2024-2025學年八年級上學期期末數(shù)學復習

一、單選題

1.新年伊始，龍年來臨，懷著美好的心愿大家都開始用上了龍的圖騰與吉祥物，以下龍的

設計圖案是軸對稱圖形的是（）

A泰特侈D(zhuǎn)二

2.）點A（3,-2）關于y軸對?稱的點的坐標為（）

A.（-3,2）B.（-2,3）C.（2,3）D.（-3,-2）

3如圖，在VA8C中，AB=AC,ZA=100°,則N8的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.80°

4.如圖，在V48C中，AB=AC,A8的垂直平分線交AB于點。，交AC于點石，若NA=40。,

則N3KC=（）

A.60°B.70°C.80°D.30°

5如圖，點E在線段A3上，ZB=75°,則N8CE的度數(shù)為（）

D

A

A.30°B.35°C.40°D.45°

6如圖，在V4BC中，BO平分/ABC,CO平分/ACB,MN經(jīng)過點0,與AB,AC交于

點M,N,且MN〃BC.若A4=8,BC=7,AC=6,則乙4MN的周長為（）

7.如圖，VA3C為等邊三角形，從七=。24。,4石相交于點尺8仁1."＞于

Q,PQ=4,P￡=2,4。的長是（）

8如圖，々="=90%E是6C的中點，力石平分ZADC,連接AE.則下列結論：①點E

到直線AO的距離等于CE的長；②AE平分NB4O；③SAED=AEDE；④

=ADBE.正確的有（）個.

A.IB.2C.3D.4

9.如圖，NMON=40。，P為/MON內(nèi)一點、,A為。W上一點，B為ON上一點、,當二上44的

A.40°B.80°C.100°D.140°

10如圖，等邊V4BC中，。為4C中點，點P、。分別為4力上的點，BP=AQ=4,QD=3,

在BD上有一動點E,則PE+QE的最小值為()

A

B匕A-----------、C

A.7B.8C.10D.12

二、填空題

11.如圖，在VA6C中，AB=AC=8,6c=5,A8的垂直平分線交AC丁。，交A8丁E,

則△88的周長為_____.

A

/\F

D

C7?

12.如圖，O是直線AC上一點，ZAOB=30P,PO平分/AOC,PM〃BC交A0于點M,

MP=10cm,PO_LOC于點。，則P￡>=cm.

13.如圖，在VASC中，ZC=90°,ZB=30%以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交A3、AC

于點M和N,再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于P,連接AP并

延長交4c于點。，若CD=g，貝IJ8￡>=.

14.如圖，在VA8C中，ZB=ZC,。是8C的中點，DEJ.AB,DFJ.AC,E,尸是垂足,

現(xiàn)給出以下四個結論：①ADEF=/DFE；②巫：=,；③4）=2。尸；④AO垂直平分￡尸：

⑤NBDE=NCDF.其中正確的結論是.（填序號）

15.如圖，已知=AC.A。平分NR4CNOE8=NE8C=60。，若BE=5、DE=2,則

BC=______

D

BC

16.如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點A,8為圓心，大于萬力呂的長為半

徑作弧，兩弧相交于M,N兩點；②作直線用N交3C于點。，連接40.若4）=AC,

ZB=28°,則/C的度數(shù)為.

17.要用一張長方形紙折成一個紙袋，兩條折痕的夾角為70。（即NPOQ=70。），將折過來

的重疊部分抹上膠水，即可做成一個紙袋，則粘膠水部分所構成的角，

分別以&。為圓心，以大于（BC的長為半徑作弧，兩弧

2

相交于兩點M，M作直線"N交A3于點。，連接CO.若CO=4C,NA=56。，則ZAC3的

度數(shù)為.

19.如圖，在等邊VA8C中，E是AC邊的中點，40是8c邊上的中線，P是力。上的動點,

BD

20.如圖，等腰三角形A3C的底邊3C長為6,面積是30,腰AC的垂直平分線EF分別交AC,

AA于，F(xiàn)點,若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點,則VC/M7的周長的最

小值為.

三、解答題

21.如圖，在8x8網(wǎng)格紙中，每個小正方形的邊長都為I.

(1)請在網(wǎng)格紙中建立平面直角坐標系，使點8、C坐標分別為8(-2,0),C(-l,2)；

⑵畫出VA4c關于V軸的對稱圖形△ASG,3紇長為.

22.如圖，NBAO=NC4E=90。，AB=AD,AE=AC,AF1CF,垂足為立

⑴求證：AA6C妾△AOE；

⑵若AC=8,求四邊形力88的面積；

⑶求NME的度數(shù).

23.如圖，在VA3C中，/84C>90。，A8的垂直平分線分別交A8,BC于點E,尸，AC

的垂直平分線分別交AC，8C于點M,N,直線EF,MN交于點、P.

A

E

'M

⑴求證：點尸在線段8c的垂直平分線上；

(2)已知NEW=56。，求NFPN的度數(shù).

24如圖，在四邊形ABC。中，8。所在的直線垂直平分線段AC,過點A作8c交CO

于產(chǎn)，延長4B、DC交于點、E.

(I)求證：4c平分/E4產(chǎn)；

⑵求證：ZMZ)=ZE；

(3)若NE4D=90。，AE=5,ZVIEC的面積為與，求CF的長.

4

25.如圖1,A(-l,()),B(0,2),以8點為直角頂點在第二象限作等腰直角VA4c.

⑴求。點的坐標；

(2)在)，軸右側的平面內(nèi)是否存在一點P,使與VN8C全等？若存在，求出P點坐標,

若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,點E為)，軸正半軸上一動點，以E為直角頂點作等腰直角AAEW,過M作MNA.X

軸于M求出OE-MV的值.

26.如圖，點C為線段4B上任意一點(不與點A、8重合)，分別以AC8C為一腰在人8

的同側作等腰二角形ACO和等腰二角形CA=CD,CB=CE,乙4C'。與N6CE都是

銳角，且4CZ)=N8C￡,連接AE交C。于點M,連接BD交CE于點N,AE與8￡)相交于

點P，連接PC.求證：

⑴VAC匡VDC4；

(2)ZAPC=NBPC.

27.已知在VABC中，/ACB的平分線C力交48于點Z),DE//BC.

圖2

(I)如圖1,求證：C。石是等腰三角形;

(2)如圖2,若。石平分/八0c交AC于E,ZABC=30°,在8c邊上取點/使B尸=?！?，

若BC=12,求Z)下的長.

28.在VA8C中，AB=AC,。為8C的中點，E、尸分別為A3、AC上的點.

圖1圖2

⑴如圖1,DEJ.AB于E,D”上AC于耳，求證:

(2)如圖2,ZA￡D+Z4FD=180°,請判斷OE和。尸有什么數(shù)量關系？并說明理由;

DP

⑶如圖3,點尸與點A重合，點、P為CD上的一點,且ZAPE=NC,BA=BP,求r的值.

AE

29.如圖I,直線4B分別與x軸、V軸交于4、B兩點，0c平分交力8于點C,點。

為線段48上一點，過點。作。石〃0C交)'軸于點E,已知40=〃?，B0=n,且〃?、〃滿足

n2—12/2+36+\/m-3=0

必

圖1圖2

（I）求A、B兩點的坐標；

（2）若點。為A8中點，延長0E交/軸于點尸，在EO的延長線上取點G,使DG=DF,連接

BG.

①4G與y軸的位置關系怎樣？說明理由；

②求0尸的長；

⑶如圖2,若點尸的坐標為（10,10）,七是y軸的正半軸上一動點，”是直線48上一點，且

點P的坐標為（6,-6）,是否存在點E使△￡/于為等腰直角三角形？若存在，求出點石的坐標:

若不存在，說明理由.

30.（1）動手操作：如圖①，將矩形紙片ABC。折疊，使點。與點8重合，點C落在點C'

處，折痕為以*若NABE=20。，那么NOE/度數(shù)為；

（2）觀察發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片A8C（A8〉AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在48

邊上，折痕為A。，展開紙片（如圖②）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點。重合，折

痕為EF,展平紙片后得到△AEF（如圖③）.小明認為44所是等腰三角形，你同意嗎？

請說明理由：

（3）實踐運用：將矩形紙片A8CO按如卜步驟操作：將紙片對折得折痕打，折痕與AD邊

交于點E,與8C邊交于點八將矩形A8正與矩形EFC。分別沿折痕MN和PQ折疊，使點

A、點。都與點尸重合，展開紙片，此時恰好有MP=MN=PQ（如圖④），求NA/Nb的大

小.

圖①圖②圖③圖④

參考答案：

1.D

【分析】本題考查軸對稱圖形的識別，注意掌握軸對稱圖形的判斷方法：把某個圖形沿某條

直線折疊，如果圖形的兩部分能夠重合，那么這個圖形是軸對稱圖形.

【詳解】解：A,B,C,D四個選項中，只布D選項能夠找到一條直線，使圖形沿這條直

線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，是軸對稱圖形；

故選D.

2.D

【分析】此題主要考查了關于)，軸對稱點的性質(zhì)，根據(jù)關于)，軸的對稱點的坐標特點：橫坐

標互為相反數(shù)，縱坐標不變，即點P(x,y)關于y軸的對稱點P的坐標是(-x,y),進而得出

答案.

【詳解】解：點A(3,-2)關于)，軸對稱的點的坐標為(-3,-2).

故選：D.

3.A

【分析】本題主要考查等接三角形的性質(zhì)，利用等邊對等角以及三角形內(nèi)角和計算即可.

【詳解】解：???AA=AC

/.NB=NC

vZA+ZB+ZC=180°,ZA=IOO°

/.ZB=ZC=^(180°-10()°)=40°

故選：A.

4.C

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)；由線段

垂直平分線的性質(zhì)得AE=8E,由等腰三角形的性質(zhì)得乙48E=NA=40。，由三角形外角的

性質(zhì)N4EC=NA+NA4E,即可求解；掌握性質(zhì)是解題的關鍵.

【詳解】解：TAB的垂直平分線交A8于點。，

AE=BE，

/.ZABE=ZA=40°,

乙BEC=4+乙隹E

=40。+4()。

=80°：

故選：C.

5.A

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到C8=CE,利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和

定理求解即可.

【詳解】解：*.*AABC^DEC,

：.CE=CB,

，NCEB=NB=75。,

/.Z.BCE=180°-2x75°=30°,

故選：A.

【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握基

本知識，屬于中考?？碱}型.

6.B

【分析】由平分NA8C可知/M8O=NC8O,再由MN〃BC可得/MOB=NCBO,則

,OB=/MBO,則OM=M8,同理可得ON=NC,則，AMN的周長為

AM+OM+ON+AN=AB+AC.

【詳解】解：80平分/ABC,CO平分NAC8,

???NMB0=NC80,ZNCO=/BCO,

丁MN〃BC,

/./MOB=NCBO,NBCO=/CON,

ANMOB=NMBO,4CON=/CNO,

：.0M=MB,ON=NC,

的周長為

AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=\4,

故選：B.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，由角平分

線和平行線分別得到兩個等腰三角形，再將.4WV的周長轉(zhuǎn)化為蝕十八。是解題的關鍵.

7.D

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出A6=6C=AC,ZABC=ZC=ZfiAC=6(r,根據(jù)全

等三角形的判定得出，ABE^CAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AD=8E,ZCAD=ZABE,

求出NAPQ=N84C=60。，求出NP8Q=30。，根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出BP,

即可求出答案.

【詳解】解：八4C是等邊三角形，

..AB=BC=AC,ZABC=ZC=ZBAC=60°,

在.A班:和C4"中

AB=AC

,NBAE=ZC=60°

AE=CD

/.AAfiE^AC4D(SAS),

:.AD=BE,ZCAD=ZABEf

QZBAC=60°,

NBPQ=AABE+/BAD=ZCAD+/BAD=ABAC=60°,

-.-BQLAD,

：.NBQP=900,

???在RlZXBQP中，ZBQP=90°,尸。=4,/9。=180。-90?！?00=30。，

.?.BP=2PQ=2x4=8,

PE=2,

AD=BE=BP+PE=8+2=1。,

故選D.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的外

角性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵.

8.C

【分析】先證明4A〃C。，作防工AO垂足為點八得出N。莊二NC,即可判定①正確；

證明二。七產(chǎn)金二。CE,再證明二A尸石且二相石，即可判定②正確；根據(jù)5人m=3月"。后，判

定③錯誤：根據(jù)S梯形八品。=2(Sa)F+SAEF)=2S回，得'1'|

S梯形杈?“=2S4初=2xgASBE=ADBE，判定④正確?

【詳解】解：???々=/。=90%

/.ZB+ZC=180°,

/.AI3//CD；

如圖，

作樣J：A。垂足為點F,

AZDFE=90°,

:?/DFE=/C,

???DE平分/ADC,點E到AO的距離等于CE的長，①正確:

J4FDE=NCDE,

又?：DE=DE,

，DEFq.DEC,

:?CE=EF,DC=DF,』CED=&ED,

OE是BC的中點,

:?CE=BE=EF,

又???N8=NC=N￡)莊=ZA莊=90。，AE=AE,

，_A/E處A阻"L)；

AAF=/\B,NFAE=/BAE，ZAEF=ZAEB,

，AE平分/BAZ),②正確；

'：NCED=NFED,ZAEF=ZAEB,

AzM￡D=90°,

SAED=^AEDE,③錯誤；

梯形

,:SA&D=2(SEDF+S.X￡F)=2SAFD,

SAFn=2-AD-EF=-2AD-BE,

工S梯形g=2S八即=2X；ADQBE=ADBE,④正確；

正確的個數(shù)為3,

故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識點,

關鍵是掌握全等三角形全等的判定定理.

9.C

【分析】如圖，作〃點關于OM、CW的對稱點心4，，叼與OM交點為C,?！ㄅcQN交點

為D,連接交OM、ON于4、8兩點，則NEPA=NR,ZP2PB=ZP2,由題意知，當

R,A,B,鳥四點共線時，△尸的周長最小，由PR_LOM,PPJON,可知

ZPCO=ZPDO=90°,/時匕=360°-Z.PCO-Z.PDO-ZMON=140°,則

ZP^PA+=NR+/巴=180°-NR產(chǎn)鳥=40。，根據(jù)乙APB=NFJP^一(N[P4+N鳥PB),

計算求解即可.

【詳解】解：如圖，作P點關于OM、ON的對稱點心鳥，PR與OM交點為C,PPgON

交點為￡>,連接片鳥交OM、ON于A、。兩點，貝11/々。八=/々，NP?PB=NP>

由題意知，當小&B,6四點共線時，APAA的周長最小,

VPRLOM,PP21ON,

???ZPCO=ZPZX>=90°,

/.NRPR=360°-NPCO-Z.PDO-NMON=140°.

.?.N[PA++N鳥=180°一/q=40°,

???/APB=NR*-(NyPA+N與PB)=1(X)°,

故選：C.

【點睛】本題考查了軸對禰的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，兩點之間線段最斷.解題的關鍵

在于明確2$的周長最小的情況.

10.c

【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對稱最短問題等知識.作點。關于的對

稱點Q'，連接PQ'交8。于E,連接QE,此時莊+EQ的值最小.最小值

PE+QE=PE+EQ'=PQ.

【詳解】解：如圖，1VA8C是等邊三角形,

:.BA=BC,ZA=60°

???￡＞為AC中點,

，BD1AC,

作點。關于B。的對稱點。'，連接PQ'交8。于E,連接。七，此時莊+石。的值最小.最小

值P￡+QE=P￡+￡Q'=尸Q',

???8P=AQ=4,QD=3,

AD=DC=AQ+QD=7,QD=DQ=3

：.CQ'=CD-DQ'=4=BP,

JAP=AQ=1(),

*/Z4=60°,

???△APQ'是等邊三角形，

/.PQ=PA=\0f

.?.莊+QE的最小值為10.

故選：C.

11.13

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解答此題的關鍵是求出血的周長

=BC+AC.先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出4)=30,然后根據(jù)三角形的周長公式求解

即可.

【詳解】解：???OE是A8的垂直平分線，

/.BD=AD,

/.CD=AC-AD=AC-BD,

"BDC的周長=8C+8￡>+AC-6。=3C+AC,

VAB=AC=S,BC=5,,

???L3QC的周長=5+8=13.

故答案為：13.

12.5

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，含30。角直角三角形的特征,

過點M作MNJ.AC于點N,根據(jù)門”〃BC,得出NMPO=NPOD,進而得出

4Mop=/MPO,則尸M=QM=5cm,再根據(jù)含30。角直角三角形的特征以及平行線間的

距離處處相等，即可解答.

【詳解】解：過點M作MNJ.8C于點N,

,/PM〃BC、

:.NMP()=NPOD,

??,”平分/AOC,

???/MOP=/POD,

，/MOP=/MPO,

/.PM=OM=\0cm,

?/408-30°,MN_LBC,

：,MN=-0M=5cm,

2

■:MNIBC,PD1BC,PM//BC,

???PD=MN=5cm.

13.2&

【分析】本題考查基本作圖一作角平分線，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和

性質(zhì)，根據(jù)題意，得到AD平分N84C,進而得到NC4O=NQAB=30。，利用含30度角

的直角三角形的性質(zhì)以及等角對等邊得到80=AD=2CD,即可.

【詳解】解：???NC=900NB=30。,

???/班C=60。，

由題意，得：AO平分/8AC,

/.ZCAD=NDAB=30°=4B,

?\AD=BD,

在RtAACD中，ZC=90°,ZCAD=30°,

??BD=AD=2CD=2五;

故答案為：2血.

14.①②④⑤

【分析】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及角平分線性質(zhì)的綜合

運用.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)對各個選項進行

分析判斷即可.掌樨角平分線和等腰三角形的性質(zhì)是解駛的關犍.

【詳解】解：???N5=NC,

/.AH=AC,

?.?。是4c的中點,

，4。平分N84C,

,：DEJ.AB，DF1AC,

，DE=DF,

:,NDEF=NDFE,故①上確；

VDEJ.AB,DFJ.AC

/.ZDEA=ZDE4=90o,

,:DE=DF,AD=AD,

A.ADE^^ADF（HL）

AAE=AF,故②正確，

無法證明NC4￡>=30。,因此不能推出AD=2DF,

故③錯誤，

VED=FD,AE=AF,

???點A、。在EF的垂直平分線上，

AD垂直平分EF,故④正確,

VDEJ.AB,DF1AC,

：?4DEB=/DFC=90。,

又,：NB=/C,且/B+NDEB+NEDB=180。,ZC+ZDFC+ZFDC=180°,

/.ZBDE=180°-Z.B-ZDEB,NFDC=18()0-NC-NDFC,

；?NBDE=/CDF,故⑤正確.

故答案為：①②④⑤.

15.7

【分析】如圖，延長E。交8C于M,延長4。交于N,結合題意根據(jù)等腰三角形“三線

合一”的性質(zhì)，可得ANJLBC,BN=CN,易證△8EM為等邊三角形,結合已知求出0M=3,

在.DNM中運用30。角所對的直角邊等于斜邊的一半解三角形可求解.

【詳解】解：延長瓦)交BC于M,延長4。交BC于N,如圖，

?JAH=AC,4。平分NBAC,

Z.ANLBC,BN=CN,

*//EBC=NDEB=W,

???ABEM為等邊三角形,

：.BM=EM=BE=5,NEMB=3。,

?:DE=2,/.DM=3,

*/AN1BC,

J/DNM=90。,

??./NDM=30。,

13

：.NM=-DM=~,

22

37

/.BN=BM-MN=5--=-,

22

/.BC=2BN=1,

故答案為：7.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)；解含30。角的直角三角

形；解題的關鍵是靈活運用相關性質(zhì)進行計算.

16.56?/56度

【分析】由作圖法可得MN是力B的垂直平分線；利用等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，可得

NB=/DAB=28。,進而求得NADC,即可解答；

【點睛】解：根據(jù)作圖方法可知：是線段48的垂直平分線，

:.DB=DA,

:.^B=^DAB=2S0,

z.ZADC=NB+ZDAB=56°,

又

:.ZC=^ADC=56°,

故答案為：56°.

【詳解】此題考查了垂直平分線的作法和性質(zhì)，等邊對等角，三角形的外角的性質(zhì)，掌握等

腰三角形的性質(zhì)是解題關誕.

17.40

【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，掌握折痕是角平分線，是解題的關鍵，根據(jù)折疊的性質(zhì)以及

角度之間的和差關系，進行求解即可.

【詳解】解：由折直的性質(zhì)可得ZA'OP=NAOP=45O,N&OQ=N3OQ,

NPOQ=NPQ/T+^A'OQ,4POQ=70°,

2LA!OQ=ZPOQ-乙POX=70°-45°=25°,

/尸QO=90°—ZA'OQ,

NPQO=90°-25°=65°,

*/DC//AB,

Z.NQOB=/PQO=65。,

NB'OQ=NBOQ=65。,

ZA'OB'=Z.B'OQ-NA'OQ=65°-25°=40°.

故答案為：40.

18.96。/96度

【分析】首先根據(jù)等腰二角形的性質(zhì)和二角形內(nèi)角和定理可得ZACO=68。，根據(jù)作圖過程可

得MN是8C的垂直平分線，可得衣=加8,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問題.

【詳解】解：???6=4C,

???ZCm=ZA=56°,

/.ZACD=180°-2x56°=68°,

根據(jù)作圖過程可知：mN是BC的垂直平分線，

/.DC=DB,

???4DCB=4DBC=-ZCDA=28°,

2

，ZACB=ZACD+ZDCB=68°+28°=96°.

故答案為：96。.

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解決本

題的關鍵是掌握基本作圖方法.

19.5

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，兩點之間線段最短，連接

BP,由等邊三角形的性質(zhì)可得AO/3C,AC=BC,進而得到力。為8c的垂直平分線，即

得3P=CP,得至“EP+CP=EP+BP,可知當點&P、E三點共線時，EP+CP的值最小，

最小值即為線段跖的長，乂由等邊三角形的性質(zhì)可得的AC,由三角形的面積可得

BE=AD=5,即可求解，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.

【詳解】解：連接研，

??,VA6C為等邊三角形，.40是6。邊.上的中線，

:.AD上BC,AC=BCt

???/I。為8C的垂直平分線，

/.BP=CP,

???EP+CP=EP+BP,

???當點8、P、E三點共線時，EP+CP的值最小，最小值即為線段晅的長,

???點石為AC的中點,

JBELAC,

?；sABC=‘ACBE=LBCAD,AC=BC,

MOL22

BE=AD=5,

???EP+CP最小值為5,

故答案為：5.

20.13

【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，

解決本題的關鍵是利用線段垂直平分線的性質(zhì).根據(jù)對稱性和等腰三角形的性質(zhì)，連接A。

交EF于點、M,此時VC0M周長最小，進而可求解.

【詳解】解：如圖：

C

連接4。交EF于點M,

,/等腰VA8C的底邊8c長為6,點。為8C邊的中點，

AD工BC,BD=CD=3,

丁七尸是腰AC的垂直平分線，連接CM,

：.AM=CM,

此時VCOM的周長為：CM+DM+CD=AM+DW+CD=.\D+CD,

???8的長為3固定,

，根據(jù)兩點之間線段最短，7CDM的周長最小.

,SABC=58C.A，

：.—x6AD=30,

2

/.AD=\O,

，AD+CD=1O+3=13.

故答案為：13.

21.⑴見解析

（2）見解析，4

【分析】此題主要考查了作圖?軸對稱變換；

（1）首先根據(jù)C點坐標可確定原點位置，然后再畫出坐標系；

（2）首先確定A、B、C三點關于y軸對稱的對稱點位置，再連接，最后寫出8用的長即

可：

【詳解】（1）解：如圖所示：建立坐標系如下：

明=4,

22.（1）證明過程見詳解

(2)四邊形/歷C。的面積為32

(3)/用￡的度數(shù)為135。

【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形

的判定和性質(zhì)是解題的關誕.

(1)根據(jù)同角的余角相等可得ZR4C=NZM￡,再根據(jù)“邊角邊”的判定方法即可求證；

(2)由(I)可得sABC=SAOE，則S四邊取88=S*+SR”=S*,結合題意可得A4CE

是等腰直角三角形，由此即可求解：

(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NACE=4EC=45。，由全等的性質(zhì)可得

ZACB=ZAED=45°,根據(jù)AFJLC/7,可得NC4產(chǎn)=45。，結合/"尸=/。4"+NC4E即可

求解.

【詳解】(1)證明：???/BAO=NC4￡=90。，HPZBAC^-ZCAD=ZCAD+ZDAE=90°,

ZBAC=ZDAE,RAB=AD,AC=AE,

A.AB8」ADE(SAS)；

(2)解：四邊彩ABCD=S&ABC+S4ACD?1LABC^AADE，

則S.A6C=S.ADE，

S西邊形A8C7)=SAADK+S=S/\ACE?

VAC=AE=S,ZCAE=90°,

SZuA/iCFn=-2AC*AE=—2X8X8=32,

J四邊形ABCD的面積為32；

(3)解：已知AC=AE=8,ZC4E=90°,

???ZACE=ZA￡C=45°,

?：t,ABg、ADE,

?IZACB=Z4ED=45°,

VAFA.CF,即NA"C=90。，

/.ZC4F=45°,

AZEAF=ZCAF+ZCAE=450+90°=135°,

???NE4E的度數(shù)為135。.

23.(I)證明見解析;

⑵NFPN=62。.

【分析】（1）連接研，AP,PC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明PB=PA=PC,從而證

明結論即可：

（2）先根據(jù)相等垂直平分線的性質(zhì)證明￡4=m，NA=NC,

ZAEP=ZAMP=ZBEF=ZCMN=9（）°,再設N8=x,ZC=y,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定

理，求出x+y，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出N8正和NCN何，再根據(jù)對頂角的性質(zhì)求出

NPFN,/PNF，最后利用三角形內(nèi)角和定理求出答案即可.

本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性性質(zhì)，對頂

角相等，解題關鍵是熟練掌握知識點的應用.

【詳解】（1）證明：如圖所示，連接AP,AP,PC,

;尸￡垂直平分48,PM垂直平分AC,

:?PA=PB,PA=PCf

/.PB=PC,

???點尸在線段/3C的垂直平分線上；

(2)解：:PE垂直平分A/L垂直平分AC,

；?FA=FB,NA=NC,ZAEP=ZAMP=Z.BEF=ZCA//V=90°,

???/LB+ZBFE=ZC+ZMNC=90°,

設NB=x,NC=y,

:?/B=NBAF=x,NC=NCAN=y,ZBFE=90°-x,Z/W7VC=90°-y,

/.ZPFN=ZBFE=90°-x,NPNF=NMNC=90。-y,

VZB+ZC+ZG4B=18O°,N檸W=56。，

A2x+2y+56°=180°,即x+y=62。，

???乙PFN+ZPNF+/FPN=T80。,

：.90°-x+90°-y+ZFP^=180°,

???NFPN=180°-180°+(A+y)=62°.

24.⑴見解析

(2)見解析

(3)|

【分析】(I)根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得到BA=AC,進而得到/B4C=/8C4,根據(jù)

BC//AF,得到NC4F=NBC4,即可得到NCAF=/R4C,問題得證；

(2)根據(jù)線段垂直平分線段性質(zhì)得到44=”,進而得到/D4C=NDC4,即可得到

NE+ZEAC=ZFAD+ZCAF,根據(jù)ZC4F=ZEAC即可證明ZFAD=ZE：

(3)先證明CF_LA尸，過點C作CMJ.AE,垂足為M,根據(jù)△4EC的面積為?求出

4

33

CM=-,根據(jù)AC平分/E4尸，CMLAE,CF±AF,即可求出C尸=二.

22

【詳解】(1)證明：???8。所在的直線垂直平分線段4C,

JBA=BC,

???/8AC=N8C4,

*/BC//AF,

???ZCAF=ZBCA,

，ZCAF=ZBAC,

即AC平分一￡4/；

(2)證明：?.?8D所在的直線垂直平分線段4C,

/.DA=DC,

/.NDAC=NDCA,

???NQC4是zMCE的一個外角，

：.ZDCA=ZE+ZEAC,

???ZE+ZEAC=NFAD+ZC4F,

*/ZG4F=ZE4C,

；?NFAD=ZE；

(3)解：VZEAD=90°.

???ZE+ZADE=90°,

又：FAD=/E,

/.ZFAD+ZADE=90°,

/.NAH)=9(r,

：.CF±AF.

過點C作。W_LAE,垂足為M,

△AEC的面積為:，

4

：.-AECM=—

24y

又???AE=5,

3

Z.CM=-,

2

〈AC平分一￡4/，CMLAE,CFA.AF,

3

CF=CM=-.

2

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直

角三角形兩銳角互余，角平分線的性質(zhì)等知識，熟知相關知識并根據(jù)圖形特點靈活應用是解

題關鍵.

25.(l)C(-2,3)

(2)存在，p的坐標是(1,-1)或(2,1)

(3)1

【分析】(1)作軸于E,證.CEBgqBQA,推出CE=O8=2,BE=AO=\,即可得

出答案；

(2)分為兩種情況，畫出符合條件的圖形，構造直角三角形，證三角形全等，即可得出答案：

(3)作軸于凡證aEFM會八40七，求出E尸，即可得出答案.

【詳解】(1)解：作CEly軸于E,如圖1,

圖1

vA(-l,O),5(0,2),

OA=\,04=2,

vZCBA=90°,

."CEB=ZAOB=NCBA=90°,

4ECB+/EBC=90°,NCBE+ZABO=90°,

；.NECB=ZABO,

在和840中，

NECB=/ABO

</CEB=ZAOB,

BC=AB

比BAO,

:.CE=BO=2,BE=AO=\,

即OE=l+2=3,

/.C(-2,3).

(2)存在一點P,使&248與VA8C全等，

分為2種情況：

①如圖4,過C作CMJL4軸于M,過夕作PEJLx軸于E,

圖4

則NGVM=NPE4=90°,

CBA—PBA,

ZE4B=ZC4B=45°,AC=AP,

.".ZC4P=90°,

.?./MC4+/C4A/=90。，NC4M+NRE=90°,

：.ZMCA=ZPAE,

在，CM”和/XAEP中，

ZMCA=ZPAE

<NCMA=NPEA,

AC=AP

：..CMA^AEP,

：.PE=AM.CM=AE,

vC(-2,3),A(-1,O),

.\PE=2-1=1,OE=AE-AO=3-]=2,

即尸的坐標是(2,1)；

②如圖5,過戶作PEJ_x軸于后

zCftA且PAB,

：.AI3=AP,ZCBA=^BAP=9(r,

則NAE/=/AO6=9()c,

/BAO+/PAE=90。,/.PAE+ZAPE=90°,

:"BAO=ZAPE,

在V408和二的中，

NBAO=NAPE

<ZAOB=NPEA,

AB=AP

/.■AOB^PEA，

..PE=AO=\,AE=OB=2,

:.OE=AE-AO=2-\=\,

即。的坐標是(1,—1),

綜合上述：符合條件的P的坐標是或(2,1).

(3)如圖6,作軸于F,

圖6

則ZAEM=/EFM=ZAOE=90°,

ZAEO+AMEF=90°,AMEF+ZEMF=900,

ZAEO=ZEMF,

在ZXAOE和VE療中

ZOE=NEFM

、NAEO=NEMF,

AE=EM

.\,AEO^.E/WF(AAS),

：.EF=AO=\,MF=OE,

?.?加2_11軸，用/?，)'軸.

:,ZMFO=NFON=4MNO=90。,

..?四邊形/OMW是長方形，

:.MN=OF，

:,OE-MN=OE-OF=EF=OA=\.

【點睛】本題考查了坐標與圖形，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角

形性質(zhì)的應用，主要考杳學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力，以及數(shù)形結合和分類討論的思

想.

26.（1）證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）由已知可得NACE=NDC8,即可證明V47E/VOC8；

（2）rtl（1）證得的VACEgVOCB可知AE=8O,根據(jù)全等三角形的面積相等，從而證得

4E和8。邊上的高相等，即C，=CG,最后根據(jù)角的平分線定理的逆定理即可證得

ZAPC=ZBPC.

【詳解】（1）證明：???4CO=N8CE,

:.ZACD+ZDCE=NDCE+/BCE，

ZACE=/DCB,

在/XACE和△OCA中

CA=CD

<ZACE=ZDCB,

CE=CB

AC-DCB；

（2）證明：如圖，分別過點C作C”_LAE于”，CGJ.BD于G,

,：二ACE^cDCB，

A

\AE=BD,SACE=SE

和8。邊上的高相等，即C〃=CG,

.-.Z4PC=ZBPC.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角的平分線定理及其逆

定理，本題的關鍵是借助三角形的面積相等求得對應高相等.

27.（1）見解析

(2)4

【分析】本題考查角平分線、平行線的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關系，掌握角平分線的定

義，平行線的性質(zhì)是解決問題的關鍵.

（1）根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及等腰三隹形的判定進行推論即可:

（2）利用角平分線的定義、平行線性質(zhì)，以及直角二隹形的邊角關系進行計律即可.

【詳解】（1）證明：:C7）是—AC8的平分線，

ZBCD=ZACD,

DE//BC,

:"BCD=/EDC,

ZEDC=ZACD,

ED=EC；

即是等腰三角形；

（2）解：VDE//BC,ZABC=30°,

：.ZADE=ZABC=3（T,

又DE平分/ADC,

:.ZAL）E=ZCDE=3（r>,

由（1）可知，ZACD=ZBCD=ZCDE=30°,

BF=DF,

;./B=/BDF=3OO,

.-.ZDFC=30°+3（r=60p,

在，?；谻中，ZFDC=90°,ZFCD=30°,

:.DF=-FC,

2

又DF=BF,BC=12,

.-.DF=-BC=-x[2=4.

33

28.⑴見解析

Q）DE=DF,理由見解析

嗎

【分析】（1）連接A。，由A6=AC,。為6。的中點，得AD平分Z6AC,再由

于E，O/IAC于/得。石二。尸：

（2）過。點作DG_LABO〃_LAC,根據(jù)同角的補角相等得到N8瓦）=NA￡D，由A3=AC,

。為3c的中點，得40平分/ZMC,再由力J.AC得，DG=DH,從而得到

DGE9DHF（耶S）,即可得證；

（3）連接40,過戶點作通過證明aAOg△PMMAAS）,得至IJ/Uf=OP,再通

過邊和角的轉(zhuǎn)換即可得到答案.

【詳解】(I)證明：如圖，連接AO,

.?7A9C是等腰三角形，

。為的中點，

「.AO平分N8AC,

?:DE工AB,DFYAC,

:.DE=DF;

(2)解：DE=DF,理由如下：

如圖，過。點作￡)G_LA8DH±AC,

???ABED=ZAFD,

AB=AC,

.二A9C是等腰三角形，

。為BC的中點，

.?.AZ）平分N84C,

VDG±AB,DHJ.AC,

DG=DH,

在△QGE和△OH/中，

NGED=Z.HFD

<NDGE=4DHF,

DG=DH

-■..DGE^DHF（M\S）,

???DE=DF；

(3)解：如圖，連接A。，過P點作/

???ZBAP=ZAPD,

VADLBC,PMA.AB,

A