2025年高考物理臨界與極值問題求解策略試題一、臨界與極值問題的物理本質(zhì)及常見類型臨界現(xiàn)象是量變質(zhì)變規(guī)律在物理學(xué)中的具體體現(xiàn)，當(dāng)物理系統(tǒng)從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)時(shí)，必然存在一個(gè)過渡的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即臨界點(diǎn)。極值問題則是在特定條件下，物理量達(dá)到最大值或最小值的狀態(tài)。在高考物理中，這兩類問題貫穿力學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)等多個(gè)模塊，常見類型包括：靜力學(xué)中的臨界平衡狀態(tài)（如物體恰好滑動(dòng)時(shí)的摩擦力）、運(yùn)動(dòng)學(xué)中的臨界速度（如汽車啟動(dòng)時(shí)的最大加速度）、電磁感應(yīng)中的臨界電流（如導(dǎo)體棒恰好開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻）、光學(xué)中的全反射臨界角等。解決這類問題需要同時(shí)掌握物理過程分析和數(shù)學(xué)工具應(yīng)用，是高考物理區(qū)分度較高的核心考點(diǎn)。二、靜力學(xué)中的臨界與極值問題（一）動(dòng)態(tài)平衡中的臨界條件分析動(dòng)態(tài)平衡問題的典型特征是物體在緩慢變化過程中始終處于平衡狀態(tài)，常用"緩慢移動(dòng)"等表述。解決此類問題需抓住力的變化規(guī)律，常用方法包括解析法和圖解法。例1：在傾角為30°的光滑斜面上，質(zhì)量為m的小球被擋板擋住處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)擋板繞底端逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)向水平位置時(shí)，分析斜面對(duì)小球的支持力N和擋板對(duì)小球的彈力F的變化規(guī)律。解析：小球受重力mg、斜面支持力N（方向垂直斜面）、擋板彈力F（方向隨擋板轉(zhuǎn)動(dòng)而變化）。根據(jù)三力平衡條件，三力構(gòu)成封閉矢量三角形。重力mg為恒力，支持力N方向不變，擋板彈力F方向從沿斜面向上逐漸變?yōu)樗较蛴?。由矢量三角形變化可知：N始終減小，F(xiàn)先減小后增大（當(dāng)F與N垂直時(shí)F取最小值）。解題策略：受力分析時(shí)需明確恒力（如重力）、方向不變的力（如斜面支持力）、方向變化的力（如擋板彈力）；圖解法適用于三力平衡且有一個(gè)力方向不變的情況，通過繪制不同狀態(tài)下的矢量三角形，直觀判斷力的大小變化；解析法需建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)平衡條件列出Fcosθ=mgsinα、N=mgcosα-Fsinθ（θ為擋板與斜面夾角），利用三角函數(shù)關(guān)系求極值。（二）摩擦臨界問題與自鎖現(xiàn)象物體在摩擦力作用下的臨界狀態(tài)表現(xiàn)為"恰好靜止"或"恰好滑動(dòng)"，此時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大值f?=μN(yùn)。某些機(jī)械結(jié)構(gòu)（如木楔）利用摩擦自鎖原理實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)，其臨界條件需通過受力分析建立數(shù)學(xué)關(guān)系。例2：質(zhì)量為M的木楔頂角為α，豎直打入縫隙后保持靜止。若木楔與接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，求自鎖條件。解析：木楔兩側(cè)面受到法向壓力N和向上的靜摩擦力f。根據(jù)對(duì)稱性，兩側(cè)摩擦力合力等于木楔重力Mg，即2f=Mg。臨界狀態(tài)下f=μN(yùn)，由幾何關(guān)系知Nsin(α/2)=F（打入力）、Ncos(α/2)=f，聯(lián)立得μ≥tan(α/2)。解題策略：對(duì)含摩擦的臨界問題，需判斷摩擦力方向（與相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反），并明確臨界狀態(tài)時(shí)f=f?；涉及角度關(guān)系時(shí)，優(yōu)先采用正交分解法，將力分解到垂直和平行于接觸面的方向；自鎖問題的本質(zhì)是重力沿接觸面的分力小于最大靜摩擦力，需通過三角函數(shù)建立不等式。三、運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)中的極值問題（一）追擊相遇問題的臨界條件追擊問題中，兩物體"恰好相撞"或"恰好不相撞"的臨界條件是速度相等時(shí)的位移關(guān)系。此類問題需結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和不等式分析。例3：甲車以v?=10m/s勻速行駛，乙車在甲車后方s=20m處以a=2m/s2的加速度從靜止啟動(dòng)。求兩車不相撞的臨界條件。解析：當(dāng)乙車速度達(dá)到v?時(shí)，若未追上甲車則永不相撞。設(shè)加速時(shí)間為t，v?=at得t=5s。甲車位移x?=v?t=50m，乙車位移x?=?at2=25m。因x?+s=45m＜x?，故兩車不會(huì)相撞，臨界距離為x?-(x?+s)=5m。解題策略：速度相等是追擊問題的核心臨界條件，此時(shí)兩物體相對(duì)距離達(dá)到極值（最大或最小）；需分情況討論：勻減速追勻速時(shí)，若速度相等時(shí)未追上則永遠(yuǎn)追不上；勻速追勻加速時(shí)，需比較速度相等前后的位移關(guān)系。（二）曲線運(yùn)動(dòng)中的極值分析在圓周運(yùn)動(dòng)中，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的速度關(guān)系常涉及臨界狀態(tài)。如輕繩模型中，小球恰好通過最高點(diǎn)的臨界速度v=√(gR)；輕桿模型中，最小速度可為0。例4：質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，求小球在最低點(diǎn)時(shí)的最小速度，使其能通過最高點(diǎn)。解析：輕繩模型中，最高點(diǎn)最小速度v?=√(gR)。由機(jī)械能守恒：?mv?2=?mv?2+2mgR，解得最低點(diǎn)速度v?=√(5gR)。解題策略：明確圓周運(yùn)動(dòng)的約束類型（輕繩/輕桿/軌道），確定最高點(diǎn)臨界速度；應(yīng)用機(jī)械能守恒或動(dòng)能定理時(shí)，需準(zhǔn)確計(jì)算重力勢(shì)能變化（注意參考平面選?。粚?duì)于復(fù)雜曲線運(yùn)動(dòng)，可通過運(yùn)動(dòng)的合成與分解轉(zhuǎn)化為直線運(yùn)動(dòng)分析極值。四、電磁學(xué)中的臨界與極值問題（一）帶電粒子在磁場(chǎng)中的臨界軌跡帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，常涉及"恰好穿出磁場(chǎng)"或"恰好不穿出磁場(chǎng)"的臨界問題，此時(shí)粒子軌跡與磁場(chǎng)邊界相切。例5：質(zhì)量為m、電荷量為q的正粒子以速度v垂直進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的矩形磁場(chǎng)區(qū)域（長(zhǎng)L、寬d）。要使粒子從右邊界射出，求速度v的取值范圍。解析：粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，半徑r=mv/(qB)。當(dāng)粒子軌跡與上邊界相切時(shí)，r?=(d+r?)cosθ（θ為速度方向與邊界夾角）；當(dāng)軌跡與下邊界相切時(shí)，r?=(r?-d)cosθ。臨界條件為r≥d，故v≥qBd/m。解題策略：繪制軌跡示意圖，確定圓心位置和半徑方向；利用幾何關(guān)系（如勾股定理、三角函數(shù)）建立半徑與磁場(chǎng)邊界的關(guān)系；臨界狀態(tài)對(duì)應(yīng)軌跡與邊界相切，此時(shí)圓心到邊界的距離等于半徑。（二）電磁感應(yīng)中的動(dòng)態(tài)臨界問題導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中切割磁感線時(shí)，常因安培力變化導(dǎo)致加速度變化，最終達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定狀態(tài)，此過程中存在最大速度或最大加速度的極值問題。例6：水平光滑導(dǎo)軌上的導(dǎo)體棒質(zhì)量為m，電阻為R，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)B豎直向下。當(dāng)棒以初速度v?開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，求棒的最終速度和最大加速度。解析：棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv，電流I=E/R，安培力F=BIL=B2L2v/R（與運(yùn)動(dòng)方向相反）。由牛頓第二定律：-F=ma，即a=-B2L2v/(mR)。隨著v減小，a減小，當(dāng)a=0時(shí)v達(dá)到穩(wěn)定值0（無外力時(shí)）。初始時(shí)刻v=v?時(shí)，加速度a?=B2L2v?/(mR)為最大值。解題策略：分析電磁感應(yīng)中的"動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)→電流→安培力→加速度→速度變化"的動(dòng)態(tài)鏈條；臨界狀態(tài)通常為加速度為0的勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)安培力與外力平衡；利用動(dòng)量定理或能量守恒可簡(jiǎn)化復(fù)雜過程的極值計(jì)算（如求最大焦耳熱）。五、數(shù)學(xué)方法在極值問題中的應(yīng)用（一）三角函數(shù)求極值當(dāng)物理量表達(dá)式中含三角函數(shù)時(shí)，可利用sinθ≤1、cosθ≤1或輔助角公式求極值。例7：質(zhì)量為m的物體在斜向上的拉力F（與水平方向夾角θ）作用下，在動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的水平面上勻速運(yùn)動(dòng)，求F的最小值。解析：根據(jù)平衡條件：Fcosθ=μ(mg-Fsinθ)，整理得F=μmg/(cosθ+μsinθ)。令tanφ=μ，則cosθ+μsinθ=√(1+μ2)cos(θ-φ)，當(dāng)θ=φ時(shí)F取最小值F?=μmg/√(1+μ2)。（二）二次函數(shù)求極值物理量表達(dá)式為二次函數(shù)y=ax2+bx+c時(shí)，當(dāng)x=-b/(2a)時(shí)y取極值（a＞0時(shí)為最小值，a＜0時(shí)為最大值）。例8：在豎直平面內(nèi)，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩一端固定，另一端系質(zhì)量為m的小球。若小球在最低點(diǎn)獲得水平初速度v?，求能完成完整圓周運(yùn)動(dòng)的最小v?。解析：最高點(diǎn)最小速度v=√(gL)，由動(dòng)能定理：-mg·2L=?mv2-?mv?2，得v?=√(5gL)。此處表達(dá)式雖為一次函數(shù)，但本質(zhì)是通過最高點(diǎn)臨界速度反推最低點(diǎn)速度極值。（三）不等式法求極值利用基本不等式a+b≥2√(ab)（a,b＞0）求極值，需滿足"一正二定三相等"條件。例9：電源電動(dòng)勢(shì)E=12V，內(nèi)阻r=2Ω，外電路接電阻R，求R為何值時(shí)電源輸出功率最大。解析：輸出功率P=I2R=(E/(R+r))2R=E2R/(R+r)2。令R=r=2Ω時(shí)，P?=E2/(4r)=18W。此處利用R=r時(shí)(R+r)2/(R)=R+2r+r2/R≥4r（當(dāng)R=r時(shí)取等號(hào)）。六、綜合應(yīng)用題解題策略（一）多過程問題的臨界狀態(tài)銜接復(fù)雜物理過程通常由多個(gè)子過程組成，需明確各過程的臨界條件（如速度為0、加速度為0、彈力為0等），并列出各階段的物理方程。例10：質(zhì)量為m的物塊從傾角為θ的斜面頂端以初速度v?下滑，斜面動(dòng)摩擦因數(shù)μ隨下滑距離x變化：μ=kx（k為常數(shù)）。求物塊下滑的最大距離。解析：物塊受重力、支持力、摩擦力f=μmgcosθ=kxmgcosθ。沿斜面方向：mgsinθ-f=ma，即a=gsinθ-kgcosθ·x。當(dāng)a=0時(shí)速度達(dá)到最大，之后做減速運(yùn)動(dòng)，直至v=0時(shí)下滑距離最大。由v2=2∫adx（積分過程）或動(dòng)能定理：mgsinθ·x-∫??(kxmgcosθ)dx=0-?mv?2，解得x=(sinθ+√(sin2θ+2kv?2/(gcosθ)))/(kcosθ)。（二）跨模塊綜合問題的極值分析電磁學(xué)與力學(xué)的綜合題常涉及極值計(jì)算，需同時(shí)應(yīng)用牛頓定律、能量守恒、電磁感應(yīng)規(guī)律。例11：間距為L(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌水平放置，磁感應(yīng)強(qiáng)度B豎直向下，質(zhì)量m、電阻R的導(dǎo)體棒在水平拉力F作用下從靜止開始運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)隨時(shí)間變化F=kt（k為常數(shù)）。不計(jì)導(dǎo)軌電阻及摩擦，求棒的最大速度。解析：棒受拉力F和安培力F安=BIL=B2L2v/R。由牛頓定律：kt-B2L2v/R=ma。當(dāng)a=0時(shí)速度達(dá)到最大v?=kRt/(B2L2)，但此時(shí)需注意t的表達(dá)式。對(duì)加速度積分得v=∫(kt/m-B2L2v/(mR))dt，解得v=(kR/B2L2)(t-mR/(B2L2)(1-e^(-B2L2t/(mR))))，當(dāng)t→∞時(shí)v→kR/(B2L2)·t，但實(shí)際中當(dāng)t足夠大時(shí)，v≈kRt/(B2L2)，此時(shí)加速度趨近于0。（三）易錯(cuò)點(diǎn)警示臨界條件判斷錯(cuò)誤：如將"恰好離開接觸面"誤認(rèn)為壓力等于重力，實(shí)際應(yīng)為壓力為0；數(shù)學(xué)工具應(yīng)用不當(dāng)：如用均值不等式求極值時(shí)忽略等號(hào)成立條件；物理過程分析不完整：如忽略物體減速到0后可能反向運(yùn)動(dòng)的情況；矢量方向處理失誤：如洛倫茲力方向判斷錯(cuò)誤導(dǎo)致軌跡圓心位置偏差。七、高考真題題型分類訓(xùn)練（一）力學(xué)綜合題1.（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）如圖，質(zhì)量M=2kg的木板靜止在光滑水平面上，質(zhì)量m=1kg的物塊放在木板左端，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2?，F(xiàn)用水平力F=6N向右拉木板，求物塊相對(duì)木板滑動(dòng)的時(shí)間。（g=10m/s2）提示：物塊加速度a?=μg=2m/s2，木板加速度a?=(F-μmg)/M=2m/s2，兩者加速度相等，無相對(duì)滑動(dòng)，時(shí)間為0。（二）電磁學(xué)計(jì)算題2.（2024年浙江卷）帶電粒子質(zhì)量m=1×10?2?kg，電荷量q=1×10?1?C，以v=2×10?m/s垂直進(jìn)入寬d=0.1m的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，穿出磁場(chǎng)時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)60°。求：（1）磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B；（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t。提示：軌跡半徑r=d/sin60°，由r=mv/(qB)得B=mv/(qr)=√3×10??T；圓心角θ=60°，t=θm/(qB)=π/3