第二章直線和圓的方程全章綜合測(cè)試卷-提高篇一．選擇題1．如圖，已知直線PM、QP、QM的斜率分別為k1、k2、k3，則k1、k2A．k1<k2<k3 B．【解題思路】首先判斷三條直線的傾斜角，進(jìn)而根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可得出結(jié)論..【解答過(guò)程】由于直線PM的傾斜角為鈍角，QP、QM的傾斜角為銳角，當(dāng)傾斜角為銳角時(shí)，斜率為正，即k3>0,k又因?yàn)閮A斜角為0,π2時(shí)，傾斜角越大，斜率越大，即k32．已知A?1,2,B4,7，若過(guò)點(diǎn)C2,0的直線與線段A．?∞,?2C．?32，【解題思路】數(shù)形結(jié)合，計(jì)算kAC【解答過(guò)程】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C的直線與線段AB相交，kAC=2?0?1?2=?23，kBC=3．已知直線l1：ax?y+1=0A．不論a為何值時(shí)，l1與lB．當(dāng)a變化時(shí)，l1與l2分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0，C．不論a為何值，l1與l2都關(guān)于直線D．如果l1與l2交于點(diǎn)M，O【解題思路】根據(jù)直線垂直的條件可判斷A;求出直線l1與l2所過(guò)的定點(diǎn)，可判斷B；在l1上任取點(diǎn)(x,ax+1)，求出其關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)，判斷是否滿足l2方程，判斷C;求出l1與l【解答過(guò)程】對(duì)于A，a×1+(?1)×a=0恒成立，l1與l對(duì)于B，直線l1：ax?y+1=0，當(dāng)a變化時(shí)，x=0，y=1l2：x+ay+1=0，當(dāng)a變化時(shí)，x=?1，y=0對(duì)于C，在l1上任取點(diǎn)(x,ax+1)，a∈R，其關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為代入l2：x+ay+1=0對(duì)于D，聯(lián)立ax?y+1=0x+ay+1=0,解得x=?a?1a所以|MO|=(?a?1a2+1)2+(4．過(guò)定點(diǎn)A的直線a+1x?y+2=0與過(guò)定點(diǎn)B的直線x+a+1y?4a?2=0交于點(diǎn)P(P與A?BA．2 B．22 C．2 【解題思路】根據(jù)方程可得定點(diǎn)A、B，并且可判斷兩直線垂直，然后利用基本不等式可得.【解答過(guò)程】動(dòng)直線a+1x?y+2=0化為y=a+1x+2動(dòng)直線x+a+1y?4a?2=0化為(a+1)(y?4)+x+2=0，可知定點(diǎn)又(a+1)×1?1×(a+1)=0所以直線a+1x?y+2=0與直線x+a+1y?4a?2=0∴PA⊥PB,∴PA則S△PAB=1即△PAB面積的最大值為2.故選：C.5．如圖，已知兩點(diǎn)A(11,0),B0,112，從點(diǎn)P(1,0)射出的光線經(jīng)直線AB上的點(diǎn)M反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB上的點(diǎn)N反射后又回到點(diǎn)P，則直線MNA．4x?3y?3=0 B．4x+3y+4=0C．3x?4y+3=0 D．4x?3y+4=0【解題思路】分別求出點(diǎn)P關(guān)于直線x+2y?11=0與y軸的對(duì)稱點(diǎn)，從而得到結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意易得AB所在的直線方程為x+2y?11=0，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AB:x+2y?11=0的對(duì)稱點(diǎn)A1(a,b)，則b?0a?1×(?1點(diǎn)P關(guān)于直線AB對(duì)稱的點(diǎn)為A1(5,8)，點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為直線MN即直線A1A2，則直線MN的方程為y=6．關(guān)于x的方程1?x2=mx+1(m∈R)A．[?1,1] B．(?1,1) C．[?1,0)∪(0,1] D．(0,1]【解題思路】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線y=mx+1(m∈R)與x2+y【解答過(guò)程】令y=1?x2且?1≤x≤1，則x只需恒過(guò)(0,1)的直線y=mx+1(m∈R)與x2如上圖，當(dāng)y=mx+1與半圓相切時(shí)11+m2=1，得m=0，當(dāng)y=mx+1過(guò)當(dāng)y=mx+1過(guò)(1,0)時(shí)，m=?1，綜上，m∈[?1,0)∪(0,1].故選：C.7．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比MQMP=λλ>0,λ≠1，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為x2+y2=1，定點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)，P?A．6 B．7 C．10 D．11【解題思路】根據(jù)點(diǎn)M的軌跡方程可得Q?2,0，結(jié)合條件可得2【解答過(guò)程】設(shè)Qa,0，Mx,y，所以MQ=x?a2因?yàn)镸QMP=λ且λ=2，所以x?a2+y2x+所以4+2a3=0a2?13=1所以2MP+MB所以2MP+MB故選：C．8．在一個(gè)半圓中有兩個(gè)互切的內(nèi)切半圓，由三個(gè)半圓弧圍成“曲線三角形”，作兩個(gè)內(nèi)切半圓的公切線把“曲線三角形”分隔成兩塊，且被分隔的這兩塊中的內(nèi)切圓是同樣大小的，如圖，若AC=2CB，則陰影部分與最大半圓的面積比為（

）A．1081 B．2081 C．49【解題思路】設(shè)BC=2r，則AC=4r，AB=6r，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求出各點(diǎn)坐標(biāo)，由圓O與圓O3內(nèi)切，解得a=23r，由圓O與圓【解答過(guò)程】設(shè)BC=2r，則AC=4r，AB=6r，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則C（0，0），O1?2r,0，O?r,0設(shè)O3?a,t，O（圓O1，O3外切與勾股定理結(jié)合），得t=22ar由圓O與圓O3內(nèi)切，得?a+r2+同理r+b2?r?b2=得v=2br，由圓O與圓O4內(nèi)切，得解得b=23r．設(shè)陰影部分的面積為SS1=1二．多選題9．已知直線l1：x+ay?a=0和直線l2：ax?2a?3A．若l1∥l2，則a=1或?3 B．若l2在C．若l1⊥l2，則a=0或2 D．若l1∥【解題思路】由兩直線平行，即可求出a=?3，則可判斷出A選項(xiàng)，結(jié)合兩直線的距離公式即可判斷出D選項(xiàng)；由l2在x軸和y軸上截距相等等價(jià)于l2過(guò)原點(diǎn)或其斜率為?1，即可列出等式，解出a=0或2，則可判斷出B選項(xiàng)；由兩直線垂直，即可求出【解答過(guò)程】若l1∥l2，由1×3?2a經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a=1時(shí)，l1，l2重合，當(dāng)a=?3時(shí)，l1若l2在x軸和y軸上截距相等，則l2過(guò)原點(diǎn)或其斜率為?1，則a?2=0或a2a?3=?1，則a=2或a=1，故B錯(cuò)誤；若l1當(dāng)l1∥l2時(shí)，a=?3，則l1：x?3y+3=0即l2：x?3y+53=0，則l110．已知點(diǎn)A(0,2)，B(1,1)，且點(diǎn)P在圓C：(x?2)2+y2=4A．|PA|?|PB|的最大值為2B．以AC為直徑的圓與圓C的公共弦所在的直線方程為：x?y=0C．當(dāng)∠PAB最大時(shí)，△PAB的面積為2D．△PAB的面積的最大值為2【解題思路】依題意畫出圖象，判斷出B在圓內(nèi)，當(dāng)P為射線BC與圓C的交點(diǎn)時(shí)，|PA|?|PB|取得最大值A(chǔ)B，即可判斷A；求出以AC為直徑的圓再兩圓方程作差，即可求出公共弦所在直線方程，即可判斷B，當(dāng)AP與圓C相切時(shí)，∠PAB最大，求出三角形的面積，即可判斷C，求出直線AB的方程，可得C在AB上，即可得到P到AB的距離最大值，再求出AB，即可判斷D.【解答過(guò)程】解：圓C：(x?2)2+y2=4的圓心為C2,0，半徑r=2，又所以當(dāng)P為射線BC與圓C的交點(diǎn)時(shí)，|PA|?|PB|取得最大值A(chǔ)B=因?yàn)锽點(diǎn)恰好是A、C的中點(diǎn)，且AC=22+22=22，所以以AC為直徑的圓的方程為整理得x?y=0，故B正確；當(dāng)AP與圓C相切時(shí)，∠PAB最大，此時(shí)S△APB直線AB的方程為y=?x+2，又AB=0?12+2?1所以P到AB的距離最大值為r=2，所以S△PAB故選：ABD.11．已知圓C:x?22+y2=1，點(diǎn)P是直線l:x+y=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A．圓C上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為12 B．切線長(zhǎng)PA的最小值為C．四邊形ACBP面積的最小值為2 D．直線AB恒過(guò)定點(diǎn)3【解題思路】由圓心C到直線l：x+y=0的距離為2，可判定A錯(cuò)誤；由圓的切線長(zhǎng)PA=PC2?1，可判定B錯(cuò)誤；由四邊形ACBP的面積為S=2×12×【解答過(guò)程】由圓C:x?22+y2所以圓心C到直線l：x+y=0的距離為22因?yàn)??1<12<2+1，故圓由圓的性質(zhì)，可得切線長(zhǎng)PA=當(dāng)PC最小時(shí)，PA達(dá)到最小，又PCmin=2由四邊形ACBP的面積為2×12×設(shè)Pt,?t，由題知A,B在以PC為直徑的圓上，又由C2,0，所以即x2+y2?兩圓的方程相減得直線AB:2?tx+ty?3+2t=0，即由2x?3=0x?y?2=0，解得x=32，y=?12三．填空題12．過(guò)點(diǎn)A(1,1)且斜率為?m(m>0)的直線l與x，y軸分別交于點(diǎn)P，Q，過(guò)點(diǎn)P，Q作直線2x+y=0的垂線，垂足分別為R，S，則四邊形PRSQ面積的最小值為185【解題思路】設(shè)出直線l的方程，即可分別求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線PR和QS的方程，接著可求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q到直線2x+y=0的距離以及直線PS和直線QR的距離RS，最后利用梯形的面積公式即可得到四邊形PRSQ面積的表達(dá)式，利用基本不等式即可求最值.【解答過(guò)程】由已知得直線l的方程為y?1=?m(x?1)，則P1+1m,0，Q(0,1+m)，由此可得直線PR和QS的方程分別為x?2y?m+1m=0和x?2y+2(m+1)=0，點(diǎn)P到直線2x+y=0的距離為|PS|=2+2故S=1102當(dāng)且僅當(dāng)m=1m，即m=1時(shí)等號(hào)成立.故答案為：13．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)閤2+(y+2)2≤3，若將軍從點(diǎn)A(?4，0)【解題思路】先求出點(diǎn)A(?4，0)關(guān)于直線x+y?1=0的對(duì)稱點(diǎn)A'【解答過(guò)程】設(shè)點(diǎn)A(?4，0)關(guān)于直線x+y?1=0的對(duì)稱點(diǎn)A'(a,b)，則AA故ba+4?(?1)=?1a?42+b2要使從點(diǎn)A(?4，0)到軍營(yíng)總路程最短，即為點(diǎn)A'“將軍飲馬”的最短總路程為12+5+214．已知圓C：x－32＋y－42=4，直線l1上定點(diǎn)A1，0，若l1與圓相交于P，Q兩點(diǎn)線段PQ【解題思路】由條件通過(guò)聯(lián)立方程組求出M,N的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式表示AM?【解答過(guò)程】過(guò)點(diǎn)A1，0的斜率不存在的直線為x=1，聯(lián)立x即直線x=1與圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，與已知矛盾，過(guò)點(diǎn)A1，0的斜率為0的直線為y=0，聯(lián)立x－32＋所以直線l1斜率必定存在，且不為0，可設(shè)直線：l1:kx?y?k=0由x+2y+2=0,kx?y?k=0,得N2k?22k+1,?3k2k+1得Mk2+4k+31+=2|2k+1|四．解答題15．求過(guò)兩圓x2+y2?4=0【解題思路】先聯(lián)立兩圓的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)1,3和1,?解法一：易得所求圓的圓心在x軸上，結(jié)合圓心在直線上可得圓心，進(jìn)而求得半徑即可；解法二：設(shè)所求圓的方程為x2+y2?4+λ【解答過(guò)程】解法一：聯(lián)立得x2+y2?4=0所以點(diǎn)1,3和1,?3都在所求圓上，所以所求圓的圓心在又圓心在直線x?3y?6=0上，所以所求圓的圓心為（6，0），半徑所以所求圓的方程為x?62解法二：設(shè)所求圓的方程為x2整理得x2+y因?yàn)閳A心2λ1+λ,0在直線x?3y?6=0上，所以所以所求圓的方程為x216．已知三條直線l1：2x?y+1=0，l2：3x+y?6=0，l3：kx?y+k+1=0(1)若l1，l2，l3(2)若l1，l2，l3(3)若l1，l2，l3【解題思路】(1)由二條已知直線求交點(diǎn)，代入第三條直線即可；(2)不能圍成一個(gè)三角形，l3(3)由直線互相垂直得，斜率之積為-1.【解答過(guò)程】(1)顯然l1，l2相交，由{2x?y+1=0,由點(diǎn)(1,3)代入l3得k=1所以當(dāng)l1，l2，l(2)l3過(guò)定點(diǎn)(?1，1)，因?yàn)閘1，l2，l3不能圍成三角形，所以(1,3)∈l3，或所以k=1，或k=2，或k=?3.(3)顯然l1與l2不垂直，所以(1,3)?l3，且l1⊥l3或l17．在①直線BC的斜率為33；②直線AC的斜率為3已知以角A為頂角的等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A?1,2(1)求直線AC的一般式方程；(2)求直線BC的一般式方程；(3)求角A的角平分線所在直線的一般式方程．【解題思路】先判斷出AB∥x軸，選①：根據(jù)斜率的定義數(shù)形結(jié)合可得AC的傾斜角為60°；選②：直線AC的斜率為3可推出得AC的傾斜角為60°，可得直線BC的傾斜角為30°或120°．（1）根據(jù)點(diǎn)斜式求解AC的方程，再化成一般式即可；（2）根據(jù)點(diǎn)斜式求解BC的方程，再化成一般式即可；（3）數(shù)形結(jié)合可得角A的角平分線所在直線的傾斜角，再根據(jù)點(diǎn)斜式求解，進(jìn)而化簡(jiǎn)成一般式即可.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锳?1,2,B?3,2選①：直線BC的斜率為33，則直線BC的傾斜角為30°，因?yàn)椤鰽BC是以角A為頂角的等腰三角形，所以直線AC因?yàn)锳（－1，2），AC的傾斜角為60°，所以直線AC的方程為y?2=3x+1，其一般式方程為選②：直線AC的斜率為3，則直線AC的傾斜角為60°，因?yàn)椤鰽BC是以角A為頂角的等腰三角形，所以直線BC的傾斜角為30°或120°，如圖所示：因?yàn)锳（－1，2），AC的斜率為3，所以直線AC的方程為y?2=3其一般式方程為3x?y+2+（2）選①：因?yàn)锽（－3，2），直線BC的傾斜角為30°，所以直線BC的方程為y?2=3其一般式方程為3x?3y+6+3選②：因?yàn)锽（－3，2），直線BC的傾斜角為30°或120°，所以直線BC的方程為y?2=33x+3或y?2=?3x+3（3）選①：由（2）可知，角A的角平分線所在直線的傾斜角為120°，斜率為?3所以角A的角平分線所在直線的方程為y?2=?3x+1，其一般式方程為選②：由題意可知，角A的角平分線所在直線的傾斜角為120°或30°，其斜率為?3或3所以角A的角平分線所在直線的方程為y?2=?3x+1或其一般式方程為3x+y?2+3=018．已知圓C過(guò)點(diǎn)A4,0，B0,4，且圓心C在直線l：(1)求圓C的方程；(2)若從點(diǎn)M4,1發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)直線y=?x反射，反射光線l1恰好平分圓C的圓周，求反射光線(3)若點(diǎn)Q在直線l上運(yùn)動(dòng)，求QA【解題思路】（1）由題意可求線段AB的中垂線方程，聯(lián)立直線方程可得圓心，進(jìn)而可得半徑與圓的方程；（2）由l1恰好平分圓C的圓周，得l1經(jīng)過(guò)圓心C，求點(diǎn)M關(guān)于直線y=?x的對(duì)稱點(diǎn)N，求出直線CN即為（3）由題意設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為m,6?m，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得QA【解答過(guò)程】（1）由A4,0，B0,4，得直線AB的斜率為kAB所以kCD=1，直線CD的方程為y?2=x?2，即聯(lián)立x+y?6=0y=x，解得x=3y=3，即C3,3所以圓