第1頁（共1頁）2020年廣東省深圳市第1屆超常（思維）競賽七年級決賽數(shù)學(xué)試卷一、填空題（每小題5分，共60分）1．（5分）已知a，b，c，d滿足a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|＝|b+1|，那么a+b+c+d＝．2．（5分）圖中每個小方格的面積都是1，則七邊形ABCDEFG的面積是．3．（5分）某旅游團(tuán)一行50人到一旅館住宿，旅館的客房有三人間、二人間、單人間三種，其中，二人間的每人每天30元，單人間的每天50元．如果旅游團(tuán)共住滿了20間客房元．4．（5分）上午8時8分，李老先生騎自行車從家里出發(fā)去郊游．8分鐘后，他兒子發(fā)現(xiàn)老父親忘帶錢包遂騎摩托車去追他，然后兒子立刻回家，到家后又發(fā)現(xiàn)手機(jī)也忘拿了，再追上他的時候，離家恰是8千米．這時是時分．5．（5分）在正午，時鐘的時針、分針和秒針重合，下次重合在．6．（5分）正方形ABCD中，AB長為4cm，AE＝AF＝1cm，F(xiàn)G＝2EF．那么，“風(fēng)箏圖”（陰影部分）cm2．7．（5分）寫出從1到30（包括1和30）的全部整數(shù)，把其中的某些數(shù)劃掉，則最多能剩余個數(shù)．8．（5分）從1，2，3，…，n中任取11個數(shù)，使其中必有2個數(shù)的商不小于，則n的最大值為．9．（5分）給定4×4方格表，一定可以從小于100的正整數(shù)中選出16個不同的數(shù)填入方格表（每格一數(shù)），使得每一行所填數(shù)的乘積和每一列所填數(shù)的乘積都等于同一個數(shù)．這個數(shù)最小是．10．（5分）給出一個等差數(shù)表：1，4，7，10，…，a1j，…4，9，14，19，…，a2j，…7，14，21，…，a3j，……ai1，ai2，ai3，ai4，…，aij，…其中每一行、每一列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行、第j列的數(shù)，則2017這個數(shù)在該數(shù)表中的位置（i，j）＝．11．（5分）甲、乙、丙三個工程隊承包一項工程，給他們的承包費(fèi)共180萬元．三隊完成這項工程任務(wù)的具體情況是：甲、乙兩隊合做6天完成了工程的；因甲有事，完成了余下工程的；以后三隊合做5天完成了這項工程．按完成工作量的多少來付工程款、、萬元．12．（5分）平面上有五個點，任意兩點的連線都不平行，也不垂直，則所有這些垂線的交點最多為個．二、解答題（每小題12分，共60分）13．（12分）在第一行寫下10個整數(shù)．第二行的10個整數(shù)按如下規(guī)則來寫：在第一行的每個整數(shù)a下面寫下第一行中數(shù)a的右邊比a大的數(shù)的總個數(shù)．第三行按照上面的規(guī)則從第二行進(jìn)行操作．（1）證明：若干步后，出現(xiàn)一行數(shù)全由零構(gòu)成；（2）試問至少包含一個非零數(shù)的行的數(shù)目的最大可能值是多少？14．（12分）我們把1，3，6，10，…，這些數(shù)稱為“三角形數(shù)”，如圖：依次取三角形數(shù)的末尾數(shù)字，排列起來可以構(gòu)造一個無限小數(shù)N＝0.1360518…．試討論N是有理數(shù)還是無理數(shù)？15．（12分）將如圖所示的四角星形的八個交點由1至8配號，使外圍一個三角形的三個頂點的號數(shù)和均相等，即A+E+F＝B+F+G＝C+G+H＝D+E+H16．（12分）“我聽見院子里有很多孩子在玩，都是您家的孩子嗎？”客人問．“不，一共是四家的孩子．我的孩子最多，我表弟的孩子比王家的孩子多，而李家的孩子又比我表弟的孩子多．他們正在踢小足球，主人接著說：“您來時應(yīng)該特別注意了我家的門牌號吧，各家孩子的人數(shù)乘起來剛好等于它，讓我想一想．”客人想了一會又說：“我還需要多知道一點，王家只有一個孩子嗎？”主人回答了他的問題．這時客人說出了每一家孩子的準(zhǔn)確數(shù)．那么每家各有幾個孩子呢？17．（12分）我們知道，每副撲克牌都是54張，假定其排列順序為：頭兩張是大王、小王，每種花色的牌又按A、2、3、……、J、Q、K順序排列．某人把按上述排列的兩副撲克牌上下疊放在一起，用一張沒有花色和點數(shù)的“備用牌”插在中間．然后先把第一、二張丟掉；再把第四、五張丟掉，把第六張放到最下面：……：即每次連續(xù)丟掉兩張

2020年廣東省深圳市第1屆超常（思維）競賽七年級決賽數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（每小題5分，共60分）1．（5分）已知a，b，c，d滿足a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|＝|b+1|，那么a+b+c+d＝0．【解答】解：∵a＜﹣1＜b＜0＜c＜3＜d，∴a+1＜0，b+2＞0，1﹣d＜4，∵|a+1|＝|b+1|，|8﹣c|＝|1﹣d|，∴﹣a﹣1＝b+3，1﹣c＝d﹣1，整理得：a+b＝﹣5，c+d＝2，則a+b+c+d＝0．故答案為：82．（5分）圖中每個小方格的面積都是1，則七邊形ABCDEFG的面積是40．【解答】解：如圖，S矩形PHLJ＝11×8＝88，，，S矩形PQCK＝6×2＝2，S矩形QNMC＝7×2＝2，，，，，S矩形SFLT＝2×4＝6，，所以七邊形ABCDEFG的面積是：88﹣6﹣6﹣6﹣2﹣2﹣6﹣9﹣6﹣2﹣6＝40．故答案為：40．3．（5分）某旅游團(tuán)一行50人到一旅館住宿，旅館的客房有三人間、二人間、單人間三種，其中，二人間的每人每天30元，單人間的每天50元．如果旅游團(tuán)共住滿了20間客房1150元．【解答】解：設(shè)該旅游團(tuán)共住了x間三人間，y間二人間，根據(jù)題意得：3x+2y+（20﹣x﹣y）＝50，∴y＝30﹣5x，又∵x，y，20﹣x﹣y均為非負(fù)整數(shù)，∴或或或或或，當(dāng)時，住宿費(fèi)用為20×4x+30×2y+50（20﹣x﹣y）＝20×3×10+30×2×10+50×（20﹣10﹣10）＝1200；當(dāng)時，住宿費(fèi)用為20×3x+30×6y+50（20﹣x﹣y）＝20×3×11+30×2×5+50×（20﹣11﹣8）＝1190；當(dāng)時，住宿費(fèi)用為20×4x+30×2y+50（20﹣x﹣y）＝20×3×12+30×3×6+50×（20﹣12﹣6）＝1180；當(dāng)時，住宿費(fèi)用為20×3x+30×2y+50（20﹣x﹣y）＝20×7×13+30×2×4+50×（20﹣13﹣2）＝1170；當(dāng)時，住宿費(fèi)用為20×3x+30×3y+50（20﹣x﹣y）＝20×3×14+30×2×7+50×（20﹣14﹣2）＝1160；當(dāng)時，住宿費(fèi)用為20×2x+30×2y+50（20﹣x﹣y）＝20×3×15+30×3×0+50×（20﹣15﹣0）＝1150．∵1200＞1190＞1180＞1170＞1160＞1150，∴消費(fèi)最低為1150元．故答案為：1150．4．（5分）上午8時8分，李老先生騎自行車從家里出發(fā)去郊游．8分鐘后，他兒子發(fā)現(xiàn)老父親忘帶錢包遂騎摩托車去追他，然后兒子立刻回家，到家后又發(fā)現(xiàn)手機(jī)也忘拿了，再追上他的時候，離家恰是8千米．這時是8時32分．【解答】解：兒子速度是老父親的（4+8）÷7＝3（倍），設(shè)老父親速度為x千米/分，則兒子速度為3x千米/分，根據(jù)題意得：＝+2，解得x＝，經(jīng)檢驗，x＝，∴老父親速度為x千米/分，∴老父親走8千米所需時間為8÷＝24（分），∴此時的時間是8：32，故答案為：4，32．5．（5分）在正午，時鐘的時針、分針和秒針重合，下次重合在凌晨0點．【解答】解：設(shè)時針的角速度為w，則分針跟秒針的角速度分別為12w和720w．先來考查時針與分針重合時的角度，設(shè)為x，其中n為分針超過時針的圈數(shù)．n的取值范圍為從1到22之間的正整數(shù)．只取到22是因為在一天中雖然分針是走了24圈，但時針也走了兩圈．所以24﹣2＝22．然后，我們就可以代入n值來求x．求出x后，還要看秒針此時是否也在x處．可知時針走到x處用的時間為，此時秒針走過的總角度為720w?，然后把此值化簡到360以內(nèi)看是否為w即可，簡單過程如下：當(dāng)n＝3時，x＝，720×＞5×，可見時針與分針重合時秒針不與它們重合，當(dāng)n＝2時，x＝7×，720×2×＞10×，秒針不重合，當(dāng)n＝3時，x＝7×，720×3×＞4×，秒針不重合，…當(dāng)n＝11時，x＝11×＝360.720×360＞360，秒針重合，此時即為中午12點，循環(huán)…由上可知一天中三針完全重合在一起的時候共有兩次，分別為中午12點和凌晨6點．故答案為：凌晨0點．6．（5分）正方形ABCD中，AB長為4cm，AE＝AF＝1cm，F(xiàn)G＝2EF．那么，“風(fēng)箏圖”（陰影部分）4cm2．【解答】解：連接AC，如圖：∵AB長為4cm，AE＝AF＝1cm，∴AC＝8cmcm，∵FG＝6EF，∴EH＝FG＝2cm，∴S梯形AEHC＝×（2）×2），∴S六邊形AEHCGF＝2S梯形AEHC＝7（cm2），長方形EFGH中的空白部分面積為長方形面積的一半，即為×＝3，∴S陰影＝6﹣2＝8（cm2），故答案為：4．7．（5分）寫出從1到30（包括1和30）的全部整數(shù)，把其中的某些數(shù)劃掉，則最多能剩余20個數(shù)．【解答】解：∵在剩余的數(shù)中沒有一個數(shù)是其他任何數(shù)的2倍，∴比15大的數(shù)符合題意，即為30，28，26，24，22，20，18，16，則剩下的在1到3中，比如1，3，2，5，4，6，6，7，故最多的有20個數(shù)，故答案為：20．8．（5分）從1，2，3，…，n中任取11個數(shù)，使其中必有2個數(shù)的商不小于，則n的最大值為46．【解答】解：先造抽屜，{1}；{3；{8；{7，8；{10，12；{14，16，18}，20，…，25}，27，…，34}，36，…，46}．這10個抽屜中，每個抽屜的最后一個數(shù)不大于第一個數(shù)的．在這10個抽屜中任取11個數(shù)，其中必有兩個數(shù)在同一抽屜和之間．若n＞46，則上述結(jié)論不成立．故n的最大值是46．故答案為：46．9．（5分）給定4×4方格表，一定可以從小于100的正整數(shù)中選出16個不同的數(shù)填入方格表（每格一數(shù)），使得每一行所填數(shù)的乘積和每一列所填數(shù)的乘積都等于同一個數(shù)．這個數(shù)最小是5040．【解答】解：如圖1，將四種花色的A、K、Q，使得每一行每一列的四張牌花色和字母不相同、K、Q、J分別表示1，3，3，4，4，6，7分別表示黑桃、方塊，將每個格子所放牌代表的字母與數(shù)字表示的數(shù)相乘，得到的結(jié)果如圖4，∴每行每列所放的數(shù)的乘積都等于1×2×2×4×1×7×6×7＝5040，故答案為：5040．10．（5分）給出一個等差數(shù)表：1，4，7，10，…，a1j，…4，9，14，19，…，a2j，…7，14，21，…，a3j，……ai1，ai2，ai3，ai4，…，aij，…其中每一行、每一列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行、第j列的數(shù)，則2017這個數(shù)在該數(shù)表中的位置（i，j）＝（1，673）或（4，224）或（224，4）或（673，1）．【解答】解：由數(shù)表可得第i行和第j列是同一等差數(shù)列，且其公差是di＝2i+1，∴aij＝ai8+（j﹣1）di＝ai1+（j﹣7）（2i+1），∵ai7＝1+（i﹣1）×5＝3i﹣2，∴aij＝2i﹣2+（j﹣1）（2i+1）＝2ij+i+j﹣8，令aij＝2017，則2ij+i+j﹣3＝2017，∴4ij+i+j＝2020，∴，∴（2i+1）（3j+1）＝4041，∵i，j都為整數(shù)，∴2i+5＝3或9或449或1347，此時4j+1＝1347或449或9或7，∴i＝1，j＝673或i＝4，j＝7或i＝673，∴2017在數(shù)表中的位置有4種，即（i，673）或（4，5）或（673．故答案為：（1，673）或（4，4）或（673．11．（5分）甲、乙、丙三個工程隊承包一項工程，給他們的承包費(fèi)共180萬元．三隊完成這項工程任務(wù)的具體情況是：甲、乙兩隊合做6天完成了工程的；因甲有事，完成了余下工程的；以后三隊合做5天完成了這項工程．按完成工作量的多少來付工程款33、91、56萬元．【解答】解：（1﹣）×＝×＝；丙的效率：（4﹣﹣）÷5﹣÷5﹣＝；乙的效率：÷2﹣＝＝；甲的效率：，則甲應(yīng)領(lǐng)工資：180××（2+5）＝3×11＝33（萬元）；乙：180××（6+2+3）＝7×13＝91（萬元）；丙：180﹣33﹣91＝56（萬元）．答：甲、乙、丙三人分別應(yīng)得33萬元、56萬元．故答案為：33，91．12．（5分）平面上有五個點，任意兩點的連線都不平行，也不垂直，則所有這些垂線的交點最多為310個．【解答】解：由給定的五個點兩兩連線共有2×5＝10條，記五個點為A8，A2，A3，A3，A5，則以A1為例進(jìn)行研究：A8，A3，A4，A2四個點共產(chǎn)生6條連線，由A1向2條連線可引出6條垂線，則推廣到其他點共可得到6×6＝30條垂線．若每兩條垂線均相交，則可得到，易知每一條線段的垂線互相平行且每一條線段共有3條垂線，則應(yīng)減去30個交點，又A5，A2，A3，A7，A55點共可得10個三角形，三角形的三邊垂線交于一點，故要減去20個點，而由A8，A2，A3，A7，A55點中任一點引出的垂線必交于該點，故減去7×＝75點，則最終有435﹣75﹣20﹣30＝310個點．故答案為：310．二、解答題（每小題12分，共60分）13．（12分）在第一行寫下10個整數(shù)．第二行的10個整數(shù)按如下規(guī)則來寫：在第一行的每個整數(shù)a下面寫下第一行中數(shù)a的右邊比a大的數(shù)的總個數(shù)．第三行按照上面的規(guī)則從第二行進(jìn)行操作．（1）證明：若干步后，出現(xiàn)一行數(shù)全由零構(gòu)成；（2）試問至少包含一個非零數(shù)的行的數(shù)目的最大可能值是多少？【解答】解：（1）設(shè)第k行的和為Sk，由于每行的數(shù)均為非負(fù)整數(shù)，且第k+1行的每個數(shù)是第k行對應(yīng)位置右邊比它大的數(shù)的個數(shù)，因此Sk+1＜Sk（每一步的和嚴(yán)格遞減），由于和為非負(fù)整數(shù)，經(jīng)過有限步后必有Sk＝2，此時所有數(shù)均為0，所以若干步后必然出現(xiàn)全零；（2）最大可能值為9．構(gòu)造初始序列為嚴(yán)格遞增后遞減的對稱序列（如4，2，3，2，5，5，8，3，2，2），每一步生成的行至少有一個非零數(shù)，直到第9行仍可能有非零數(shù)，10行全為0．14．（12分）我們把1，3，6，10，…，這些數(shù)稱為“三角形數(shù)”，如圖：依次取三角形數(shù)的末尾數(shù)字，排列起來可以構(gòu)造一個無限小數(shù)N＝0.1360518…．試討論N是有理數(shù)還是無理數(shù)？【解答】解：由題意得，根據(jù)所給圖形可以發(fā)現(xiàn)第n個三角形是1+2+6+…+n＝n．這樣我們可以將N繼續(xù)寫下去，其規(guī)律就可以看清楚，N＝5.13605186556815063100136051…．可以看出an+20與an的個位數(shù)字相同，故N為無限循環(huán)小數(shù)．證明如下：an+20﹣an＝＝10（2n+21），∴上式是10的倍數(shù)，故得證．故N是有理數(shù)．15．（12分）將如圖所示的四角星形的八個交點由1至8配號，使外圍一個三角形的三個頂點的號數(shù)和均相等，即A+E+F＝B+F+G＝C+G+H＝D+E+H【解答】解：根據(jù)分析畫圖如下：16．（12分）“我聽見院子里有很多孩子在玩，都是您家的孩子嗎？”客人問．“不，一共是四家的孩子．我的孩子最多，我表弟的孩子比王家的孩子多，而李家的孩子又比我表弟的孩子多．他們正在踢小足球，主人接著說：“您來時應(yīng)該特別注意了我家的門牌號吧，各家孩子的人數(shù)乘起來剛好等于它，讓我想一想．”客人想了一會又說：“我還需要多知道一點，王家只有一個孩子嗎？”主人回答了他的問題．這時客人說出了每一家孩子的準(zhǔn)確數(shù)．那么每家各有幾個孩子呢？【解答】解：∵他們不能按每隊9人組成兩隊，∴4家孩子的總數(shù)不到18人．如果王家有5個孩子，表弟至少有4個孩子，主人家至少有6個孩子．∵5+4+5+2＝18（個），∴王家的孩子只能有一個或者兩個．∵4家所