專題19二次求導函數(shù)處理問題構造輔助函數(shù)是高中數(shù)學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題．二次求導的原因是導函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導可以化解很多一次求導函數(shù)零點“求之不得”的問題。方法二次求導使用情景對函數(shù)一次求導得到之后，解不等式難度較大甚至根本解不出.解題步驟設，再求，求出的解，即得到函數(shù)的單調性，得到函數(shù)的最值，即可得到的正負情況，即可得到函數(shù)的單調性.一、單選題1．設函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為，在區(qū)間上的導函數(shù)為，若在區(qū)間上恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”；已知在上為“凸函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】因為，，由題意在上恒成立，即在上恒成立，分離參數(shù)，而在上的最大值為2，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.2．已知二次函數(shù)的圖象過點，且當時，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】由知，∴，∴，令，則，，令，令，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，如圖，若圖象在圖象上方，則，要使圖象在圖象上方，則表示x軸截距的相反數(shù)，的最小值即為截距的最大值，而當截距最大時，直線與相切，記切點為，則，又，所以，有，設，則，故當時，函數(shù)，當時，，故當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，此時，綜上，的最小值為.故選：D.3．設實數(shù)，那么的大小關系為（

）A． B． C． D．【解析】，令，令，，在上是減函數(shù)，，在上是減函數(shù)，又，，即，故選：C.4．若關于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】依題意，，設函數(shù)，則，令，故，所以函數(shù)在上單調遞減，而，故當時，，當時，，故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，故，則.故選：B．5．若關于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由，得，又關于的不等式在上有解，所以在上有解，即，令，，則，設，，則，即在上單調遞增，則，于是有，從而得在上單調遞增，因此，，則，所以的取值范圍是.故選：D6．已知函數(shù)，若函數(shù)與有相同的最小值，則的最大值為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】根據(jù)題意，求導可得，，∵（），∴在上單調遞增，又∵當時，，∴當時，，即函數(shù)在上單調遞減，當時，，即函數(shù)在上單調遞增，故有，即得，所以根據(jù)題意，若使，需使的值域中包含，即得，故的最大值為2.故選：B.7．在關于的不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【解析】由，化簡得：，設，，則原不等式即為.若，則當時，，，原不等式的解集中有無數(shù)個大于2的整數(shù)，∴.∵，，∴.當，即時，設，則.設，則在單調遞減，所以，所以在單調遞減，∴，∴當時，，∴在上為減函數(shù)，即，∴當時，不等式恒成立，原不等式的解集中沒有大于2的整數(shù).要使原不等式的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則，即，解得.則實數(shù)的取值范圍為.故選：D二、多選題8．已知函數(shù)有兩個極值點，，則（

）A． B． C． D．【解析】由題意知，函數(shù)的定義域為，，則的兩根為，由，得，設，則，令，令，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，故，作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，如圖，由圖可知，解得，故A錯誤；又，令，令，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，由，得，所以，又，所以，故函數(shù)在和上單調遞減，在上單調遞增，有，故C錯誤；，故D正確；設，則，即函數(shù)關于點對稱，，令，則，當時，，，所以在上，，函數(shù)單調遞減，且，則在上，即，函數(shù)單調遞增，又關于點對稱，所以函數(shù)在單調遞增，所以，有，又，所以，由，得，又函數(shù)在單調遞增，所以，即，故B正確.故選：BD9．已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．f（x）無最大值 B．f（x）有唯一零點C．f（x）在（0，＋∞）單調遞增 D．f（0）為f（x）的一個極小值【解析】，記因為，且，在區(qū)間上顯然遞增，所以記為的零點，則有所以當時，，在上單調遞增，又因為，所以當時，，當時，，所以當時，有極小值，D正確；由上可知，在上單調遞增，且當x趨近于正無窮時，也趨于正無窮，故AC正確；易知，故B錯誤故選：ACD10．已知函數(shù)，則（

）A．當，時，B．當時，有最值C．當時，為減函數(shù)D．當僅有一個整數(shù)解時，【解析】對于A，當時，，令因為在上單調遞增，所以當時，所以，即，故A正確；對于B，當時，，令，則所以當時，，單調遞增當時，，單調遞減所以，即，所以在上單調遞減，沒有最值，故B錯誤；對于C，，令，則因為，所以由可得，由可得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以令，則所以在上單調遞增，所以，即，所以為減函數(shù)，故C正確對于D，由可得，令，則，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減的圖象如下：表示的是過點的直線，所以當僅有一個整數(shù)解時，，故D正確.故選：ACD三、填空題11．已知是上的偶函數(shù)，當時，，且對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【解析】，故為增函數(shù)，當時，，可得為增函數(shù).又為偶函數(shù)，故，恒成立.因為，，所以有，故答案為：12．已知函數(shù).若是的極大值點，則正實數(shù)a的取值范圍為_________________.【解析】由題知，且，令，則，①若，當時，，所以在上單調遞增，所以，所以在上單調遞增；所以.因此不可能是的極大值點.②若，令，當時，，所以即在上單調遞增.又因為，，因此存在滿足：，所以當時，，所以在上單調遞減，，所以當時，；當時，；所以在上單調遞增；在上單調遞減；綜上，當是的極大值點時，.故答案為：13．已知，若方程在上有唯一實根，則實數(shù)a的取值范圍為______．【解析】當時，方程可化為，，設，則，設，則，設，則，因為，所以，所以在上單調遞增，又，，所以存在，使得，當時，，，函數(shù)單調遞減，當時，，，函數(shù)單調遞增，又，，所以存在，使得，當時，，，函數(shù)單調遞增，當時，，，函數(shù)單調遞減，作函數(shù)的圖象如下，又，因為方程在上有唯一實根，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有且只有一個交點，所以，所以，所以實數(shù)a的取值范圍為，14．若對任意正實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________．【解析】由，，得，設，即恒成立，，，所以在上單調遞減，且，所以當時，；當時，；即函數(shù)在上單調遞增，在單調遞減，故當時，取最大值為，即，所以，故答案為：.四、解答題15．已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3，求實數(shù)的值；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)因為，，，所以當時，則在上單調遞增，的最小值為不符合，舍去；當時，則在上單調遞減，在上單調遞增，在的最小值為，則不符合，舍去；當時，在上單調遞減，的最小值為，則．(2)在上恒成立，即在上恒成立，設，，，設，在上恒為正，則在上單調遞增，，則在上單調遞增，.所以，即實數(shù)的取值范圍為.16．已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為20，求實數(shù)a的值；(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域為R，，①當時，，故函數(shù)單調遞增，有，解得；②當時，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為.當即時，函數(shù)在，上單調遞增，在上單調遞減，得或.解得（舍去）或舍去）；當即時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，得，解得（舍去）；當即時，函數(shù)在上單調遞減，得，解得.綜上知或；(2)可化為，整理，得，即在上恒成立，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調遞增，且，所以當時；當時，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，得，即實數(shù)a的取值范圍為.17．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【解析】(1)因為，所以，所以，因為所以函數(shù)為增函數(shù)，又，所以當時，當時，，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為．(2)將化為，設，則，由（1）可知，是上的增函數(shù)，且，①當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故，符合題意；②當時，，故存在，使得，所以當時，，當時，，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，不等式不恒成立．綜上，實數(shù)k的取值范圍為．18．已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調性．(2)證明：．【解析】(1)因為，所以．令，則，可得在上單調遞減，所以．因為當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減．(2)證明：令，則．令，則，所以在上單調遞增．因為，，所以存在，使得，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以．因為，且，所以，所以．令，，則，所以在上單調遞減，所以，所以，所以．19．已知函數(shù).(1)當時，證明：；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)當時，，則，易知函數(shù)，都是R上的減函數(shù)，所以是R上的減函數(shù)，又，所以當時，；當時，.所以在上單調遞增，在上單調遞減，故.(2)由，得，設，則，設，則，當時，易知，所以在R上是減函數(shù)，即在R上是減函數(shù).又，，所以存在，使得，當時，，單調遞增，則，不符合題意；當時，由（1）可知，滿足題意；當時，易知在上單調遞減，又，則在上單調遞減，即在上單調遞減.又，，則存在，使得，所以當時，，單調遞減，則，不符合題意；當時，因為，所以不符合題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.20．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調遞減，求的取值范圍；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為函數(shù)在上單調遞減，所以在上恒成立，則在上恒成立；令，則，令，得，單調遞減；令，得，單調遞增；則的最小值為，所以.（2）令，當時，.令，令，，所以在上單調遞增.因為，所以時，，單調遞減；時，，單調遞增.故，滿足條件；綜上：.21．已知，函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的極值；（2）若，當時，求證：．【解析】（1）因為，則，當時，對，，則在是增函數(shù)，此時函數(shù)不存在極值；當時，，令，解得，若，則，若，則，當時，取得極小值，所以當時，沒有極值點，當時，有一個極小值；（2）時，設，，求導得，設，，則，當且僅當時取“=”，于是得在單調遞增，，即，從而得在上單調遞增，因此有，即，所以在上恒成立.22．已知函數(shù).（1）若，討論函數(shù)的單調性；（2）已知，若在內有兩個零點，求的取值范圍.【解析】（1）的定義域為(0,+∞)，.當時，令，得到；令，得到，此時在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+∞)上為增函數(shù)；②當時，令，得到；令，得到或，此時在(a,1)上為減函數(shù)，在(0,a)和上為增函數(shù)；③當a=1時,顯然恒成立，此時在0,+∞)上為增函數(shù)；④當a>1時,令，得到；令，得到或.此時在(1,a)上為減函數(shù),在(0,1)和(a,+∞)上為增函數(shù).綜上：①當時，在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+∞)上為增函數(shù)；②當時，在(a,1)上為減函數(shù)，在(0,a)和上為增函數(shù)；③當a=1時，在0,+∞)上為增函數(shù)；④當a>1時，在(1,a)上為減函數(shù),在(0,1)和(a,+∞)上為增函數(shù).（2）在內有兩個零點，即關于x方程在上有兩個不相等的實數(shù)根.令則，令，則，顯然在上恒成立,故在上單調遞增.因為p(1)=0，所以當，有，即所以單調遞減；當，有，即所以單調遞增；因為，所以a的取值范圍23．已知函數(shù)滿足，且曲線在處的切線方程為．（1）求，，的值；（2）設函數(shù)，若在上恒成立，求的最大值．【解析】（1）由已知得，且函數(shù)的圖象過點，，則解得，，．（2）由（1）得．若在上恒成立，則在上恒成立，即在上恒成立，因為，所以，從而可得在上恒成立．令，則，令，則恒成立，在上為增函數(shù)．又，，所以存在，使得，得，且當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．則．又，所以，代入上式，得．又，所以．因為，且，所以，故的最大值為3．24．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意得，的定義域為，，當時，，函數(shù)在上單調遞增．當時，令，解得，時，，函數(shù)在上單調遞減；時，，函數(shù)在上單調遞增．綜上所述，當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增．（2）由題意得，求導得，設，求導可得，當時，，函數(shù)在上單調遞增，函數(shù)至多有一個極值點，不合題意．當時，令，解得，時，，函數(shù)在上單調遞增，時，，函數(shù)在上單調遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，為．因為函數(shù)有兩個極值點等價于函數(shù)有兩個不同的零點，所以，即，解得．當時，，，，，令，則，故在上單調遞增，，即，所以，又在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數(shù)有兩個極值點，所以實數(shù)的取值范圍是．25．已知函數(shù).(1)若關于的不等式恒成立，求的取值范圍；(2)若，是的兩個極值點，且，證明：.【解析】(1)因為恒成立，所以，即.令函數(shù)，則恒成立.令函數(shù)，則，當時，，當時，，時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，因為，所以在上單調遞增，所以等價于，即恒成立，令函數(shù)，則，當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，故的取值范圍是；(2)因為是的兩個極值點，所以是方程的兩個根，令，則，有（1）的討論可知，若存在兩個零點，，且，由，即，因為，所以，即需證恒成立，由可得，令，則，，所以等價于，即，令函數(shù)，，則，所以在上單調遞減，所以，即，故；26．已知函數(shù)，且0是的一個極值點．(1