PAGE高三年級(jí)階段訓(xùn)練數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。題號(hào)12345678答案DBCDACBD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。9.BCD10.AC11.ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.13.y2-x2=4（y>0）14.四、解答題：本題共5小題，共77分。15.解：（1）因?yàn)锳+C=5B，又A+B+C=π，所以6B=π，即．因?yàn)?sin(A-B)=sinC，所以3sin(A-B)=sin(A+B)，即3(sinAcosB-cosAsinB)=sinAcosB+cosAsinB，所以sinAcosB=2cosAsinB，所以tanA=2tanB．又，所以．（2）由（1）得，所以，，．所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB．由正弦定理得，所以．所以△ABC的面積為．16.解：（1）依題意得解得所以．所以C的方程為．（2）依題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k存在，且k≠0）．聯(lián)立消去y得(3+4k2)x2+8kx-8=0．設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則Δ=96(2k2+1)>0，且．因?yàn)镻(0,1)，，所以，．由，可得，所以．由，解得．所以直線l的方程為．17.解：（1）由，得，即，又a1=1，所以．所以an+1=2n，即an=2n-1(n∈N*)．（2）因?yàn)?，所以．所以．因?yàn)?，所以．注：第?）小問(wèn)還可用迭加法求解，第（2）小問(wèn)還可用兩次錯(cuò)位相減法求解．18.解：（1）因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AC=BD．設(shè)AC∩BD=O，則OC=OD．又PC=PD，PO=PO，所以△POC≌△POD（SSS）．所以∠PCO=∠PDO．又PC=PD，AC=BD，所以△PAC≌△PBD（SAS），所以PA=PB．（2）（i）以D為原點(diǎn)，DA，DC所在直線分別為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖，則D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,6,0)，C(0,6,0)．作PQ⊥平面ABCD于Q，則PQ為四棱錐P-ABCD的高．所以．當(dāng)平面PCD⊥平面ABCD時(shí)，PQ取得最大值，即四棱錐P-ABCD的體積最大．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,3,4)．設(shè)三棱錐P-ABC的外接球球心為O(a,b,c)，球的半徑為R，由OA=OB=OC=OP=R，得(a-4)2+b2+c2=(a-4)2+(b-6)2+c2=a2+(b-6)2+c2=a2+(b-3)2+(c-4)2=R2，解得a=2，b=3，，R2=．所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4πR2=．（ii）取CD的中點(diǎn)E，連接PE與QE，則PE⊥CD，QE⊥CD，所以∠PEQ為二面角P-CD-A的平面角．設(shè)∠PEQ=α(0<α<π)，則P(4cosα,3,4sinα)，所以，，．設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z)，則即取x=sinα，得．設(shè)平面PAC的法向量為m=(x,y,z)，則即取x=6sinα，得．所以．設(shè)平面PAC與平面PCD夾角的大小為θ，則．設(shè)（-1<x<1），則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，f(x)取得最小值．所以二面角A-PC-D的余弦值的最小值為．注：第（2）小問(wèn)還可轉(zhuǎn)化為三棱錐P-BCD的外接球的表面積，其中BC⊥平面PCD；第（3）小問(wèn)點(diǎn)P的坐標(biāo)還可設(shè)為P(p,3,q)，其中p2+q2=16．19.解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=(x+1)lnx，所以f(1)=0，切點(diǎn)為(1,0)．因?yàn)椋郧芯€斜率k=f′(1)=2．所以切線方程為y-0=2(x-1)，即y=2x-2．（2）因?yàn)閒(x)=(x-a)lnx，所以．令f′(x)=0，得a=x(lnx+1)．要證明當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)存在唯一的極值點(diǎn)，即證明當(dāng)a>0時(shí)，y=f′(x)存在唯一的變號(hào)零點(diǎn)，即證明當(dāng)a>0時(shí)，直線y=a與函數(shù)y=x(lnx+1)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．令g(x)=x(lnx+1)，則g′(x)=lnx+2．令g′(x)=0，得x=e-2．當(dāng)x∈(0,e-2)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(e-2,+∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增．因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，g(x)→0-；g(e-1)=0；當(dāng)0<x<e-1時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x>e-1時(shí)，g(x)>0；當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→+∞．畫(huà)出g(x)的大致圖象如下：所以當(dāng)a>0時(shí)，直線y=a函數(shù)y=x(lnx+1)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．由上可知，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)存在唯一的極小值點(diǎn)．（3）f(x)+a≥b對(duì)任意x∈(0,+∞)成立，等價(jià)于[f(x)+a]min≥b．由（2）可知，當(dāng)a>0時(shí)，直線y=a函數(shù)y=g(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．令g(m)=a，則m>e-1，且．當(dāng)x∈(e-1,m)時(shí)，a>g(x)，則f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(m,+∞)時(shí)，a<g(x)，則f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．所以當(dāng)x=m時(shí)，f(x)有唯一的極小值f(m)．所以f(x)min=f(m)，且a=m(lnm+1)(m>e-1)．所以[f(x)+a]min=f(m)+a=(m-a)lnm+a=m[-(lnm)2+lnm+1)(m>e-1)．存在a∈(0,+∞)，使得{f(x)+a}min≥b成立，等價(jià)于{[f(x)+a]min}max≥b．設(shè)h(x)=x[-(lnx)2+lnx+1)(x>e-1)，則h(x)max≥b．因?yàn)閔′(x)=-(lnx)2-lnx+2=-(l