第19講等比數(shù)列及其求和學(xué)校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.等比數(shù)列的概念(1)定義：如果數(shù)列{an}從第2項起，每一項與它的前一項之比都等于同一個常數(shù)q，即eq\f(an＋1,an)＝q恒成立，則稱{an}為等比數(shù)列，其中q稱為等比數(shù)列的公比.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).(2)等比中項：如果x，G，y是等比數(shù)列，則稱G為x與y的等比中項，且G2＝xy.2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；通項公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和.(1)若正整數(shù)s，t，p，q滿足s＋t＝p＋q，則as·at＝apaq，特別地，如果2s＝p＋q，則aeq\o\al(2,s)＝ap·aq.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.考點(diǎn)和典型例題1、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算【典例1-1】（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））在正項等比數(shù)列中，，且，則（

）A．1024 B．960 C．768 D．512【答案】A【詳解】解：依題意設(shè)公比為，且、，由，則，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以；故選：A【典例1-2】（2022·山東日照·三模）在公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為3的等比數(shù)列，則（

）A．14 B．34 C．41 D．86【答案】C【詳解】因?yàn)槌晒葹?的等比數(shù)列，可得，所以又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以公差，所以，所以，解得.故選：C.【典例1-3】（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（文））等比數(shù)列的前n項和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，所以，化為：，解得．故選：D【典例1-4】（2022·新疆喀什·高三期末（理））70周年國慶閱兵活動向全世界展示了我軍威武文明之師的良好形象，展示了科技強(qiáng)軍的偉大成就以及維護(hù)世界和平的堅定決心，在閱兵活動的訓(xùn)練工作中，不僅使用了北斗導(dǎo)航、電子沙盤、仿真系統(tǒng)、激光測距機(jī)、邁速表和高清攝像頭等新技術(shù)裝備，還通過管理中心對每天產(chǎn)生的大數(shù)據(jù)進(jìn)行存儲、分析，有效保證了閱兵活動的順利進(jìn)行，假如訓(xùn)練過程中第一天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為a，其后每天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量都是前一天的倍，那么訓(xùn)練n天產(chǎn)生的總數(shù)據(jù)量為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意可知每天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是以為首項，（）為公比的等比數(shù)列，所以訓(xùn)練n天產(chǎn)生的總數(shù)據(jù)量為，故選：D【典例1-5】（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知正項等比數(shù)列滿足，則的最小值為（

）A．16 B．24 C．32 D．8【答案】C【詳解】等比數(shù)列滿足，且公比，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故選：C.【典例1-6】（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測）如圖是標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)遠(yuǎn)視力表的一部分．最左邊一列“五分記錄”為標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力記錄，這組數(shù)據(jù)從上至下為等差數(shù)列，公差為；最右邊一列“小數(shù)記錄”為國際標(biāo)準(zhǔn)視力記錄的近似值，這組數(shù)據(jù)從上至下為等比數(shù)列，公比為．已知標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力準(zhǔn)確值為，則標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，以標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力為左邊數(shù)據(jù)組的等差數(shù)列的首項，其公差為-0.1，標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力為該數(shù)列第3項，標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力值1.0為右邊數(shù)據(jù)組的等比數(shù)列的首項，其公比為，因此，標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力值為該等比數(shù)列的第3項，其大小為.故選：D2、等比數(shù)列的判定與證明【典例2-1】（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）（多選）已知為數(shù)列的前項之和，且滿足，則下列說法正確的是（

）A．為等差數(shù)列 B．若為等差數(shù)列，則公差為2C．可能為等比數(shù)列 D．的最小值為0，最大值為20【答案】BCD【詳解】當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，，，整理得，當(dāng)時，若，可得，若，，可得數(shù)列為等比數(shù)列，；當(dāng)時，可得，數(shù)列為等差數(shù)列，若，可得，若，可得；故A錯誤；B正確；C正確；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故D正確.故選：BCD.【典例2-2】（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）（多選）著名的“河內(nèi)塔”問題中，地面直立著三根柱子，在1號柱上從上至下?從小到大套著n個中心帶孔的圓盤.將一個柱子最上方的一個圓盤移動到另一個柱子，且保持每個柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面，視為一次操作.設(shè)將n個圓盤全部從1號柱子移動到3號柱子的最少操作數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】將圓盤從小到大編為號圓盤，則將第號圓盤移動到3號柱時，需先將第號圓盤移動到2號柱，需次操作；將第號圓盤移動到3號柱需1次操作；再將號圓需移動到3號柱需次操作，故，，又，∴是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，即，∴.故選：AD.【典例2-3】（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）（多選）若正整數(shù)m．n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì)，對于正整數(shù)k，（k）是不大于k的正整數(shù)中與k互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)（k）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，．已知?dú)W拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果m，n互質(zhì)，那么，例如：，則（

）A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列不是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列的前n項和小于【答案】ABD【詳解】，A對；∵2為質(zhì)數(shù)，∴在不超過的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個數(shù)為，∴為等比數(shù)列，B對；∵與互質(zhì)的數(shù)為共有個，∴又∵=，∴一定是單調(diào)增數(shù)列，C錯；，的前n項和為，D對.故選：ABD．【典例2-4】（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和滿足．?dāng)?shù)列滿足，．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)求證：．【解析】(1)當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，整理得．所以，又，故．所以，即為等比數(shù)列．所以(2)由題意得，所以與同號，又因?yàn)椋?，即，即．所以?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得．令，，所以，兩式相減得：，所以，所以，所以．【典例2-5】（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足，.(1)若，求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【解析】(1)因?yàn)樗?，因?yàn)樗?/p>

所以所以

所以是首項和公比均為的等比數(shù)列.(2)由（1）易得：

因?yàn)樗运?、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【典例3-1】（2022·湖南·邵陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列滿足，若存在、，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，解得，因?yàn)?，則，，可得，由已知、，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故選：D.【典例3-2】（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列滿足，則的最大值為（

）A．64 B．128 C．256 D．512【答案】A【詳解】由，得.又，得.故.由，得，得，且.故當(dāng)或4時，取得最大值，即.故選：A.【典例3-3】（2022·河南省?？h第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知正項等比數(shù)列的前n項和為，且滿足，則公比q＝（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【詳解】由，則，所以，即，解得q＝3或q＝－1（舍去）．故選：D．【典例3-4】（2022·海南?？凇ざ＃┮阎獢?shù)列的各項均為正整數(shù)且互不相等，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列是等比數(shù)列；②數(shù)列是等比數(shù)列；③．注：如選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【解析】選擇①②為條件，③為結(jié)論．證明過程如下：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意知且．則，，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，展開整理得，所以，即．選擇①③為條件，②為結(jié)論，證明過程如下：設(shè)的公比為q，由題意知且．因?yàn)?，即，因?yàn)椋裕?，所以．因?yàn)椋?，所以是首項為，公比為的等比?shù)列．選擇②③為條件，①為結(jié)論，證明過程如下：設(shè)的公比為，由題意知且．則，所以，又因?yàn)椋?，所以．所以．?dāng)時，，所以，所以是首項為，