高一數(shù)學(xué)函數(shù)與代數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)進(jìn)入高中階段，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)深度和廣度都有了顯著提升。函數(shù)與代數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)更高級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)邏輯思維和解決實(shí)際問題能力的關(guān)鍵。本文旨在對(duì)高一數(shù)學(xué)中函數(shù)與代數(shù)的主要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)梳理與歸納，希望能為同學(xué)們構(gòu)建清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，助力大家更好地理解和掌握這部分內(nèi)容。一、代數(shù)初步代數(shù)是數(shù)學(xué)的語言，是進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)和推理的基礎(chǔ)。高一階段的代數(shù)知識(shí)，既是對(duì)初中內(nèi)容的深化，也為函數(shù)學(xué)習(xí)鋪平道路。（一）集合集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一，它為我們提供了一種簡潔、準(zhǔn)確地描述研究對(duì)象的工具。1.集合的定義與元素特性：集合是由一些確定的、不同的對(duì)象所組成的整體。組成集合的對(duì)象稱為元素。元素具有確定性（給定集合的元素必須是明確的）、互異性（一個(gè)集合中的元素互不相同）和無序性（集合中的元素沒有順序之分）。2.集合的表示方法：*列舉法：將集合中的元素一一列出，并用花括號(hào)“{}”括起來。適用于元素個(gè)數(shù)較少或元素有明顯規(guī)律的集合。*描述法：通過描述集合中元素所具有的共同特征來表示集合，一般形式為{x|P(x)}，其中x是代表元素，P(x)是元素x所滿足的條件。*圖示法（Venn圖）：用平面上封閉曲線的內(nèi)部表示集合，直觀形象，常用于集合間關(guān)系的表示和運(yùn)算。3.集合間的基本關(guān)系：*子集：如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B或B?A。*真子集：如果A?B且A≠B，則稱A是B的真子集，記作A?B或B?A。*相等集合：如果A?B且B?A，則稱集合A與集合B相等，記作A=B。4.集合的基本運(yùn)算：*交集：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，記作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。*并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，記作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。*補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為A相對(duì)于U的補(bǔ)集，記作?UA，即?UA={x|x∈U且x?A}。理解集合的概念時(shí)，要特別注意元素與集合的“屬于”關(guān)系和集合與集合的“包含”關(guān)系的區(qū)別。空集是一個(gè)特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（二）不等式不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，也是解決許多數(shù)學(xué)問題的重要工具。1.不等式的基本性質(zhì)：包括對(duì)稱性、傳遞性、加減運(yùn)算性質(zhì)、乘除運(yùn)算性質(zhì)（注意正數(shù)與負(fù)數(shù)對(duì)不等號(hào)方向的影響）。理解并熟練運(yùn)用這些性質(zhì)是解不等式和證明不等式的基礎(chǔ)。2.一元一次不等式（組）的解法：雖然在初中已學(xué)過，但高中階段仍需熟練掌握其解法，并能將其應(yīng)用于更復(fù)雜的問題情境中，例如含參數(shù)的一元一次不等式（組）的討論。3.一元二次不等式的解法：這是高中階段的重點(diǎn)。通常與相應(yīng)的一元二次方程、二次函數(shù)圖像緊密結(jié)合。步驟一般為：將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；求出對(duì)應(yīng)方程的根（若有）；根據(jù)二次函數(shù)圖像的開口方向以及根的情況，確定不等式的解集。4.簡單的分式不等式和絕對(duì)值不等式：掌握將簡單的分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）求解的方法，以及理解絕對(duì)值的幾何意義，掌握形如|ax+b|<c或|ax+b|>c(c>0)的絕對(duì)值不等式的解法。解不等式時(shí)，要特別注意不等式兩邊同乘（或同除）一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向需要改變。對(duì)于含參數(shù)的不等式，要學(xué)會(huì)根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行分類討論。（三）實(shí)數(shù)與代數(shù)式實(shí)數(shù)與代數(shù)式的運(yùn)算時(shí)整個(gè)代數(shù)學(xué)習(xí)的基石。1.實(shí)數(shù)：理解實(shí)數(shù)的分類（有理數(shù)與無理數(shù)），掌握實(shí)數(shù)的基本運(yùn)算（加、減、乘、除、乘方、開方）及其運(yùn)算律。2.代數(shù)式：包括整式、分式、根式等。*整式：掌握整式的加減乘除運(yùn)算（特別是乘法公式：平方差公式、完全平方公式等），以及多項(xiàng)式的因式分解（提公因式法、公式法、十字相乘法等）。*分式：理解分式的概念，掌握分式的基本性質(zhì)，以及分式的加減乘除運(yùn)算。*根式：理解平方根、立方根及n次方根的概念，掌握根式的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則，能進(jìn)行簡單的根式化簡與運(yùn)算。代數(shù)式的運(yùn)算需要細(xì)心和準(zhǔn)確，許多數(shù)學(xué)問題的解決都離不開熟練的代數(shù)式變形能力。二、函數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。它描述了變量之間的依賴關(guān)系，是刻畫變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。（一）函數(shù)的基本概念1.函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。*定義域：函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍，求定義域時(shí)要考慮使函數(shù)表達(dá)式有意義的條件（如分式分母不為零，偶次根式被開方數(shù)非負(fù)，零次冪底數(shù)不為零等）以及實(shí)際問題的背景。*值域：函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，求值域的方法多樣，如觀察法、配方法、換元法、利用函數(shù)單調(diào)性等。*對(duì)應(yīng)法則：是函數(shù)的核心，它規(guī)定了自變量x如何對(duì)應(yīng)到函數(shù)值y。2.函數(shù)的表示方法：*解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是最常用的方法。*列表法：通過列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。*圖像法：用平面直角坐標(biāo)系中的圖形來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，具有直觀性。3.區(qū)間的概念：為了簡便地表示函數(shù)的定義域和值域，引入了區(qū)間的概念，包括開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間。理解函數(shù)的概念，關(guān)鍵在于把握“兩個(gè)非空數(shù)集”、“任意一個(gè)”、“唯一確定”這幾個(gè)關(guān)鍵詞。定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域是函數(shù)的三要素，其中定義域和對(duì)應(yīng)法則確定了，值域也就隨之確定。（二）函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的重要視角，也是解決函數(shù)問題的關(guān)鍵。1.單調(diào)性（增減性）：*定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x?，x?，當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)（或f(x?)>f(x?)），那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。*判斷方法：主要有定義法和圖像法。定義法證明單調(diào)性的步驟：取值、作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)、下結(jié)論。2.奇偶性：*定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做奇函數(shù)；如果對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做偶函數(shù)。*圖像特征：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。*判斷方法：首先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱，則函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若對(duì)稱，再根據(jù)f(-x)與f(x)的關(guān)系判斷。3.最值：函數(shù)的最大值和最小值，是指函數(shù)在給定區(qū)間上所能達(dá)到的最大和最小函數(shù)值。求函數(shù)最值的常用方法有：利用函數(shù)的單調(diào)性、利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、利用基本不等式等。函數(shù)的性質(zhì)往往不是孤立的，一個(gè)函數(shù)可能同時(shí)具有多種性質(zhì)。綜合運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)可以更深刻地理解函數(shù)的圖像和行為。（四）幾種重要的函數(shù)模型1.一次函數(shù)與正比例函數(shù)：*定義：形如y=kx+b(k,b為常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)。當(dāng)b=0時(shí)，即y=kx(k≠0)，叫做正比例函數(shù)。*圖像：是一條直線。正比例函數(shù)的圖像是過原點(diǎn)的直線。*性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)在R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在R上是減函數(shù)。b是函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。2.二次函數(shù)：*定義：形如y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)。*解析式的三種形式：一般式y(tǒng)=ax2+bx+c；頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k(其中(h,k)為頂點(diǎn)坐標(biāo))；零點(diǎn)式（兩根式）y=a(x-x?)(x-x?)(其中x?,x?是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo))。*圖像：是一條拋物線。a決定拋物線的開口方向和開口大小。a>0，開口向上；a<0，開口向下。*性質(zhì)：對(duì)稱軸為x=-b/(2a)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))。當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞增，在頂點(diǎn)處取得最小值；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞增，在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞減，在頂點(diǎn)處取得最大值。*二次函數(shù)、二次方程與二次不等式的關(guān)系：三者緊密相連。二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是相應(yīng)二次方程的根；二次不等式的解集可以通過二次函數(shù)的圖像在x軸上方或下方的區(qū)間來確定。二次函數(shù)是高一函數(shù)學(xué)習(xí)的重中之重，其圖像和性質(zhì)的應(yīng)用非常廣泛，需要投入大量精力掌握。3.冪函數(shù)（初步）：*定義：形如y=x^α(α為常數(shù))的函數(shù)叫做冪函數(shù)。*幾種常見冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)：如y=x,y=x2,y=x3,y=x^(-1),y=x^(1/2)等。了解它們的定義域、奇偶性、單調(diào)性和圖像特征。學(xué)習(xí)冪函數(shù)時(shí)，要注意觀察指數(shù)α的不同對(duì)函數(shù)圖像和性質(zhì)的影響。（五）函數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)函數(shù)的最終目的是為了應(yīng)用于實(shí)際問題和解決數(shù)學(xué)本身的問題。1.函數(shù)與方程：理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，即函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根。掌握判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)的方法（零點(diǎn)存在性定理）。了解二分法是求方程近似解的一種常用方法。2.函數(shù)模型的應(yīng)用：能夠從實(shí)際問題中抽象出函數(shù)關(guān)系，建立函數(shù)模型（如一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等），利用函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題，如最優(yōu)化問題、預(yù)測(cè)問題等。應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟是：審題，理解題意，明確數(shù)量關(guān)系；設(shè)出變量，建立函數(shù)模型；求解函數(shù)模型；檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，并作答。三、總結(jié)與學(xué)習(xí)建議高一數(shù)學(xué)中的函數(shù)與代數(shù)部分，概念密集，邏輯性強(qiáng)，是整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“重頭戲”。要學(xué)好這部分內(nèi)容，首先要深刻理解基本概念，不要滿足于表面記憶，要理解其內(nèi)涵與外延。其次，要重視圖像的作用，函數(shù)的圖像是函數(shù)性質(zhì)的直觀體現(xiàn)，