2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽能力評估試卷一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2函數(shù)f(x)=ln(x+√(x2+1))的奇偶性為（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a=√3，b=1，B=30°，則角A的大小為（）A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且z+1/z是實(shí)數(shù)，則z等于（）A.1或-1B.i或-iC.1、-1、i或-iD.以上都不對若函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+1在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.(-∞,2]D.(-∞,3]已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(diǎn)(2,√3)，則雙曲線的方程為（）A.x2/3-y2/6=1B.x2/2-y2/4=1C.x2/1-y2/2=1D.x2/4-y2/8=1某班有50名學(xué)生，其中男生30人，女生20人，現(xiàn)從中選5人參加一項(xiàng)活動，要求男女生都有，則不同的選法種數(shù)為（）A.C(30,1)C(20,4)+C(30,2)C(20,3)+C(30,3)C(20,2)+C(30,4)C(20,1)B.C(50,5)-C(30,5)C.C(50,5)-C(20,5)D.C(50,5)-C(30,5)-C(20,5)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為π，且其圖像關(guān)于直線x=π/3對稱，則φ的值為（）A.π/6B.π/3C.2π/3D.5π/6二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）若向量a=(1,2)，b=(x,1)，且a⊥(a-b)，則x=______已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，a4=8，則數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5=______若二項(xiàng)式(2x-1/x)?的展開式中常數(shù)項(xiàng)為______已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，g(x)=kx-1，若對任意x1∈[0,3]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為______已知函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)=x2-2x，則方程f(x)=0在區(qū)間[-2,4]上的解的個數(shù)為______三、解答題（共6小題，滿分80分）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1，x∈R（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）在等差數(shù)列{an}中，a1=1，前n項(xiàng)和為Sn，且S3=12。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=1/(an·an+1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E是PC的中點(diǎn)。（1）求證：平面BDE⊥平面ABCD；（2）求三棱錐E-BCD的體積；（3）求二面角E-BD-C的大小。（本小題滿分14分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(diǎn)(1,√2/2)。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：點(diǎn)O到直線l的距離為定值。（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x，a∈R。（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若對任意x∈(0,+∞)，f(x)≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（本小題滿分14分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+2?。（1）證明：數(shù)列{an/2?}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；（3）設(shè)bn=an/(n+1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，并證明：Tn<2?-1。參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題C2.A3.C4.A5.A6.C7.D8.A二、填空題510.3111.-16012.(-∞,2]13.19π14.4三、解答題解：（1）f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，所以最小正周期T=2π/2=π。（6分）（2）因?yàn)閤∈[0,π/2]，所以2x+π/4∈[π/4,5π/4]，當(dāng)2x+π/4=π/2，即x=π/8時，f(x)取得最大值√2；當(dāng)2x+π/4=5π/4，即x=π/2時，f(x)取得最小值-1。（12分）解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)镾3=3a1+3d=3×1+3d=12，所以d=3，所以an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2。（6分）（2）bn=1/(an·an+1)=1/[(3n-2)(3n+1)]=1/3[1/(3n-2)-1/(3n+1)]，所以Tn=1/3[(1-1/4)+(1/4-1/7)+...+(1/(3n-2)-1/(3n+1))]=1/3[1-1/(3n+1)]=n/(3n+1)。（12分）（1）證明：連接AC交BD于O，連接OE，因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，又E是PC的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PA，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以O(shè)E⊥底面ABCD，又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD。（4分）（2）解：因?yàn)镻A=AB=2，所以AC=2√2，OE=1/2PA=1，所以三棱錐E-BCD的體積V=1/3×S△BCD×OE=1/3×(1/2×2×2)×1=2/3。（8分）（3）解：以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(1,1,1)，O(1,1,0)，所以向量OE=(0,0,1)，向量BD=(-2,2,0)，向量BE=(-1,1,1)，設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z)，則n·BD=0，n·BE=0，即-2x+2y=0，-x+y+z=0，令x=1，則y=1，z=0，所以n=(1,1,0)，又平面BCD的法向量為OE=(0,0,1)，所以cos<n,OE>=n·OE/(|n||OE|)=0，所以二面角E-BD-C的大小為90°。（14分）（1）解：因?yàn)殡x心率e=c/a=√2/2，所以c=√2/2a，又a2=b2+c2，所以a2=2b2，又橢圓過點(diǎn)(1,√2/2)，所以1/a2+(1/2)/b2=1，解得a2=2，b2=1，所以橢圓C的方程為x2/2+y2=1。（6分）（2）證明：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立方程組y=kx+m，x2/2+y2=1，消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，所以x1+x2=-4km/(1+2k2)，x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)，因?yàn)镺A⊥OB，所以O(shè)A·OB=x1x2+y1y2=0，又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，所以x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0，即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，代入得(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)-4k2m2/(1+2k2)+m2=0，化簡得3m2=2(1+k2)，所以點(diǎn)O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=√(m2/(1+k2))=√(2/3)=√6/3，為定值。（14分）解：（1）當(dāng)a=1時，f(x)=xlnx-x2+x，f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2，令g(x)=lnx-2x+2，則g'(x)=1/x-2，當(dāng)x∈(0,1/2)時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1/2,+∞)時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)≤g(1/2)=ln(1/2)-1+2=1-ln2>0，所以f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。（4分）（2）f'(x)=lnx+1-2ax+(2a-1)=lnx-2ax+2a，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處取得極大值，所以f'(1)=0，即ln1-2a×1+2a=0，恒成立，又f''(x)=1/x-2a，當(dāng)x=1時，f''(1)=1-2a，若函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，則f''(1)<0，即1-2a<0，解得a>1/2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1/2,+∞)。（8分）（3）因?yàn)閒(1)=0-a+(2a-1)=a-1≤0，所以a≤1，當(dāng)a=1時，由（1）知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又f(1)=0，所以當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)<0；當(dāng)x∈(1,+∞)時，f(x)>0，不滿足f(x)≤0恒成立，當(dāng)a<1時，f'(x)=lnx-2ax+2a，令f'(x)=0，得lnx=2a(x-1)，當(dāng)x=1時，ln1=0=2a(1-1)=0，所以x=1是方程的一個根，令h(x)=lnx-2a(x-1)，則h'(x)=1/x-2a，當(dāng)a≤0時，h'(x)>0，h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈(0,1)時，h(x)<h(1)=0，即f'(x)<0；當(dāng)x∈(1,+∞)時，h(x)>h(1)=0，即f'(x)>0，所以f(x)在x=1處取得極小值，也是最小值，f(1)=a-1≤0，所以f(x)≤0恒成立，當(dāng)0<a<1時，令h'(x)=0，得x=1/(2a)>1，當(dāng)x∈(0,1/(2a))時，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1/(2a),+∞)時，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，所以h(x)≤h(1/(2a))=ln(1/(2a))-2a(1/(2a)-1)=-ln(2a)-1+2a，令φ(a)=-ln(2a)-1+2a，0<a<1，則φ'(a)=-2/(2a)+2=-1/a+2，當(dāng)a∈(0,1/2)時，φ'(a)<0，φ(a)單調(diào)遞減；當(dāng)a∈(1/2,1)時，φ'(a)>0，φ(a)單調(diào)遞增，所以φ(a)≥φ(1/2)=-ln1-1+1=0，所以h(1/(2a))≥0，所以存在x2>1，使得h(x2)=0，當(dāng)x∈(1,x2)時，h(x)>0，即f'(x)>0，所以f(x)在(1,x2)上單調(diào)遞增，所以f(x2)>f(1)=0，不滿足f(x)≤0恒成立，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0]。（14分）（1）證明：因?yàn)閍n+1=2an+2?，所以an+1/2??1=an/2?+1/2，所以an+1/2??1-an/2?=1/2，又a1/21=1/2，所以數(shù)列{an/2?}是以1/2為首項(xiàng)，1/2為公差的等差數(shù)列。（4分）（2）解：由（1）知an/2?=1/2+(n-1)×1/2=n/2，所以an=n/2×2?=n×2??1，所以Sn=1×2?+2×21+3×22+...+n×2??1，2Sn=1×21+2×22+...+(n-1)×2??1+n×2?，兩式相減得-Sn=1+21+22+...+2??1-n×2?=2?-1-n×2?，所以Sn=(n-1)×2?+1。（8分）（3）解：bn=an/(n+1)=n×2??1/(n+1)，所以Tn=1×2?/2+2×21/3+3×22/4+...+n×2??1/(n+1)，因?yàn)閚/(n+1)<1，所以bn=n×2??1/(n+1)<2??1，所以Tn<2?+2