金城學(xué)院期末考試題及答案金城學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》期末考試題一、選擇題（每題3分，共15分）1.函數(shù)$y=\frac{1}{\ln(x1)}$的定義域是（）A.$(1,+\infty)$B.$(0,1)\cup(1,+\infty)$C.$(1,2)\cup(2,+\infty)$D.$(2,+\infty)$2.設(shè)$f(x)$在$x=x_0$處可導(dǎo)，則$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)f(x_0)}{h}$等于（）A.$f'(x_0)$B.$2f'(x_0)$C.$\frac{1}{2}f'(x_0)$D.以上都不對3.曲線$y=x^33x^2+1$在點$(1,-1)$處的切線方程為（）A.$y=-3x+2$B.$y=3x4$C.$y=-4x+3$D.$y=4x5$4.$\intx\cosxdx$等于（）A.$x\sinx+\cosx+C$B.$x\sinx\cosx+C$C.$-x\sinx+\cosx+C$D.$-x\sinx\cosx+C$5.已知級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂，$S_n$是它的前$n$項和，則$\lim\limits_{n\to\infty}S_n$（）A.可能存在B.一定存在C.一定不存在D.以上都不對二、填空題（每題3分，共15分）1.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=$______。2.設(shè)$y=e^{2x}$，則$y^{(n)}=$______。3.函數(shù)$y=x^22x+3$在區(qū)間$[0,3]$上的最小值是______。4.$\int_{0}^{1}e^xdx=$______。5.微分方程$y'+2y=0$的通解是______。三、計算題（每題10分，共50分）1.求$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}$。2.設(shè)$y=\ln(1+x^2)$，求$y'$。3.計算$\int_{0}^{2}(x^2+1)dx$。4.求由曲線$y=x^2$和$y=\sqrt{x}$所圍成的平面圖形的面積。5.求微分方程$y''3y'+2y=0$的通解。四、應(yīng)用題（20分）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元。已知總收益$R$是年產(chǎn)量$Q$的函數(shù)$R(Q)=\begin{cases}400Q\frac{1}{2}Q^2,&0\leqQ\leq400\\80000,&Q>400\end{cases}$，求：1.總成本函數(shù)$C(Q)$。2.總利潤函數(shù)$L(Q)$。3.年產(chǎn)量為多少時，總利潤最大？并求出最大利潤。答案一、選擇題1.答案：C解析：要使函數(shù)$y=\frac{1}{\ln(x1)}$有意義，則$x1>0$且$\ln(x1)\neq0$，即$x>1$且$x1\neq1$，解得$x>1$且$x\neq2$，所以定義域為$(1,2)\cup(2,+\infty)$。2.答案：B解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)f(x_0)}{h}=2\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)f(x_0)}{2h}=2f'(x_0)$。3.答案：A解析：先對$y=x^33x^2+1$求導(dǎo)得$y'=3x^26x$，將$x=1$代入導(dǎo)數(shù)得切線斜率$k=3\times1^26\times1=-3$，再根據(jù)點斜式方程可得切線方程為$y(-1)=-3(x1)$，即$y=-3x+2$。4.答案：A解析：利用分部積分法，設(shè)$u=x$，$dv=\cosxdx$，則$du=dx$，$v=\sinx$，所以$\intx\cosxdx=x\sinx\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C$。5.答案：B解析：根據(jù)級數(shù)收斂的定義，若級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂，則其前$n$項和$S_n$的極限$\lim\limits_{n\to\infty}S_n$一定存在。二、填空題1.答案：3解析：根據(jù)重要極限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinax}{x}=a$，可得$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3$。2.答案：$2^ne^{2x}$解析：對$y=e^{2x}$求一階導(dǎo)數(shù)得$y'=2e^{2x}$，二階導(dǎo)數(shù)$y''=2^2e^{2x}$，以此類推可得$y^{(n)}=2^ne^{2x}$。3.答案：2解析：對$y=x^22x+3$求導(dǎo)得$y'=2x2$，令$y'=0$，解得$x=1$，將$x=0$，$x=1$，$x=3$分別代入函數(shù)得$y(0)=3$，$y(1)=2$，$y(3)=6$，所以最小值是2。4.答案：$e1$解析：根據(jù)牛頓萊布尼茨公式，$\int_{0}^{1}e^xdx=e^x\big|_{0}^{1}=e^1e^0=e1$。5.答案：$y=Ce^{-2x}$解析：分離變量得$\frac{dy}{y}=-2dx$，兩邊積分得$\ln|y|=-2x+C_1$，即$y=Ce^{-2x}$（$C=\pme^{C_1}$）。三、計算題1.解：$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x1)}{x1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2$。2.解：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令$u=1+x^2$，則$y=\lnu$，$y'=\frac{1}{u}\cdotu'=\frac{1}{1+x^2}\cdot2x=\frac{2x}{1+x^2}$。3.解：根據(jù)定積分的運(yùn)算法則，$\int_{0}^{2}(x^2+1)dx=\int_{0}^{2}x^2dx+\int_{0}^{2}1dx$。由積分公式可得$\int_{0}^{2}x^2dx=\frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{2}=\frac{8}{3}$，$\int_{0}^{2}1dx=x\big|_{0}^{2}=2$。所以$\int_{0}^{2}(x^2+1)dx=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}$。4.解：先求兩曲線的交點，聯(lián)立$\begin{cases}y=x^2\\y=\sqrt{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}$和$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$。則所圍成圖形的面積$S=\int_{0}^{1}(\sqrt{x}x^2)dx=(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\frac{1}{3}x^3)\big|_{0}^{1}=\frac{2}{3}\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$。5.解：特征方程為$r^23r+2=0$，因式分解得$(r1)(r2)=0$，解得$r_1=1$，$r_2=2$。所以通解為$y=C_1e^x+C_2e^{2x}$，其中$C_1$，$C_2$為任意常數(shù)。四、應(yīng)用題1.解：總成本函數(shù)$C(Q)=20000+100Q$，$Q\geq0$。2.解：當(dāng)$0\leqQ\leq400$時，$L(Q)=R(Q)C(Q)=400Q\frac{1}{2}Q^2(20000+100Q)=-\frac{1}{2}Q^2+300Q20000$。當(dāng)$Q>400$時，$L(Q)=R(Q)C(Q)=80000(20000+100Q)=60000100Q$。所以總利潤函數(shù)$L(Q)=\begin{cases}-\frac{1}{2}Q^2+300Q20000,&0\leqQ\leq400\\60000100Q,&Q>400\end{cases}$。3.解：當(dāng)$0\leqQ\leq400$時，對$L(Q)=-\frac{1}{2}Q^2+300Q20000$求導(dǎo)得$L'(Q)=-Q+300$，令$L'(Q)=0$，解得$Q=300$