8/8第2節(jié)萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用核心素養(yǎng)目標(biāo)物理觀念1.理解重力與萬(wàn)有引力的關(guān)系。2.掌握應(yīng)用萬(wàn)有引力定律計(jì)算天體質(zhì)量和密度的方法。3.會(huì)計(jì)算人造衛(wèi)星的第一宇宙速度，理解三個(gè)宇宙速度的意義?？茖W(xué)思維1.理解天體運(yùn)動(dòng)的分析思路與計(jì)算方法。2.感受科學(xué)定律的預(yù)測(cè)作用，體會(huì)萬(wàn)有引力定律對(duì)人類探索和認(rèn)識(shí)未知世界的作用。知識(shí)點(diǎn)一天體質(zhì)量的計(jì)算1.天體質(zhì)量的計(jì)算（1）在地球的表面，如果不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，近似等于萬(wàn)有引力，即mg＝GmMR2，若已知地球的半徑即可求得地球的質(zhì)量M＝（2）假設(shè)質(zhì)量為m的天體圍繞質(zhì)量為M的天體近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，提供向心力，則GmMr2＝m2πT2r，2.重力與萬(wàn)有引力的關(guān)系考慮地球的自轉(zhuǎn)，如圖所示，地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力F的方向指向地心O，它的一個(gè)分力F'為物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的，另一個(gè)分力就是物體的重力mg，故一般情況mg＜GmMR知識(shí)點(diǎn)二人造衛(wèi)星上天1.人造衛(wèi)星（1）牛頓的設(shè)想：如圖所示，當(dāng)足夠大時(shí)，被拋出物體將會(huì)圍繞地球旋轉(zhuǎn)而不再落回地面，成為一顆繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的。（2）原理：衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，提供向心力，即GMmr2＝mv2r＝mrω2，2.宇宙速度（1）第一宇宙速度大小為，也稱環(huán)繞速度。（2）第二宇宙速度大小為，也稱脫離速度。（3）第三宇宙速度大小為，也稱逃逸速度。知識(shí)點(diǎn)三預(yù)測(cè)未知天體1.海王星的發(fā)現(xiàn)在觀測(cè)天王星時(shí)，發(fā)現(xiàn)其實(shí)際軌道與萬(wàn)有引力計(jì)算的軌道不吻合，并由此預(yù)測(cè)存在另一行星，這就是后來(lái)發(fā)現(xiàn)的。2.意義鞏固了的地位，展示了科學(xué)理論的預(yù)見(jiàn)性。【情景思辨】如圖所示的是木星和它周圍運(yùn)行的衛(wèi)星。判斷下列說(shuō)法的正誤。（1）木星對(duì)衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供了衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。（）（2）如果測(cè)出一顆衛(wèi)星的軌道半徑和周期就可以算出木星的質(zhì)量。（）（3）如果測(cè)出一顆衛(wèi)星的質(zhì)量和衛(wèi)星到木星表面的距離就可以算出木星的質(zhì)量。（）（4）木星的第一宇宙速度也是7.9km/s。（）要點(diǎn)一天體質(zhì)量的計(jì)算【探究】卡文迪許在實(shí)驗(yàn)室測(cè)出了引力常量G的值，他被稱為“能稱量地球質(zhì)量的人”。（1）他“稱量”的依據(jù)是什么？（2）若還已知地球表面重力加速度g，地球半徑R，求地球的質(zhì)量和密度?！練w納】對(duì)天體質(zhì)量及密度的計(jì)算情景及求解思路結(jié)果天體質(zhì)量的計(jì)算已知所求星體的半徑R及其表面的重力加速度g，則GMmR2M＝g質(zhì)量為m的行星繞所求星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供行星所需的向心力，即GMmr2＝mv2r＝mω2r（1）M＝r（2）M＝r（3）M＝4天體密度的計(jì)算ρ＝MV＝（1）ρ＝3g4πGR（gR（2）ρ＝3（3）ρ＝3r＝R時(shí)：ρ＝3（4）ρ＝3r＝R時(shí)：ρ＝3【典例1】假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，若它貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T1，已知引力常量為G。（1）求該天體的質(zhì)量和密度；（2）若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測(cè)得衛(wèi)星在該高度做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T2，求該天體的質(zhì)量和密度。嘗試解答易錯(cuò)警示求解天體質(zhì)量和密度時(shí)的常見(jiàn)錯(cuò)誤（1）根據(jù)軌道半徑r和運(yùn)行周期T，求得M＝4π2r3GT2（2）混淆或亂用天體半徑與軌道半徑，為了正確并清楚地運(yùn)用，應(yīng)一開(kāi)始就養(yǎng)成良好的習(xí)慣，比如通常情況下天體半徑用R表示，軌道半徑用r表示，只有衛(wèi)星在天體表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，如近地衛(wèi)星，軌道半徑r才可以認(rèn)為等于天體半徑R。（3）注意區(qū)分R、r、h的意義：一般情況下，R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑，h指衛(wèi)星距離星球表面的高度，三者關(guān)系為r＝R＋h。1.2021年4月，我國(guó)自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運(yùn)行。若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量為G，由下列物理量能計(jì)算出地球質(zhì)量的是（）A.核心艙的質(zhì)量和繞地半徑B.核心艙的質(zhì)量和繞地周期C.核心艙的繞地角速度和繞地周期D.核心艙的繞地線速度和繞地半徑2.我國(guó)成功地進(jìn)行了“嫦娥四號(hào)”的發(fā)射和落月任務(wù)，進(jìn)一步獲取了月球的相關(guān)數(shù)據(jù)。嫦娥四號(hào)在月球上空繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，運(yùn)動(dòng)的路程是s，與月球中心連線掃過(guò)的角度是θ（弧度），引力常量為G，月球半徑為R，則可推知月球的密度是（）A.3t2θ4C.4πθR3要點(diǎn)二萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系1.物體在地球表面上所受引力與重力的關(guān)系：除兩極以外，地面上其他點(diǎn)的物體，都圍繞地軸做圓周運(yùn)動(dòng)，這就需要一個(gè)垂直于地軸的向心力。地球?qū)ξ矬w引力的一個(gè)分力F提供向心力，另一個(gè)分力為重力mg，如圖所示。（1）當(dāng)物體在兩極時(shí)：重力等于萬(wàn)有引力，即mg＝F引，重力達(dá)到最大值GMmR（2）當(dāng)物體在赤道上時(shí)，F(xiàn)＝mω2R最大，重力為最小值GMmR2－mω2（3）從赤道到兩極：隨著緯度增加，向心力F＝mω2R減小，F(xiàn)與F引夾角增大，所以重力mg增大，重力加速度增大。2.重力加速度與高度的關(guān)系若距離地面的高度為h，則mg＝GMm（R＋h）2（R為地球半徑，g為離地面h高度處的重力加速度）。3.特別說(shuō)明（1）重力是物體由于地球吸引產(chǎn)生的，但重力并不是地球?qū)ξ矬w的引力。（2）在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下，認(rèn)為mg＝GMmR【典例2】假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G，則地球的密度為（）A.3π（g0C.3πGT2嘗試解答1.（多選）如圖所示，P、Q是質(zhì)量均為m的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，分別置于地球表面不同緯度上，如果把地球看成是一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體，P、Q兩質(zhì)點(diǎn)隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.P、Q受地球引力大小相等B.P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等C.P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小相等D.P、Q兩質(zhì)點(diǎn)的重力大小相等2.從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國(guó)星際探測(cè)事業(yè)實(shí)現(xiàn)了由地月系到行星際的跨越。已知火星質(zhì)量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質(zhì)量約為“玉兔”月球車的2倍。在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會(huì)經(jīng)歷一個(gè)由著陸平臺(tái)支撐的懸停過(guò)程。懸停時(shí)，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺(tái)的作用力大小之比為（）A.9∶1 B.9∶2C.36∶1 D.72∶1要點(diǎn)三對(duì)三種宇宙速度的理解及其應(yīng)用【探究】發(fā)射衛(wèi)星，要有足夠大的速度才行，請(qǐng)思考：（1）不同星球的第一宇宙速度是否相同？第一宇宙速度的決定因素是什么？（2）人造地球衛(wèi)星離地面越高，其線速度越小，那么發(fā)射起來(lái)是不是越容易？【歸納】1.第一宇宙速度（1）公式：v1＝GMR＝gR（2）推導(dǎo)①由GMmR2＝mv12R＝6.67×10－11×5.98×10246.②萬(wàn)有引力近似等于星球表面的重力，由mg＝mv12R得v1＝gR＝9.8×6.4×106m/s＝特別提醒（1）第一宇宙速度公式v1＝GMR＝gR同樣適用于其他天體，其中g(shù)、R（2）意義：第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，是人造衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度，對(duì)應(yīng)的運(yùn)行周期是人造衛(wèi)星的最小周期，Tmin＝2πRg＝5075s≈85min2.第二宇宙速度（1）大?。簐2＝11.2km/s。（2）意義：在地面附近發(fā)射飛行器，使之能夠克服地球的引力，永遠(yuǎn)離開(kāi)地球所需的最小發(fā)射速度。特別提醒第二宇宙速度與第一宇宙速度的關(guān)系：v2＝2v1。3.第三宇宙速度（1）大小：v3＝16.7km/s。（2）意義：在地面附近發(fā)射飛行器，使之能夠掙脫太陽(yáng)引力的束縛，飛到太陽(yáng)系外的最小發(fā)射速度。4.發(fā)射速度與衛(wèi)星的軌道關(guān)系（1）當(dāng)7.9km/s≤v發(fā)＜11.2km/s時(shí)，衛(wèi)星繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)。（2）當(dāng)11.2km/s≤v發(fā)＜16.7km/s時(shí)，衛(wèi)星繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)，成為太陽(yáng)系的一顆“小行星”。（3）當(dāng)v發(fā)≥16.7km/s時(shí)，衛(wèi)星脫離太陽(yáng)的引力束縛跑到太陽(yáng)系以外的空間中去?！镜淅?】中國(guó)已在2020年發(fā)射火星探測(cè)器，已知火星的質(zhì)量約為地球的19，火星的半徑約為地球的12。下列關(guān)于火星探測(cè)器的說(shuō)法正確的是（A.發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可B.發(fā)射速度只有達(dá)到第三宇宙速度才可以C.發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度D.火星探測(cè)器環(huán)繞火星運(yùn)行的最大速度約為地球第一宇宙速度的2倍嘗試解答規(guī)律總結(jié)對(duì)最小發(fā)射速度和“最大環(huán)繞速度”的理解（1）最小發(fā)射速度：向高軌道發(fā)射衛(wèi)星比向低軌道發(fā)射衛(wèi)星困難，因?yàn)榘l(fā)射衛(wèi)星要克服地球?qū)λ囊?，近地軌道是人造衛(wèi)星的最低運(yùn)行軌道，而近地軌道的發(fā)射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度。（2）最大環(huán)繞速度：由GMmr2＝mv2r可得v＝GMr，軌道半徑越小，線速度越大。在所有環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星中，1.若已知地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，地球的第一宇宙速度為v1，則（）A.根據(jù)題給條件可以估算出地球的質(zhì)量B.據(jù)題給條件不能估算地球的平均密度C.第一宇宙速度v1是人造地球衛(wèi)星的最大發(fā)射速度，也是最小環(huán)繞速度D.在地球表面以速度2v1發(fā)射的衛(wèi)星將會(huì)脫離太陽(yáng)的束縛，飛到太陽(yáng)系之外2.物體脫離星球引力所需要的最小速度稱為第二宇宙速度，第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關(guān)系是v2＝2v1。已知某星球半徑是地球半徑R的3倍，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的16，不計(jì)其他星球的影響，則該星球的第二宇宙速度為（A.gR B.1C.12gR D要點(diǎn)回眸1.（多選）下列說(shuō)法正確的是（）A.海王星是人們依據(jù)萬(wàn)有引力定律計(jì)算出其運(yùn)行軌道而發(fā)現(xiàn)的B.天王星是人們依據(jù)萬(wàn)有引力定律計(jì)算出其運(yùn)行軌道而發(fā)現(xiàn)的C.天王星的運(yùn)行軌道偏離根據(jù)萬(wàn)有引力定律計(jì)算出來(lái)的軌道，其原因是天王星受到軌道外面其他行星的引力作用D.以上說(shuō)法都不對(duì)2.科學(xué)家對(duì)銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測(cè)，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示。科學(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動(dòng)軌跡是半長(zhǎng)軸為1000AU（太陽(yáng)到地球的距離為1AU）的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項(xiàng)研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M，可以推測(cè)出該黑洞質(zhì)量約為（）A.4×104M B.4×106MC.4×109M D.4×1010M3.若月球繞地球的運(yùn)動(dòng)可近似看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并且已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r、繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，引力常量為G，由此可以知道（）A.月球的質(zhì)量m＝πB.地球的質(zhì)量M＝4C.月球的平均密度ρ＝3D.地球的平均密度ρ'＝34.據(jù)報(bào)道，在太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，設(shè)其質(zhì)量為地球質(zhì)量的k倍，其半徑為地球半徑的p倍，由此可推知該行星表面的重力加速度與地球表面重力加速度之比為（）A.kpB.kp2C.k2p第2節(jié)萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)·準(zhǔn)落實(shí)】知識(shí)點(diǎn)一1.（1）重力gR2G（2）萬(wàn)有引力4π知識(shí)點(diǎn)二1.（1）拋出速度衛(wèi)星（2）萬(wàn)有引力2.（1）7.9km/s（2）11.2km/s（3）16.7km/s知識(shí)點(diǎn)三1.海王星2.萬(wàn)有引力定律情景思辨（1）√（2）√（3）×（4）×【核心要點(diǎn)·快突破】要點(diǎn)一知識(shí)精研【探究】提示：（1）若忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，在地球表面上物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力。（2）由mg＝GM地mR2得M地＝gR2G，ρ【典例1】（1）4π2R3GT123解析：設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量M。（1）衛(wèi)星貼近天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，有GMmR2＝m4則該天體的質(zhì)量M＝4π根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，天體的體積V＝43πR3故該天體的密度ρ＝MV＝4π2（2）衛(wèi)星距天體表面的高度為h時(shí)，有GM（R＋h）2＝m則該天體的質(zhì)量M＝4π故該天體的密度ρ＝MV＝4π2素養(yǎng)訓(xùn)練1.D由萬(wàn)有引力提供向心力得GMmr2＝mv2r，解得M＝v2rG，即已知核心艙的繞地線速度v和繞地半徑2.B由題意可知，嫦娥四號(hào)的線速度、角速度分別為v＝st，ω＝θt，又因?yàn)関＝ωr，所以軌道半徑為r＝vω＝sθ。嫦娥四號(hào)繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有GMmr2＝mv2r，得月球的質(zhì)量為M＝v2rG＝s3Gt2θ，又因?yàn)樵虑虻捏w積為V＝要點(diǎn)二知識(shí)精研【典例2】B在地球的兩極處有GMmR2＝mg0，在赤道處有GMmR2－mg＝m2πT2R，又地球質(zhì)量與地球半徑的關(guān)系M＝43πR3ρ，素養(yǎng)訓(xùn)練1.ACP、Q兩質(zhì)點(diǎn)所受地球引力都是F＝GMmR2，故A正確；P、Q都隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度一樣大，但P的軌道半徑大于Q的軌道半徑，根據(jù)向心力F向＝mω2r可知P的向心力大，故B錯(cuò)誤，C正確；物體的重力為萬(wàn)有引力的一個(gè)分力，在赤道處最小，隨著緯度的增加而增大，在兩極處最大，故2.B懸停時(shí)所受平臺(tái)的作用力等于萬(wàn)有引力，則F祝融F玉兔＝GM火m祝融R火2∶G要點(diǎn)三知識(shí)精研【探究】提示：（1）不同，根據(jù)GMmR2＝mv2R得v＝（2）不是。近地衛(wèi)星最“容易”發(fā)射，離地面越高的衛(wèi)星，越難發(fā)射?！镜淅?】C火星探測(cè)器前往火星，脫離地球引力的束縛，還在太陽(yáng)系內(nèi)，發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，故A、B錯(cuò)誤，C正確；火星探測(cè)器環(huán)繞火星運(yùn)行的最大速度為火星的第一宇宙速度，地球的第一宇宙速度v1＝GMR，火星的第一宇宙速度v2＝G×19M12R素