2024-2025學(xué)年上學(xué)期深圳高二數(shù)學(xué)期末

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（2023秋?昌平區(qū)校級期中）直線%+、一百=0的傾斜角為（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

2.（5分）（2023秋?東臺市期末）在等比數(shù)列僅〃｝中，若7aMi1=36,則。2。14=)

A.6B.9C.16D.19

3.(5分)設(shè)Z=(3,—2,k),b=(2,1,4),若Z11,則仁()

A.2B.IC.-1D.3

4.（5分）給出定義：設(shè)/（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f（x）是函數(shù)/'（A）的導(dǎo)函數(shù)，若方程

f（x）=0有實數(shù)解刈，則稱點（即，f（.vo））為函數(shù)1y=/（x）的“拐點”.已知函數(shù)/（x）=4.v+3siiu-

-4cosx的拐點是M（xo,f（JO））,則點M（）

A.在直線y=-3x上B.在直線y=3x上

C.在直線y=-4x上D.在直線y=4x上

5.（5分）點〃是以尸為焦點的拋物線）?=2px（p>0）上任意一點，。為原點，A是線段P戶上的點，且

\PA\=3\AF],則直線CM的斜率的最小值為（）

A.-V3B.一孚C.-D.-V2

6.（5分）（2021秋?天津期中）已知點。在圓（x-5）2+Cy-5）2=16J1,點八（0,4）,B（2,0）,則

（）

A.點P到直線4B的距離小于8

B.點。到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)NP84最小時，|PB|二2代

D.當(dāng)NP84最大時，\PB\=3>/2

7.（5分）（2024春?湖北月考）記等差數(shù)列｛麗｝的前〃項和為S,若05+09=08+5,mi=7,則S：6=（）

A.64B.80C.96D.120

42y2

8.（5分）（2023秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）已知Q,故是橢圓C：-+^--=\的左、右焦點，O為坐標(biāo)

a2a2-16

原點，M是橢圓。上的點（不在坐標(biāo)軸上），/為"放的平分線交。尺于M且ON=2,則橢圓。的

離心率的取值范圍是（）

1111

A.(0,分B.G，1)C.(0,分D.0，1)

二,多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

x2

（多選）9.（5分）（2022?湖南二模）已知雙曲線氏—-/=1（Q>0）的左、右焦點分別為乃（-c,0）,

F2（c,0）,過點尸2作直線與雙曲線E的右支相交于P,Q兩點，在點P處作雙曲線E的切線，與E

的兩條漸近線分別交于A,3兩點，則（）

A.若|P尸i|?|P尸2|=2,則P%P不2=0

B*'sin乙Pg=sin-PF2A則雙曲線的離心率（1,y/2+1]

C.△產(chǎn)1PQ周長的最小值為8

D./XAOB（O為坐標(biāo)原點）的面積為定值

（多選）10.（5分）（2023秋?鹽田區(qū)校級期末）已知S”為等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項和,若S2023V0,52024

>0,則（）

A.使曲>0的〃的最小值為2024

B.⑷0121Vl41013|

C.當(dāng)S取最小值時，〃=1012

D.片｝為單調(diào)遞減的數(shù)列

（多選）11.（5分）（2023秋?仁壽縣校級期末）如圖，棱長為2的正方體中，P為線

段BiA上動點（包括端點）.則以下結(jié)論正確的為（）

4

A.三棱錐P-48。體積為定值&

B.異面直線Ai。，加Qi成角為45°

C.直線44與面43。所成角的正弦值三

D.存在點。使得CP〃面48。

（多選）12.（5分）（2024?南寧模擬）已知拋物線C『=4式的焦點為尸，過尸作兩條互相垂直的直線”、

b,h與C交于P、。兩點，/2與。交于A/、N兩點，PQ的中點為G,MN的中點為從則（）

A.當(dāng)|PQ=2|Q/q時，|MN|=36

B.|PQ|+|MN|的最小值為18

C.直線GH過定點（4,0）

D.△尸G”的面積的最小值為4

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（2023秋?浙江期中）已知雙曲線的兩條漸近線方程為x±V5y=0,并且經(jīng)過點4：在，1）,則

該雙曲線的標(biāo)準方程是.

14,（5分）（2022秋?內(nèi)江期末）己知￡是正方體ABCQ-AWCiQi的棱QG的中點，過A、C、E三點、

作平面a與平面相交,交線為/,則直線/與BCi所成角的余弦值為.

15.（5分）一個小球自12米高的地方自由落下，觸地面后的回彈高度是下落高度的;?假設(shè)這個小球能無

4

限次反彈，則這個小球在這次運動中所經(jīng)過的總路程為米.

16.（5分）（2023?東陽市校級開學(xué)）如圖，已知兩矩形48C。與4OEF所在平面互相垂直，A8=l時，若

將△OEF沿著直線FD翻折，使得點E落在邊BC上（即點戶），則當(dāng)AD取最小值時，邊AF的長

是_______________.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）（2023秋?紹興期末）己知函數(shù)/（工）=-f+x+l,g（x）=/2戶|.

（1）分別求出/（x）和g（x）的導(dǎo)數(shù)；

（2）若曲線尸/?）在點（1,1）處的切線與曲線尸g（x）在尸MUR）處的切線平行，求，的值.

18.（12分）（2023秋?巴彥淖爾期末）已知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為S〃，且（m+3）an=S2+Sn.

（1）求m,42；

（2）若山＞0,數(shù)列Ug絆&｝的前〃項和為丁〃，當(dāng)〃為何值時，7〃最大？并求777的最大值.

以71

19.（12分）（2024秋?金鳳區(qū)校級月考）己知圓C：？+/-8y=0,過點P（2,2）的直線/與圓。交于4,

B兩點，點M滿足20漏=&+而，其中。為坐標(biāo)原點.

（1）求點M的軌跡方程；

（2）若△CMP的面積為2,求|A8|.

20.（12分）（2024?寧化縣校級一模）如圖，四棱錐S-A8CQ中，底面AI3CD為矩形,SOJ■底面48G9,AD=

四,DC=SD=2,點M在側(cè)校3C上，/AAM=6U°.

（1）證明：M是側(cè)棱SC的中點；

（2）求二面角S-AM-B的正弦值.

21,（12分）（2023秋?邵東市校級期末）已知數(shù)列｛“〃）滿足小=3,%1=4%+3-1,灰N’.

（I）求證：數(shù)列｛冊+3〃-1｝是等比數(shù)列，并求?！ǖ耐椆?；

（2）記&=卷+專+…+'，求證：對任意<Sn<^.

%2y2

22.（12分）（2023秋?秦淮區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：方+77=L'Q>8>0）的

長軸長為4,且經(jīng)過點（b,V2e）,其中。為橢圓C的離心率.

（1）求橢圓。的方程；

（2）過點P（0,1）的直線/交橢圓C于A,8兩點，點B關(guān)于x軸的對稱點為8',直線A8'交x

軸于點。，過點。作/的垂線,垂足為H,求證：點〃在定圓上.

2024-2025學(xué)年上學(xué)期深圳高二數(shù)學(xué)期末典型卷1

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（2023秋?昌平區(qū)校級期中）直線x+y—75=0的傾斜角為（）

A.45°B.60°C.120°D.1350

【考點】直線的傾斜角.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運算求解.

【答案】D

【分析】化直線方程為斜截式方程，求出斜率，則傾斜角可求.

【解答】解：由x+y—V5=0,得y=-x+V5,

???直線x+y-3=0的斜率為-1,其傾斜角是135°.

故答案為：D.

【點評】本題考查直線的傾斜角，考查直線傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2023秋?東臺市期末）在等比數(shù)列｛“〃｝中，若749ml=36,則42m4=（）

A.6B.9C.±6D.±9

【考點】等比數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的性質(zhì).

【專題】方程思想：定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列：運算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)直接求解即可.

【解答】解：因為a5a7a9ali=W=36,

所以磁=6（負值舍去），

所以。2。14=磴=6.

故選：A.

【點評】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考杳運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.（5分）設(shè)；=（3,一2,k）,1=（2,1,4）,若Z則仁（）

A.2B.1C.-1D.3

【考點】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直：數(shù)量枳判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向最及應(yīng)用；邏輯思維；運算求解.

【答案】C

【分析】直接利用向量垂直的充要條件建立方程，進一步求出上的值.

【解答】解：由于Q=(3,-2,k),b=(2,L4),若aLb,

故：2X3?2+4k=0,解得k=?l.

故選：C.

【點評】本題考杳的知識要點：向量垂直的充要條件，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

4.(5分)給出定義：設(shè)/(x)是函數(shù)y=f(k)的導(dǎo)函數(shù)，((x)是函數(shù)/(A)的導(dǎo)函數(shù)，若方程

f(x)=0有實數(shù)解刈，則稱點(加，f(.vo))為函數(shù)1y=/(x)的“拐點”.已知函數(shù)/(x)=4.r+3sinA-

-4cosx的拐點是M(xo,f(JO)),則點M()

A.在直線y=?3x上B.在直線y=3x上

C.在直線y=-4x上D.在直線y=4x上

【考點】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，求出/'(幻的解析式，由“拐點”的定義可得3sin.ro=4cosxo,由函數(shù)的解析式

計算/(?)的值，即可得答案.

【解答】解:根據(jù)題意,f(x)=4x+3sinx-4cosx?

則，(x)=4+3cos^+4sin.v,f(x)=-3siiu+4cos.r,

已知函數(shù)/(x)=4x+3sim4cosx的拐點是M(AO,f(xo))?

則f(AD)=-3sin.ro+4cos.rc=0,變形可得3sinvo=4cos.ro-

則/(.ro)=4xo+3sinvo-4cosw=4xo,

故點M在直線)，=4入?上.

故選：D.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，涉及三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎(chǔ)題.

5.(5分)點尸是以尸為焦點的拋物線)，2=2px(p>0)上任意一點，。為原點，4是線段尸產(chǎn)上的點，且

\PA\=3\AF],則直線。人的斜率的最小值為()

A.-V3B.-yC.-孝D.-V2

【考點】拋物線的焦點與準線.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】B

【分析1根據(jù)已知條件，設(shè)出戶點坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運算公式，以及基本不等式的公式，即可

求解.

【解答】解：拋物線丁=2〃大(p>0)的焦點為/單0),

丁尸是以”為焦點的拋物線〉2=2〃X(p>0)上任意一點,

，設(shè)尸(受，澗)''F是線段列7上的點且照l=3IAQ，

-*-?--*]■*-*13-*13P1Vn23n

：.0A=0F+FA=OF+^FP=OF+/(OP-OF)=^OF4-(p0)((于,和)=(皆+

2py0

koA=

當(dāng)和>。時，如=離/工薩=冬

2

3p+y02百py(j3

當(dāng)且僅當(dāng)羽=3p2時，等號成立，

當(dāng)修。時，如肅衿=_等

32

P+y02v3p|y0|3

當(dāng)且僅當(dāng)羽=3p2時，等號成立，

當(dāng)和=0時，hw=0,

?,?直線OA的斜率的范圍為[一等y],

故直線OM斜率最小值為-冬

故選:B.

【點評】本題主要考杳拋物線與向量的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生較強的綜合能力，屬于中檔題.

6.(5分)(2021秋?天津期中)6知點P在圓(x-5)2+(y-5)?=16上，點A(0,4),B(2,0),則

()

A.點P到直線4B的距離小于8

B.點P到直線A8的距離大于2

C.當(dāng)NP84最小時，|PB|二2遍

D.當(dāng)NP8A最大時，|P8|=3或

【考點】直線與圓的位置關(guān)系；點到直線的距離公式；圓的切線方程.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；邏輯思維；運算求解.

【答案】D

【分析［求出圓的圓心與半徑，利用點到直線的距離公式，求解判斷A、B,求解P8判斷C、。即可.

【解答】解：點P在圓(x-5)2+(k5)2=16上，圓的圓心(5,5),半徑為4,

XV

點A(0,4),B(2,0),直線A8的方程為：-+^=1,即2x+y-4=0,

圓心到直線的距離為：=⑷色>4,

“二V5一陽5

???點P到直線AB的距離的范圍為［=――4,--+4］,

11V511V511V5

<5,:.-4<1,+4<10,

5---------5-----------5

???點尸到直線A8的距離小于10,但不一定大于2,故A錯:吳，8錯誤；

如圖，當(dāng)過8的直線與圓相切時，滿足/尸84最小或最大(尸點位于P］時NPBA最小，位于P2時/

PBA最大)，

止匕時|Bq二J(5—0)2+(5-2)2=V34,

：.\PB\=yj\BC\2-42=3V2,故。錯誤，。正確.

故選：O.

【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

7.(5分)(2024春?湖北月考)記等差數(shù)列(〃〃｝的前n項和為Sn,若。5+。9=。8+5,?11=7,則56=()

A.64B.80C.96D.120

【考點】等差數(shù)列的前n項和.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，設(shè)出公差，得到方程組，求出首項和公差，利用求和公式得到答案.

【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列｛如）為等差數(shù)列，設(shè)公差為力

J%+4d+%+8d=%+7d+5脩坦=3

則匕+10d=7，解得,2，

td=5

2

-

故S16=16al5

故選：C.

【點評】本題考查等差的求和公式，涉及等差數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

42y2

8.（5分）（2023秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）己知人，放是橢圓C：—+^-=1的左、右焦點，。為坐標(biāo)

a2az-16

原點，M是橢圓C上的點（不在坐標(biāo)軸上），NF1MF2的平分線交。f2于N,且ON=2,則橢圓。的

離心率的取值范圍是（）

1111

A.（0,分B.（喬1）C.（0,方）D.弓，1）

【考點】橢圓的幾何特征.

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】B

【分析】設(shè)橢圓的焦距為2c（c>0）,可得。=4,由角平分線的性質(zhì)得瞿=3,結(jié)合橢圓的定義，推

|MFz|

出再根據(jù)〃-cV|"Fi|Va+c,即可得解.

【解答】解：設(shè)橢圓的焦距為2c（c>0）,則-（t/2-16）=16,即。=4,

因為MN平分NF1M&,且ON=2,

IM&I.g_6_

所以一..——39

|眸|

\NP2\2

由橢圓的定義知，|MFI|+|M五2|=2〃,

所以|M尸2|=等

因為a-cV|MFi|<a+c,

3

所以-解得〃即

2<2c,2,

1

所以離心率e=^6（一，1）.

2

故選：B.

【點評】本題考查橢圓離心率的求法，熟練掌握橢圓的定義與幾何性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,

考杳邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

x2

（多選）9.（5分）（2022?湖南二模）已知雙曲線￡—-y2=l（a>0）的左、右焦點分別為內(nèi)（?c,0）,

b2（c,0）,過點上2作直線與雙曲線上的右支相交于RQ兩點,在點〃處作雙曲線七的切線，與七

的兩條漸近線分別交于人，B兩點，則（）

A.若1Ml?|P戶2|=2,則P%?P%2=0

B.若.:一=.則雙曲線的離心率ee（l,y/2+1]

sinz.PF1F2sinz.PF2Ft

C.△QPQ周氏的最小值為8

D.AAOB（O為坐標(biāo)原點）的面積為定俏

【考點】雙曲線的幾何特征.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；運算求解.

【答案】ACD

【分析】對于4由雙曲線的定義可知,IPFil-\PFi\=2at結(jié)合|PFi|+|P尸2|=2,即可判斷A；

對于B,在△尸用尸2中，由正弦定理得出空筆3結(jié)合雙曲線的定義求出行尸2|,因為|P尸2|

2Hlpri|c

>c-a,即可判定8.

對于C,由分析知，當(dāng)直線尸。垂直x軸時，△BPQ周長的最小值，代入即可判定C.

對于O,設(shè)夕（加，川），過點。的雙曲線￡的切線方程為工父-y0y=1,與兩條漸近線聯(lián)立，求出A,

6的坐標(biāo)，又因為X4+.w=2r0,故點戶是44的中點，所以S?O8=2S”O(jiān)P,代入計算，即可判定。.

【解答】解：由題意知|PFi|-IPF2I=2a,a2+l=c2,

則|P居E-21P居|?伊后1+|PFz/=4a2,

222

所以有|PF1|2+\PF2\=4a+4=4c2=\FAF2\,

從而PF1IPF2,PFr-PF2=0,故A正確;

IP&I*

在△PFi心中，由正弦定理得,

sinz.PF2Fisinz.PF1F2

則,siingZPPFiFF?=濯iPFol=>Q解得|PT=*cPF2l，

2a2

又I尸F(xiàn)il-|P尸2|=%，所以|P號一言〉c-a

整理得c2-2ac-672<O>

所以e2?2e?lV0,解得lVeV/+l,故3錯誤；

2

當(dāng)直線PQ垂直x軸時，|PQ|的最小值為一，

a

4

|PF1I+IQF1I+\PQ\=2a+\PF2\+2Q+\QF2\+\PQ\=4a+2\PQ\=4a+->8,故C正確;

設(shè)夕（.vo,A），過點。的雙曲線E的切線方程為信x-y0y=1,E的漸近線方程為y=±；x,

不妨設(shè)切線工x-yQy=1與漸近線y=（%的交點為A,

1-a2

y=-%x=x-ay^

聯(lián)立方程組心0，解得00

^x-yy=l_a

oy=xa

o-yo

即久一^—，—-—）,

J

%-ay0x0-ayQ

2

同理可得8（/—，-:

%+ay0與+@（/

又因為點尸在雙曲線￡上，則有當(dāng)一端=1，4+xB=+

20A

ax0-ay0x0+ay0

故點尸是AB的中點，

設(shè)切線工x—y。、=1與x軸的交點為G,易知G(1,0),

所以&小=/?哈|以-Vol=1-^-lx,^v-yol

Lx0Lx0x0azoL

所以SSOB=2SAAOP=CI,故。正確；

故選：ACD.

【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)以及直線與雙曲線的綜合，屬于中檔題.

（多選）10.（5分）（2023秋?鹽田區(qū)校級期末）已知S”為等差數(shù)列（如｝的前〃項和,若S2023V0,52024

>0,則（）

A.使的>0的〃的最小值為2024

B.|aioi2|<|aioi3|

C.當(dāng)S“取最小值時，〃=1012

D.｛1｝為單調(diào)遞減的數(shù)列

【考點】等差數(shù)列的前n項和.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解.

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意，等差數(shù)列｛m｝中，設(shè)其公差為d,由等差數(shù)列前〃項和公式可得671012<0和?1012+671013

>0,由此可得B、C正確，進而由S〃和父的表達式，分析可得4正確，D錯誤，綜合可得答案.

n

【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列｛小｝中，設(shè)其公差為d，

若S2023V0,則有52023==2O23rzioi2<O,變形可得aioi2〈O，

若S2024X）,則S2O24=（"1+“W）X2024=（moi2+moi3）X1012>0,變形可moi2+moi3>O，

故4I0I2V0,a1013>0,且故8正確；

故當(dāng)品取最小值時，”=1012.C正確;

同時d=aioi3-aioi2>O,

Sn=na]+^,?2+（⑷一?）〃，d>0，且S2O23VO，S?024>0,

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得使如>0的n的最小值為2024,A正確；

同時，卜緊5-電，數(shù)列申為等差數(shù)列，其公差為1>0,是遞增數(shù)列，Q錯誤.

故選：ABC.

【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及等差數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）11.（5分）（2023秋?仁壽縣校級期末）如圖，棱長為2的正方體48co中，P為線

段上動點（包括端點）.則以下結(jié)論正確的為（）

4

A.三棱錐尸-48。體積為定值&

B.異面直線AiO,B1D1成角為45。

C.直線44與面48。所成角的正弦值彳

D.存在點。使得CP〃面4BQ

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角；直線與平面平行；直線與平面所成的角：

棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法；立體幾何；直觀想象.

【答案】ACD

【分析】易證819〃平面A出。，故三棱錐48。體積為定值；易得B1DU/BD,△43。為等邊三

角形，故3錯誤；由向量法可判斷C正確：當(dāng)P為BiDi中點時，得CP〃面430.

【解答】解：因為ODi〃84i,且力Di=B8i,所以四邊形出為平行四邊形，所以朋。1〃8。，

乂因為B1O1C平面4B。，BQc平面4K。，所以小。1〃平面乂P為線段小。1上動點，

所以P到平面4BO距離為定值，故三棱錐P-4BZ)體積為定值，當(dāng)點P與力?重合時，

111A

Vp-AyBD=%-…必=3■AB=XX2X2X2=故A正確；

因為Bi￡h〃8D,故4。與BDi所成角等價于4。與8D所成角，

△A18。為等邊三角形，所以異面直線4。8|。1成先為60。，故B項錯誤；

以O(shè)A方向為入軸，DC方向為y軸，方向為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0)A\(2,0,2),AAX=(0,0,2),DAr=(2,0,2),

DB=(2,2,0),

設(shè)平面48/)的法向量為￡=(%,y,z),

則卜

01=0，即";二:，令％=1，得尸z=-l,

故￡=(1,-1,-1),

設(shè)直.線AAi與面ASO所成角為0,

貝ijstzi。=|cos(AAi，n)\=-^j==故C項正確；

當(dāng)P為BIQI中點時，得CP〃面48。.故。項正確.

故選：ACD.

【點評】本題考杳線面平行的判定定理，線線角的求解問題，向量法求解線面角問題，屬難題.

（多選）12.（5分）（2024?南寧模擬）己知拋物線C：）2=41的焦點為F,過產(chǎn)作兩條互相垂直的直線八、

/2,/1與。交于P、Q兩點，/2與C交于A/、N兩點，P。的中點為G,MN的中點為，，則（）

A.當(dāng)|PF1=2|QF|時，|MN1=36

B.IPQI+IMNI的最小值為18

C.直線GH過定點（4,0）

D.△/G”的面積的最小值為4

【考點】拋物線的焦點與準線.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】AD

【分析】設(shè)直線八方程為廣〃”1,則/2方程為x=—4y+l,直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理和

拋物線的性質(zhì)即可判斷4利用A選項的結(jié)論和基本不等式即可判斷以利用中點坐標(biāo)公式求得G（2機2+

1,2m）,“（煮+1，Y），即可判斷G利用直線GH過定點4（3,0）和三角形的面積公式與基本

不等式即可判斷D.

【解答】解：4.已知拋物線C：丁二公的焦點為F,過產(chǎn)作兩條互相垂直的直線八、/2,h與C交于P、

Q兩點，/2與C交于M、N兩點，

則尸（1,0）,設(shè)直線八方程為X=〃/1,

則/2方程為3=—+1?

聯(lián)立x=my>+\與拋物線C：）2=4X,得y2-4my-4=0,易知A>0,

設(shè)P(xi,yi),0(4,丫2),則yi+y2=4〃?，yiv2=-4,

,_4

設(shè)M(X3,y3)，N(X4,)4)?同理+y4=/乃”=-4,

又|用=2|Q*,所以yi=-2",所以加2=看

-14

所以|MN|=x3+^4+2=-—(y3+y4)+2+2=^2+4=36,故A正確;

1A

B.由A知|MN|="3+4+2=—茄。3+yj+2+2=-^+4,

2

\PQ\—xx+x2+2—ni(y1+y2)+2+2—4m+4?

4

\PQ\+\MN\=4-4+4TH2+4>16,故3錯誤;

C.由4知，G(2m2+1,2m),“(4+1,-

2TH+2

所以直線G”：y-2m=—丁與(x-2m2-1),

2、

令_y=0,K=3,所以直線過定點(3,0),故C錯誤；

12

D.由C知，直線GH過定點A(3,0),\y-y\=\y-y\=|2m+^|>4,故。

S^FCH=^4\FA\.GHGHIII

正確.

故選：AD.

【點評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

三,填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

I3.（5分）（2023秋?浙江期中）己知雙曲線的兩條漸近線方程為x±&y=0,并且經(jīng)過點4通，1）,則

/y2

該雙曲線的標(biāo)準方程是,2=1.

42

【考點】雙曲線的標(biāo)準方程；雙曲線的幾何特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)題意設(shè)雙曲線方程為〃儲利用漸近線和過點力（連，1）解方程組即可求得其標(biāo)準

方程.

【解答】解：由題意可設(shè)雙曲線方程為帆v2-町，2=1,如〃>0；

由漸近線方程為"±V2y=0可得〃=2加，

將點力（石，1）代入可得6加-〃=1,解得m=彳，幾=

y2

所以雙曲線標(biāo)準方程為7一J=L

42

故答案為：~=1.

42

【點評】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準方程，考查計算能力，屬于中檔題.

14.（5分）（2022秋?內(nèi)江期末）已知E是正方體ABC。-AiBCiOi的棱。Oi的中點，過A、C、E三點、

1

作平面a與平面相交，交線為/,則直線/與8。所成角的余弦值為—

【考點】異面直線及其所成的先.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法：轉(zhuǎn)化法；空間角：運算求解.

【答案】今

【分析】由面面平行的性質(zhì)，結(jié)合條件可知直線，與8。所成的角就是直線4。與8。所成的角，然

后求出直線/與8。所成角的余弦值即可.

【解答】解：因為過A,C,E三點的平面a與平面相交于/,

平面a與平面ABCD相交于AC,平面A\B\C\D\與平面ABCD平行，

所以/〃AC,又4O〃AC,故4。〃/,

所以直線I與BC\所成的角就是直線AiCi與BC1所成的角，

也即是NAiG8（或補角），乂易知△4C4為等邊三角形，

所以直線/與8。所成角的余弦值為cos60°=1,

故答案為：

D.C,

【點評】本題考查了異面宜線所成的角的求解，考查了面面平行的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

15.（5分）一個小球自12米高的地方自由落下，觸地面后的回彈高度是下落高度的;.假設(shè)這個小球能無

限次反彈，則這個小球在這次運動中所經(jīng)過的總路程為16米.

【考點】等比數(shù)列的前n項和.

【專題】方程思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解.

【答案】16.

【分析】推導(dǎo)出｛如｝是公比為：，首項為12的等比數(shù)列，到球停到地面為止，求運動的路程是等比數(shù)

4

列之和為：S=12+3+3+稅+1+?由此能求出結(jié)果.

【解答】解：一個小球自12米高的地方自由落下，觸地面后的回彈高度是下落高度的"

4

〃I=12,

“2=3=3,

???｛如｝是公比為"首項為12的等比數(shù)列，

4

到球停到地面為止，求運動的路程是等比數(shù)列之和為：

33

S=12+3+3+]+]+?

12（1-X）3（1-1）

=Um-------p—FUm----T—

n-?oo1—1n—81—1

=16.

故答案為：16.

【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

16.（5分）（2023?東陽市校級開學(xué)）如圖，已知兩矩形A3CO與所在平面互相垂直，AB=\時，若

將△DE廠沿著直線尸。翻折，使得點石落在邊AC上（即點P）,則當(dāng)人￡）取最小俏時，邊人戶的長是

V2_.

【考點】點、線、面間的距離計算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運算求解.

【答案】V2.

【分析】先得出線面垂直，再應(yīng)用相似得出邊長的式子，最后應(yīng)用基本不等式得出最值，求出取等條

件即可.

【解答】解：如圖，連接AP,

E

D

由題意可知平面ABC。_L平面ADE/7,平面/WC7)n平面AOE/=AO,AFLAD,ARz平面AOEF,

所以A/_1_平面ABCD,乂OPu平面ABC。，

所以A凡LOP,又。P_LQ，且4尸0/^=凡AP,FPu平面A”,

所以。P_L平面AFP,又APu平面A/7\

所以AP_LOP,所以△ABPs/XPCO,

設(shè)PC=x,AD=a,

所以祭=*得三4

所以a=x+*N2x.”=2,

人V人

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號，此時AF=ED=PD=JPC?+CD2=&.

故答案為：V2.

【點評】本題考查空間中距離的求解，面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，基本不等式的應(yīng)用,

屬中檔題.

四.解答題(共6小題，滿分70分)

17.(10分)(2023秋?紹興期末)已知函數(shù)f(x)=-/+x+l,g(x)=/2田.

(1)分別求出/(x)和g(x)的導(dǎo)數(shù)；

(2)若曲線y=/(x)在點(1,1)處的切線與曲線y=g(x)在x=z(zeR)處的切線平行,求/的值.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運算求解.

【答案】⑴)-3.?+1,-2。-叫(2)

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)公式直接求導(dǎo)即可；

(2)根據(jù)兩直線平行，斜率相等，即可求出f的值.

【解答】解：(1)由導(dǎo)數(shù)公式得/'(A)=-3/+1,

因為g(x)=e"i.

所以g'(x)=?2e*i；

(2)由r(X)=-3f+l可得，

曲線y=/a）在點（1,1）處的切線的斜率2=r（1）=-3+1=-2,

從而切線方程為y-1=-2（A-1）,即y=-2^+3.

2r+l

由g'（X）=-2/ZW,可得曲線），=g（x）在（怎R）處的切線斜率為g'（/）=-2e'f

由題意可得-2/2"=-2,

從而t=

此時切點坐標(biāo)為8，1）,

曲線y=g（%）在％=*處的切線方程為y-1=-2（%-1）,

即y=-2r+2,故符合題意.

所以以；?

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算與幾何意義，屬于中檔題.

18.（12分）（2023秋?巴彥淖爾期末）已知數(shù)列｛“〃｝的前〃項和為S”，且（m+3）an=S2+Sn.

（1）求m,“2；

（2）若山＞0,數(shù)列｛0寫出｝的前〃項和為力〃當(dāng)〃為何值時，7〃最大？并求777的最大值.

【考點】數(shù)列的求和.

【專題】綜合題；方程思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解.

[答案】（1）a]=0,42=0或%=V2—a2=2—e或%=—y/2—1,a2=2+V2；

qi

（2）當(dāng).=14時,?最大,兀的最大值為28-4，。2.

【分析】（1）賦值法代入條件式分類討論解方程即可；

（2）根據(jù)第一問結(jié)論結(jié)合4〃，S〃的關(guān)系確定m“通項公式，再求得包，利用等差數(shù)列的定義及臨界點

法計算即可.

【解答】解：（1）由題意,令〃=1,可得（m+3）a]=S2+S\=2a\+ci2f

化簡整理，得。2=壯+。1，①

令〃=2,可得（ai+3）a2=S2+S2=2a1+2a2?

化簡整理，得（切+1）42=20,②

把①代入②，可得（為+1）2%=2。1，

若41=0,則42=0,

若小#0,則（％+1）2=2,

此時由=72-1,a2=z-V2或%=-Vz-1,a2=2+vZ

綜上所述，可得m=0,〃2=0或%=或一L。2=2-a或%=-魚-1,。2=2+a.

(2)由題意小>()及(1),可知%=魚一1,a2=2-V2,

則S2=ai+a2=72—1+2—72=1,

此時(2+企)an=Sn+l,

當(dāng)〃22時，(2+^)an_i=5-1+1,

ss

兩式相減，可得(2+V2)an-(24-&)冊-1=n-n-i=冊，

化簡整理，得即=加冊.〔，

Vai=V2—1,

Aan=(&-1)?(魚尸-i,所N*,

100%100/72-1)

令%=ig則bn=lg

即(/-1>(衣尸一］

_100

一似（遮尸

=2Tg(魚尸

=2-i(n-l)Ztg2

10000

???數(shù)列｛加｝是首項為2,公差為一^/。2的等差數(shù)列,

..,、八11625,1.625

?仇>星>b2>…>64=2512〉0'&s=2S1024〈°，

?,?當(dāng)”=14時，力?最大，

。的最大值為-4=14（）針M）=7（4一竽02）=28-雜g2.

【點評】本題主要考查數(shù)列求通項公式，以及數(shù)列求和與最值問題.考查了方程思想，分類討論，轉(zhuǎn)化

與化歸思想，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的運用，不等式的運算，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能

力，屬中檔題.

19.（12分）（2024秋?金鳳區(qū)校級月考）已知圓C：x2+y2-8y=0,過點P（2,2）的直線/與圓C交于A,

8兩點，點M滿足26=&+&,其中。為坐標(biāo)原點.

（1）求點M的軌跡方程；

（2）若的面積為2,求|AB|.

【考點】直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；直線與圓；運算求解.

【答案】⑴(X-1)2+(y-3)2=2；

(2)4技

【分析】（1）由201=&+晶，結(jié)合垂徑定理可得易-P房=0,設(shè)出M（X,>-）,然后利用數(shù)量積

的坐標(biāo)運算即可得解；

（2）由（1）可得|CP|=J22+（4—2尸=2或,乂的面積等于2,然后利用直角三角形的面積

公式和勾股定理可得|C