2025年測繪工程專升本測量平差專項練習（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.測量中，偶然誤差的主要特性不包括（）。A.系統(tǒng)性B.隨機性C.相對性D.獨立性2.某距離測量中，觀測值的中誤差為3mm，則其相對中誤差為（）。A.0.0003B.0.003C.3D.303.誤差傳播定律適用于（）。A.系統(tǒng)誤差的傳播B.偶然誤差的傳播C.粗差的傳播D.所有誤差的傳播4.在平差計算中，最小二乘原理是指（）。A.使觀測值的改正數(shù)之和為最小B.使觀測值的改正數(shù)平方和為最小C.使平差值的中誤差為最小D.使參數(shù)的協(xié)方差矩陣為對角陣5.下列哪種平差方法適用于存在多余觀測值的測量數(shù)據(jù)？（）A.直接平差B.間接平差C.條件平差D.參數(shù)平差6.條件平差中，法方程的個數(shù)等于（）。A.觀測值的個數(shù)B.待求參數(shù)的個數(shù)C.條件方程的個數(shù)D.約束條件的個數(shù)7.平差值的中誤差與觀測值的中誤差之間的關(guān)系為（）。A.平差值中誤差總小于觀測值中誤差B.平差值中誤差總大于觀測值中誤差C.兩者無關(guān)D.兩者可能相等8.在水準測量平差中，通常建立（）個條件方程。A.1B.2C.測站數(shù)D.測段數(shù)9.附合導線平差中，角度閉合差的分配原則是（）。A.按角度大小成比例分配B.按邊長成比例反分配C.按角度個數(shù)平均分配D.按邊數(shù)平均分配10.參數(shù)平差中，需要求解的是（）。A.觀測值的改正數(shù)B.待求參數(shù)的最優(yōu)估值C.條件系數(shù)D.誤差方程系數(shù)二、填空題（每空2分，共20分。請將正確答案填在橫線上）1.測量誤差按性質(zhì)可分為______誤差、______誤差和粗差。2.衡量觀測值精度的基本指標是______，衡量觀測值精度相對高低的是______。3.若一個角度觀測值為90°00′15″，其中誤差為5″，則其平差值（設無改正）為______。4.條件平差中，未知量（參數(shù)）的個數(shù)m與觀測值的個數(shù)n、條件方程的個數(shù)r之間應滿足關(guān)系式______。5.平差后，觀測值的精度用______來評定，參數(shù)的精度用______來評定。6.附合水準路線平差時，高差閉合差的分配原則是______。7.前方交會中，若已知A、B兩點坐標及觀測了角度α、β，則待定點C的坐標是待求參數(shù)______和______的函數(shù)。8.平差計算中，改正數(shù)v的平方和總是______。9.單位權(quán)中誤差μ的計算公式為______。10.參數(shù)平差中，如果某個參數(shù)的協(xié)方差為0，則說明該參數(shù)______。三、計算題（共60分）1.（10分）對某真值未知的角度進行4次觀測，結(jié)果分別為：89°59′30″、90°00′00″、89°59′45″、90°00′15″。試求觀測值的中誤差、平均角值及其其中誤差。2.（15分）設對某段距離進行了6次觀測，觀測值分別為：100.01m、100.03m、100.02m、100.00m、100.04m、100.05m。已知該距離的真值未知，但可以認為觀測值中只含偶然誤差，且滿足等精度、獨立的要求。試按最小二乘原理求該距離的最優(yōu)估值及其方差。3.（15分）某水準路線由A點經(jīng)過1、2、3點至B點，已知高程HA=100.000m，HB=102.500m。觀測高差分別為：h?=1.510m，h?=-0.980m，h?=1.410m。高差閉合差fh=+10mm。試按條件平差法求各觀測高差的平差值。4.（20分）設有一個間接平差問題，有兩個待求參數(shù)x?和x?，三個獨立的觀測方程為：L?=x?+2x?+5L?=-x?+x?+1L?=2x?+3x?+6其中觀測值L?=7、L?=2、L?=8。試求參數(shù)x?和x?的最優(yōu)估值，并求x?和x?的方差。5.（10分）在水準測量中，設觀測高差的中誤差為3mm，現(xiàn)需將某段高程傳遞10次，求最終高程中誤差是多少？如果要求最終高程中誤差不超過8mm，問觀測高差的中誤差應小于多少？試卷答案一、選擇題1.A解析：偶然誤差的主要特性是隨機性、獨立性、大小和符號的分布具有偶然性，以及服從正態(tài)分布（在大量觀測時）。系統(tǒng)性是系統(tǒng)誤差的特性。2.A解析：相對中誤差=中誤差/絕對值觀測值=3mm/|絕對值觀測值|。由于未給出絕對值觀測值，通常題目隱含單位為m，即1000mm，則相對中誤差=3/1000=0.003=0.0003。3.B解析：誤差傳播定律描述的是輸入量的誤差如何影響輸出量的誤差，主要適用于偶然誤差的傳播計算。4.B解析：最小二乘原理要求平差值（最或是值）的改正數(shù)（真誤差）的平方和為最小，這是其核心定義。5.B解析：間接平差（參數(shù)平差）是處理多余觀測值的標準方法，通過引入?yún)?shù)來消除多余約束。6.C解析：條件平差是通過建立并求解條件方程來消除多余觀測的約束，法方程的個數(shù)等于多余觀測值個數(shù)，即條件方程的個數(shù)。7.A解析：平差值是在觀測值基礎(chǔ)上，考慮了各種約束和誤差影響后的最優(yōu)估值，通常其精度會優(yōu)于原始觀測值的精度（除非原始觀測值本身無誤差或誤差極小），即平差值中誤差總小于觀測值中誤差。8.A解析：附合水準測量中，從一個已知高程點出發(fā)，經(jīng)過若干測站，最終到達另一個已知高程點，存在一個高差閉合差，需要建立一個條件方程來消除這個閉合差。9.B解析：附合導線平差中，角度閉合差的分配應與導線邊長成比例反分配，即邊長越短，分配給該邊轉(zhuǎn)角的角度改正數(shù)越大。10.B解析：參數(shù)平差的核心是求出一系列未知參數(shù)（如坐標、高程等）的最優(yōu)估值。二、填空題1.系統(tǒng)性，偶然性解析：測量誤差按性質(zhì)分為這三類。2.中誤差，相對誤差解析：中誤差是衡量觀測精度最基本的指標，相對誤差則用于比較不同量級觀測值的精度。3.90°00′15″解析：在無改正的情況下，平差值即為觀測值本身。注意單位統(tǒng)一。4.n≥m+r解析：這是條件平差中未知量個數(shù)、觀測值個數(shù)和條件方程個數(shù)之間必須滿足的關(guān)系式，保證方程有確定解。5.單位權(quán)中誤差，參數(shù)的協(xié)方差陣（或參數(shù)中誤差）解析：精度評定指標，前者用于評定觀測值的綜合精度，后者用于評定參數(shù)的精度。6.按與距離（或路線長度）成反比進行分配解析：水準測量平差中，高差閉合差的分配原則。7.C的縱坐標，C的橫坐標解析：前方交會求解待定點坐標，通常將坐標差作為參數(shù)。8.等于0解析：根據(jù)最小二乘原理，平差值改正數(shù)v的平方和Σv?2為最小值，對于無約束平差，該最小值為0。9.μ=σ?=√(Σv?2/(n-1))解析：單位權(quán)中誤差的計算公式，其中v?為改正數(shù)，n為觀測值個數(shù)，σ?為單位權(quán)中誤差。10.無誤差（或不確定）三、計算題1.解：觀測值：L?=89°59′30″,L?=90°00′00″,L?=89°59′45″,L?=90°00′15″真值未知，求平均值：x?=(L?+L?+L?+L?)/4=(89°59′30″+90°00′00″+89°59′45″+90°00′15″)/4=(359°59′30″+360°00′00″+359°59′45″+360°00′15″)/4=(1439°59′30″)/4=359°99′45″轉(zhuǎn)換為秒：359°99′45″=359*3600+99*60+45=1295400+5940+45=1301355秒平均值x?=1301355/4=325339秒=89°59′39″計算觀測值真誤差（v?=L?-x?）：v?=1301500-1301355=145秒=2″v?=1301440-1301355=85秒=1″v?=1301405-1301355=50秒=0.5″v?=1301455-1301355=100秒=1.5″觀測值中誤差：σ=√(Σv?2/(n-1))=√((22+12+0.52+1.52)/(4-1))=√((4+1+0.25+2.25)/3)=√(7.5/3)=√2.5≈1.58″平均角值其中誤差：σ??=σ/√n=1.58″/√4=1.58″/2=0.79″2.解：觀測值：L?=100.01m,L?=100.03m,L?=100.02m,L?=100.00m,L?=100.04m,L?=100.05m設距離真值為X，觀測值為L?，誤差為ε?。最優(yōu)估值x?應滿足最小二乘原理，即Σε?2最小，或Σv?2最小（v?=L?-x?）。x?=(L?+L?+L?+L?+L?+L?)/6=(100.01+100.03+100.02+100.00+100.04+100.05)/6=600.15/6=100.025m計算改正數(shù)：v?=100.01-100.025=-0.015m,v?=100.03-100.025=+0.005m,v?=100.02-100.025=-0.005m,v?=100.00-100.025=-0.025m,v?=100.04-100.025=+0.015m,v?=100.05-100.025=+0.025m計算觀測值方差（單位權(quán)方差）：σ?2=Σv?2/(n-1)=((-0.015)2+(0.005)2+(-0.005)2+(-0.025)2+(0.015)2+(0.025)2)/(6-1)=(0.000225+0.000025+0.000025+0.000625+0.000225+0.000625)/5=0.00175/5=0.00035最優(yōu)估值x?即為距離估值，其方差為σ?2=σ?2/n=0.00035/6≈0.0000583參數(shù)的協(xié)方差陣（單位權(quán)協(xié)方差陣）：C=σ?2*I=0.00035*[[1,0],[0,1]](假設參數(shù)間獨立)3.解：已知：HA=100.000m,HB=102.500m；h?=1.510m,h?=-0.980m,h?=1.410m；fh=+10mm=0.01m。條件方程：h?+h?+h?-(HB-HA)=0即：h?+h?+h?-2.5=0觀測值的改正數(shù)方程：v?=h?-h??,v?=h?-h??,v?=h?-h??平差值方程：h??=h?+v?,h??=h?+v?,h??=h?+v?將平差值代入條件方程：h?+v?+h?+v?+h?+v?-2.5=0即：v?+v?+v?=2.5-(h?+h?+h?)=2.5-(1.510-0.980+1.410)=2.5-1.920=0.580m系數(shù)矩陣A=(1,1,1),常數(shù)項b=0.58m。法方程：A?Av=A?b[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]*[v?,v?,v?]?=[1,1,1]*[0.58]?[3v?,3v?,3v?]?=[0.58]得到：3v?+3v?+3v?=0.58除以3：v?+v?+v?=0.1933m注意：此處原題給出的閉合差fh=+10mm=0.01m，但根據(jù)觀測值計算的高差和差應為1.510-0.980+1.410=2.940m，與HB-HA=2.5m之差為0.440m。題目條件fh=0.01m與給出的觀測值矛盾。若按題目條件fh=0.01m，則條件方程為h?+h?+h?-2.5=0.01，常數(shù)項b=0.01，解得v?+v?+v?=0.0133m。以下按常數(shù)項b=0.58計算：解法方程：v?+v?+v?=0.1933通常假設各觀測值等精度，權(quán)p?=1，單位權(quán)中誤差σ?未知。求v?：設v?=k,v?=k,v?=k，則3k=0.1933,k=0.1933/3=0.0644m改正數(shù)：v?=0.0644m,v?=0.0644m,v?=0.0644m平差值：h??=h?+v?=1.510+0.0644=1.5744m,h??=h?+v?=-0.980+0.0644=-0.9156m,h??=h?+v?=1.410+0.0644=1.4744m4.解：觀測方程：L?=x?+2x?+5,L?=-x?+x?+1,L?=2x?+3x?+6觀測值：L?=7,L?=2,L?=8誤差方程：v?=L?-(x?+2x?+5)=-x?-2x?-5+7=-x?-2x?+2v?=L?-(-x?+x?+1)=x?-x?-1+2=x?-x?+1v?=L?-(2x?+3x?+6)=-2x?-3x?-6+8=-2x?-3x?+2系數(shù)矩陣B=([-1,-2],[1,-1],[-2,-3]),常數(shù)項l=(2,1,2)?法方程：B?Bx=B?l[[(-1)2+(1)2+(-2)2,(-1)*(-2)+1*(-1)+(-2)*(-3)],[(-1)*(-2)+1*(-1)+(-2)*(-3),(-2)2+(-3)2]]*[x?,x?]?=[[1+1+4,2-1+6],[2-1+6,4+9]]*[x?,x?]?=[[6,7],[7,13]]*[x?,x?]?=[2*1+1*1+2*2,2*(-1)+1*1+2*(-3),2*1+1*1+2*2]?=[7,-5,7]?求解x：[[6,7],[7,13]]*[x?,x?]?=[7,-5,7]?設A=[6,7;7,13],b=[7,-5,7]?求解Ax=b(可使用行列式法或矩陣求逆法)|A|=6*13-7*7=78-49=29A?A=[[6,7],[7,13]],A?b=[[6*7+7*(-5)+7*7],[7*7+13*(-5)+7*7]]?=[[42-35+49],[49-65+49]]?=[[56],[33]]?x=(A?A)?1(A?b)=(1/29)*[[13,-7],[-7,6]]*[[56],[33]]?=(1/29)*[[13*56+(-7)*33],[(-7)*56+6*33]]?=(1/29)*[[728-231],[-392+198]]?=(1/29)*[[397],[-194]]?x?=397/29,x?=-194/29x?≈13.7241,x?≈-6.6897參數(shù)方差（單位權(quán)協(xié)方差陣C=σ?2*I=σ?2*[[1,0],[0,1]]）：參數(shù)協(xié)方差陣P=(B?P?B)?1=(B?PB)?1(假設等精度，P?=1)B?PB=[[1,1,1],[2,-1,-3]]*[[-1,-2],[1,-1],[-2,-3