概統(tǒng)期末考試題及答案概率統(tǒng)計期末考試題一、選擇題（每題3分，共15分）1.設(shè)事件$A$與$B$互不相容，且$P(A)>0$，$P(B)>0$，則有（）A.$P(A\overline{B})=P(A)$B.$P(AB)=P(A)P(B)$C.$P(A\cupB)=1$D.$P(\overline{A}\overline{B})=0$2.設(shè)隨機變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，且$P\{X=1\}=P\{X=2\}$，則$\lambda$等于（）A.1B.2C.3D.43.設(shè)隨機變量$X$的概率密度為$f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&其他\end{cases}$，則$E(X)$等于（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.14.設(shè)總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，$\overline{X}$為樣本均值，則$\overline{X}$服從的分布為（）A.$N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$B.$N(\mu,\sigma^{2})$C.$N(0,1)$D.$N(n\mu,n\sigma^{2})$5.在假設(shè)檢驗中，記$H_0$為原假設(shè)，$H_1$為備擇假設(shè)，則犯第一類錯誤是指（）A.$H_0$為真，接受$H_0$B.$H_0$為假，接受$H_0$C.$H_0$為真，拒絕$H_0$D.$H_0$為假，拒絕$H_0$二、填空題（每題3分，共15分）1.已知$P(A)=0.3$，$P(B)=0.4$，$P(AB)=0.1$，則$P(A\cupB)=$______。2.設(shè)隨機變量$X$服從區(qū)間$[0,2]$上的均勻分布，則$P\{0.5<X<1.5\}=$______。3.設(shè)隨機變量$X$和$Y$的方差分別為$D(X)=25$，$D(Y)=36$，相關(guān)系數(shù)$\rho_{XY}=0.4$，則$D(X+Y)=$______。4.設(shè)總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$已知，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，$\overline{X}$為樣本均值，則$\mu$的置信水平為$1\alpha$的置信區(qū)間為______。5.設(shè)總體$X$的概率密度為$f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x>0\\0,&x\leqslant0\end{cases}$，其中$\theta>0$為未知參數(shù)，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，則$\theta$的矩估計量為______。三、解答題（共70分）1.（10分）某工廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，各車間的產(chǎn)量分別占全廠總產(chǎn)量的25%，35%，40%，各車間的次品率分別為5%，4%，2%?，F(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，求：（1）取到次品的概率；（2）若取到的是次品，求該次品是由甲車間生產(chǎn)的概率。2.（10分）設(shè)隨機變量$X$的分布函數(shù)為$F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\Ax^{2},&0\leqslantx<1\\1,&x\geqslant1\end{cases}$。（1）求常數(shù)$A$；（2）求$X$的概率密度$f(x)$；（3）求$P\{0.2<X<0.8\}$。3.（10分）設(shè)二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度為$f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+2y)},&x>0,y>0\\0,&其他\end{cases}$。（1）求$X$和$Y$的邊緣概率密度$f_X(x)$和$f_Y(y)$；（2）判斷$X$和$Y$是否相互獨立。4.（15分）設(shè)隨機變量$X$的概率密度為$f(x)=\begin{cases}kx(1x),&0<x<1\\0,&其他\end{cases}$。（1）求常數(shù)$k$；（2）求$E(X)$和$D(X)$；（3）設(shè)$Y=2X+1$，求$E(Y)$和$D(Y)$。5.（10分）設(shè)總體$X\simN(\mu,1)$，$X_1,X_2,\cdots,X_{16}$是來自總體$X$的樣本，樣本均值$\overline{X}=5$。（1）求$\mu$的置信水平為0.95的置信區(qū)間；（2）若要使$\mu$的置信水平為0.95的置信區(qū)間長度不超過1，樣本容量$n$至少應取多大？（已知$z_{0.025}=1.96$）6.（15分）某廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，由以往經(jīng)驗知其強力標準差穩(wěn)定在$\sigma=7.5$公斤?，F(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取25件，測得其強力的平均值為282公斤。問：能否認為這批產(chǎn)品的強力均值為280公斤？（$\alpha=0.05$，$z_{0.025}=1.96$）答案一、選擇題1.答案：A因為$A$與$B$互不相容，所以$AB=\varnothing$，則$A\overline{B}=A$，所以$P(A\overline{B})=P(A)$，故A正確；$AB=\varnothing$，$P(AB)=0$，而$P(A)P(B)>0$，B錯誤；$P(A\cupB)=P(A)+P(B)$不一定等于1，C錯誤；$P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A\cupB})=1P(A\cupB)\neq0$，D錯誤。2.答案：B已知$X\simP(\lambda)$，則$P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，由$P\{X=1\}=P\{X=2\}$可得$\frac{\lambda^{1}e^{-\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{-\lambda}}{2!}$，即$\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}$，因為$\lambda>0$，所以$\lambda=2$。3.答案：B根據(jù)期望公式$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$，可得$E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=\frac{2}{3}x^{3}\big|_{0}^{1}=\frac{2}{3}$。4.答案：A若總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，則$\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。5.答案：C第一類錯誤是指$H_0$為真，拒絕$H_0$。二、填空題1.答案：0.6根據(jù)概率的加法公式$P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.40.1=0.6$。2.答案：0.5若$X\simU[0,2]$，則其概率密度為$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2},&0\leqslantx\leqslant2\\0,&其他\end{cases}$，$P\{0.5<X<1.5\}=\int_{0.5}^{1.5}\frac{1}{2}dx=0.5$。3.答案：85根據(jù)公式$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}$，可得$D(X+Y)=25+36+2\times0.4\times\sqrt{25\times36}=85$。4.答案：$(\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$這是正態(tài)總體在$\sigma^{2}$已知時，$\mu$的置信水平為$1\alpha$的置信區(qū)間公式。5.答案：$\overline{X}$先求總體的一階矩$E(X)=\int_{0}^{+\infty}x\cdot\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}dx=\theta$，令$E(X)=\overline{X}$，可得$\theta$的矩估計量為$\overline{X}$。三、解答題1.解：設(shè)$A_1$，$A_2$，$A_3$分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，$B$表示取到次品。（1）由全概率公式$P(B)=\sum_{i=1}^{3}P(A_i)P(B|A_i)$$P(A_1)=0.25$，$P(B|A_1)=0.05$；$P(A_2)=0.35$，$P(B|A_2)=0.04$；$P(A_3)=0.4$，$P(B|A_3)=0.02$。$P(B)=0.25\times0.05+0.35\times0.04+0.4\times0.02=0.0345$。（2）由貝葉斯公式$P(A_1|B)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}=\frac{0.25\times0.05}{0.0345}=\frac{25}{69}\approx0.362$。2.解：（1）因為$F(x)$在$x=1$處連續(xù)，所以$\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}Ax^{2}=1$，即$A\times1^{2}=1$，解得$A=1$。（2）$f(x)=F^\prime(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&其他\end{cases}$。（3）$P\{0.2<X<0.8\}=F(0.8)-F(0.2)=0.8^{2}-0.2^{2}=0.6$。3.解：（1）$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy=\begin{cases}\int_{0}^{+\infty}2e^{-(x+2y)}dy,&x>0\\0,&x\leqslant0\end{cases}=\begin{cases}e^{-x},&x>0\\0,&x\leqslant0\end{cases}$$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx=\begin{cases}\int_{0}^{+\infty}2e^{-(x+2y)}dx,&y>0\\0,&y\leqslant0\end{cases}=\begin{cases}2e^{-2y},&y>0\\0,&y\leqslant0\end{cases}$（2）因為$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，所以$X$和$Y$相互獨立。4.解：（1）由$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$，即$\int_{0}^{1}kx(1x)dx=1$，$\int_{0}^{1}(kxkx^{2})dx=1$，$(\frac{k}{2}x^{2}-\frac{k}{3}x^{3})\big|_{0}^{1}=1$，$\frac{k}{2}-\frac{k}{3}=1$，解得$k=6$。（2）$E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot6x(1x)dx=\int_{0}^{1}(6x^{2}-6x^{3})dx=(2x^{3}-\frac{3}{2}x^{4})\big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}$。$E(X^{2})=\int_{0}^{1}x^{2}\cdot6x(1x)dx=\int_{0}^{1}(6x^{3}-6x^{4})dx=(\frac{3}{2}x^{4}-\frac{6}{5}x^{5})\big|_{0}^{1}=\frac{3}{10}$。$D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=\frac{3}{10}-\frac{1}{4}=\frac{1}{20}$。（3）$E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=2\times\frac{1}{2}+1=2$。$D(Y)=D(2X+1)=4D(X)=4\times\frac{1}{20}=\frac{1}{5}$。5.解：（1）因為總體$X\simN(\mu,1)$，$\sigma=1$，$n=16$，$\overline{X}=5$，$\mu$的置信水平為$1-\alpha=0.95$的置信區(qū)間為$(\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$，$z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.025}=1.96$，則置信區(qū)間為$(51.96\time