月基本月租費(fèi)30元，每分鐘通話費(fèi)0.5元。如何根據(jù)每月的通話時(shí)間選擇更優(yōu)惠的套餐？首先，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)每月通話時(shí)間為x分鐘，套餐A的費(fèi)用為y?元，套餐B的費(fèi)用為y?元，建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)?=50+0.3x和y?=30+0.5x。然后，通過求解方程50+0.3x=30+0.5x，得到x=100，即當(dāng)通話時(shí)間為100分鐘時(shí)，兩種套餐費(fèi)用相同；當(dāng)通話時(shí)間小于100分鐘時(shí)，套餐B更優(yōu)惠；當(dāng)通話時(shí)間大于100分鐘時(shí)，套餐A更優(yōu)惠。通過這樣的問題，學(xué)生能夠體會(huì)到函數(shù)模型在解決實(shí)際問題中的作用，從而培養(yǎng)模型思想。（二）數(shù)形結(jié)合思維的訓(xùn)練數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中非常重要的思維方法，函數(shù)的圖象是函數(shù)關(guān)系的直觀體現(xiàn)，通過函數(shù)圖象可以幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)的性質(zhì)和解決函數(shù)問題。在函數(shù)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)的解析式與圖象結(jié)合起來，從圖象中獲取信息，解決問題。例如，對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b，通過觀察其圖象的走向可以判斷k的正負(fù)，圖象與y軸的交點(diǎn)位置可以確定b的正負(fù)。在解決函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，結(jié)合圖象可以直觀地看出函數(shù)值隨自變量的變化情況。對(duì)于二次函數(shù)，通過圖象可以清楚地看到拋物線的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸以及函數(shù)的最值等。教師可以讓學(xué)生進(jìn)行畫圖練習(xí)，畫出不同函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答問題。例如，給出函數(shù)y=2x-1和y=-x+3的圖象，讓學(xué)生找出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及當(dāng)x取何值時(shí)，2x-1>-x+3。通過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生能夠逐漸形成數(shù)形結(jié)合的思維習(xí)慣，提高解決函數(shù)問題的能力。（三）探究性學(xué)習(xí)的開展探究性學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力的有效方式，在函數(shù)教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)探究性問題，讓學(xué)生通過自主探究、合作交流等方式發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)和規(guī)律。例如，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，可以讓學(xué)生探究二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a、b、c對(duì)函數(shù)圖象的影響。學(xué)生可以分組，每組選擇不同的a、b、c值，畫出函數(shù)的圖象，然后比較各組的圖象，討論a、b、c的變化如何影響拋物線的開口方向、頂點(diǎn)位置、對(duì)稱軸等。通過這樣的探究活動(dòng)，學(xué)生能夠主動(dòng)參與到知識(shí)的形成過程中，加深對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的理解，同時(shí)培養(yǎng)了探究能力和合作精神。另外，教師還可以提出一些開放性的問題，如“請(qǐng)你寫出一個(gè)經(jīng)過點(diǎn)(1,2)的二次函數(shù)解析式”，讓學(xué)生思考不同的答案，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力。在探究過程中，學(xué)生可能會(huì)遇到困難，教師要給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)和幫助，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、勇于嘗試。（四）錯(cuò)題反思與總結(jié)在函數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生難免會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行反思和總結(jié)是提高學(xué)習(xí)效果的重要方法。教師可以讓學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)錯(cuò)題本，記錄自己在函數(shù)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，分析錯(cuò)誤原因，并寫出正確的解題過程和反思。例如，學(xué)生在求函數(shù)定義域時(shí)，可能會(huì)忽略分母不為零或被開方數(shù)大于等于零的條件；在判斷函數(shù)類型時(shí)，可能會(huì)混淆一次函數(shù)和二次函數(shù)的定義。通過對(duì)錯(cuò)題的反思，學(xué)生可以找出自己知識(shí)上的