2025-2026學(xué)年九年級上學(xué)期期中模擬卷數(shù)學(xué)·全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：北師大版2024九年級數(shù)學(xué)上冊第1~3章（特殊平行四邊形+一元二次方程+概率的進一步認識）。A卷（共100分）第Ⅰ部分（選擇題共32分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題4分，滿分32分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）1．下列方程是一元二次方程的是（

）A．a(chǎn)x2+bx+c=0B．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義逐項分析判斷即可，根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．【詳解】解：A、方程ax2+bx+c=0，當a=0時，方程變?yōu)锽、方程y2=x中，含有x和y兩個未知數(shù)，不符合“C、方程x2+xD、方程x-3=-x2，整理后為x2故選：D．2．某水果超市為了吸引顧客來店購物，設(shè)立了一個如圖所示的可以自由轉(zhuǎn)動的質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，開展有獎購物活動，顧客購買商品滿200元就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在“一袋蘋果”的區(qū)域就可以獲得一袋蘋果；指針落在“一袋橘子”的區(qū)域就可以獲得一袋橘子．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次，蘋果和橘子都獲得的概率是（

）A．12 B．59 C．13【答案】D【分析】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，可以看成有2袋蘋果，1袋橘子，畫樹狀圖進而可得答案．【詳解】解：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1次，獲得一袋橘子的概率為120°360°=13，獲得一袋蘋果的概率為1-1∴轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次，共9種情況，其中蘋果和橘子都獲得的有4種情況，∴轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次，蘋果和橘子都獲得的概率是49故選：D．3．若正方形對角線的長為2，則該正方形的面積為（

）A．2 B．2 C．22 D．【答案】B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，根據(jù)正方形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．【詳解】解：∵正方形的一條對角線的長為2，∴這個正方形的面積=1故選：B．4．關(guān)于x的方程(a-5)x2A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)>1且a≠5 C．a(chǎn)≠1且【答案】A【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根得出判別式Δ≥0是解題關(guān)鍵．注意分類討論，避免漏解．關(guān)于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有實數(shù)根，那么分兩種情況：【詳解】解：分類討論：①當a-5=0，即a=5②當a-5≠0，即∵關(guān)于x的方程(a∴(-4)2解得a≥1∴a的取值范圍為a≥1故選：A．5．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，以下說法不一定正確的是（

）．A．∠ABC=90° B．AC=BD C．【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)逐一判斷即可，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABCB、∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=C、∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=∴OA=∴∠OABD、∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=∴OA=∴OA與AD不一定相等，原選項說法錯誤，符合題意；故選：D．6．學(xué)校的勞動實踐基地是一塊長30m、寬16m的矩形土地．為便于學(xué)生參與勞動，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道（如圖所示），使種植面積達到400m2，若設(shè)小道的寬為xm，則根據(jù)題意，那么xA．30×16-30x-16C．30-x16-2x【答案】D【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形場地的長、寬及小路的寬度，可得出除小路的其余部分可合成長為30-2x，寬為16-x的矩形，再結(jié)合種植面積為400m【詳解】解：∵學(xué)校的勞動實踐基地是一塊長30m、寬16m的矩形土地，且小道的寬為xm∴除小路的其余部分可合成長為30-2xm，寬為根據(jù)題意得：30-2x故選：D．7．如圖，正方形ABCD中，AE=AB，直線DE交BC于點F，則∠BEFA．30° B．38° C．45° D．48°【答案】C【分析】先證明∠ABE=∠AEB本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊對等角，多邊形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵正方形ABCD，∴AB=∵AE=∴AE=∴∠ABE∵∠ABE∴∠ABE∴2∠AEB∴∠AEB∴∠BEF故選：C．8．如圖①是手工課上紅紅剪的窗花，軍軍將其輪廓繪制到平面直角坐標系中，得到如圖②所示的示意圖，其中O是正方形ABCD和正方形EFGH的中心，且正方形ABCD的頂點均在坐標軸上，EF與x軸平行，若AB=EF=16，則BC與EF的交點PA．(-83,8) B．(4-42,8) C【答案】D【分析】本題考查了坐標與圖形，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識．設(shè)PE與y軸交于點M，過點P作PN⊥AC于點N，則四邊形ONPM是矩形，得到PN=OM，ON=PM，根據(jù)正方形的性質(zhì)推出PN=OM=12FG=8【詳解】解：如圖，設(shè)PE與y軸交于點M，過點P作PN⊥AC于點N，則四邊形∴PN=OM，∵四邊形ABCD和四邊形EFGH都是邊長為16的正方形，∴BC=FG=EF=16，OB=OC∴PN=∵∠BCA∴△PNC和△∴CN=PN=8∴ON=∵點P在第二象限內(nèi)，∴點P的坐標為(8-82故選：D．第Ⅱ部分（非選擇題共68分）二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，滿分20分）9．已知m是方程x2-x-1=0的一個根，代數(shù)式5m【答案】2024【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．先根據(jù)一元二次方程根的定義得m2-m-1=0【詳解】解：∵m是方程x2∴m2-m∴5m故答案為：2024．10．若一元二次方程x2-6x+1=0可以配方成x【答案】5【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，將一元二次方程配方成x+p2=q的形式，求出p【詳解】解：xxx-∴p=-3,∴p+故答案為：5．11．如圖，菱形ABCD對角線AO＝4cm,BO＝3cm,【答案】4.8cm【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、菱形的面積公式、勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)，會利用等面積法解決問題是解答的關(guān)鍵．由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD,【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥在Rt△AOB中，由勾股定理得AB∵S菱形∴12解得：DE=4.8cm故答案為：4.8cm．12．如圖，在矩形ABCD中，AC=10，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，則【答案】5【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．連接BD，根據(jù)矩形的性質(zhì)得AC=【詳解】解：如圖，連接BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=∵E，F(xiàn)分別是BC，∴EF=故答案為：513．我國古代數(shù)學(xué)家曾經(jīng)研究過一元二次方程的幾何解法，以方程x2+5x=14為例，三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載：構(gòu)造大正方形ABCD的面積是x+x+52，它由四個全等的矩形和中間一個小正方形組成，根據(jù)面積關(guān)系可求得AB的長，從而解得正數(shù)解．小剛用此方法解關(guān)于x的方程x2+mx-n=0【答案】2x【分析】本題考查了解一元二次方程，理解一元二次方程的幾何解法是解題關(guān)鍵．先得出小剛構(gòu)造的大正方形的面積、四個矩形的長與寬、中間小正方形的邊長，再根據(jù)大正方形的面積為144，小正方形的面積為4建立方程，解方程即可得．【詳解】解：關(guān)于x的方程x2+mx-n則小剛構(gòu)造的大正方形的面積是(x+x+m)2∵小剛構(gòu)造的大正方形的面積為144，小正方形的面積為4，∴x+x∴2x解得x=5則關(guān)于x的方程的正數(shù)解為x=5故答案為：2，x=5三、解答題（本大題共5小題，滿分48分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）14．（每小題4分，滿分8分）用適當?shù)姆椒ń怅P(guān)于x的一元二次方程：(1)x2(2)3x【答案】(1)x1=(2)x1=【分析】本題考查解一元二次方程，涉及公式法、因式分解法解一元二次方程等知識，熟練掌握一元二次方程的解法步驟是解決問題的關(guān)鍵．（1）先求出判別式，再由求根公式，利用公式法解一元二次方程即可得到答案；（2）利用提公因式法分解因式后解一元二次方程即可得到答案．【詳解】（1）解：x2∵a∴△=b∴x即x1=5+（2）解：3x∴3x則3x∴3則3x-2=0解得x1=215．（滿分10分）在爭創(chuàng)全國文明典范城市活動中，某校舉行了創(chuàng)文明城市知識競賽，全校1800名學(xué)生都參加了此次大賽，賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績均不低于50分．為了更好地了解本次大賽的成績分布情況，隨機從參賽學(xué)生中抽取了200名學(xué)生的成績作為樣本進行整理，得到下列不完整的統(tǒng)計圖表：成績x/分50≤60≤70≤80≤90≤頻數(shù)103040m50頻率0.050.15n0.350.25請根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)n=______(2)請補全頻數(shù)分布直方圖；(3)某班恰有2名男生和1名女生的初賽成績都為100分，若從這3名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生參加復(fù)賽，用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的2名學(xué)生恰好為1名男生和1名女生的概率．【答案】(1)0.2(2)見解析(3)列表見解析，概率為2【分析】本題考查了頻數(shù)分布表的相關(guān)計算、頻數(shù)分布直方圖的補全以及用列表法求隨機事件的概率，解題的關(guān)鍵是掌握“頻率=頻數(shù)÷樣本總數(shù)”的關(guān)系，并通過列表列出所有等可能結(jié)果來計算概率．（1）根據(jù)頻率與頻數(shù)的關(guān)系，用70≤x<80的頻數(shù)除以樣本總數(shù)200，即可求出（2）先通過樣本總數(shù)減去其他組的頻數(shù)求出80≤x<90的頻數(shù)m，再根據(jù)（3）標記2名男生和1名女生，用列表法列出從3人中抽2人的所有可能情況，數(shù)出“1男1女”的情況數(shù)，結(jié)合概率公式(概率=符合條件的情況數(shù)÷總情況數(shù))計算概率．【詳解】（1）解：由題意知，樣本總數(shù)為200,70≤x<80的頻數(shù)為40根據(jù)“頻率=頻數(shù)÷樣本總數(shù)”，得n=40故答案為：0.2；（2）解：先求80≤x<90的頻數(shù)m∵樣本總數(shù)為200，且各組頻數(shù)之和等于樣本總數(shù)，

∴m=200-10-30-40-50=70．補全頻數(shù)分布直方圖：在“80≤x<90”區(qū)間對應(yīng)的柱形，高度調(diào)整為與頻數(shù)（3）解：設(shè)2名男生分別為男1、男2，1名女生為女，列表如下：男1男2女男1(男1，男2)(男1，女)男2(男2，男1)(男2，女)女(女，男1)(女，男2)由表格可知，從3人中隨機抽2人，共有6種等可能結(jié)果(考慮順序)，其中“1名男生和1名女生”的結(jié)果有4種．

∴抽取的2名學(xué)生恰好為1名男生和1名女生的概率P=4答：抽取的2名學(xué)生恰好為1名男生和1名女生的概率為2316．（滿分10分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AE⊥BC交CB延長線于E，CF∥AE交(1)求證：四邊形AECF是矩形；(2)若AE=4，AD=5，求【答案】(1)見解析；(2)45【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．（1）先證明四邊形AECF是平行四邊形，再證明其有一個內(nèi)角是直角即可證明四邊形AECF是矩形；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到AD=AB=BC=5，結(jié)合AE=4，利用勾股定理得【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥∵CF∥∴四邊形AECF是平行四邊形．∵AE⊥∴∠AEC∴平行四邊形AECF是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=5∵AE⊥∴∠AEB∴BE=∴CE=∴AC=17．（滿分10分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：不論k為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．(2)若x1,x①求k的值；②若菱形ABCD的一條對角線AC的長為4k，另一條對角線BD的長為2x1【答案】(1)見解析(2)①12【分析】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，菱形的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．（1）表示出根的判別式，判斷其正負即可作出判斷；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出k的值，進而求出AC,【詳解】（1）證明：∵x2∴Δ====k∴不論k為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：①∵x2+k∴x1∵x1∴x1∴k-∴k=②由①知：k=∴AC=4k=2∴菱形ABCD的面積為1218．（滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+2與x軸、y軸分別相交于A(1)求∠OAB(2)如圖，點Pa,b在第二象限，Ma,0，N0,b，直線PM，PN分別與線段AB相交于點E，點F．當點P運動時，四邊形PMON的面積為定值2【答案】(1)∠(2)以線段AE，EF，F(xiàn)B為邊的三角形為直角三角形，理由見解析【分析】（1）利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出OA=（2）易證四邊形PMON是矩形，根據(jù)四邊形PMON的面積為定值2，得到ab=-2，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出E、F的坐標，根據(jù)勾股定理求出線段AE、EF、FB【詳解】（1）解：∵直線y=∴當y=0時，x=-2；當x=0時，∴A-2,0，∴OA=∵∠AOB∴∠OAB（2）解：以線段AE，EF，F(xiàn)B為邊的三角形為直角三角形，理由如下：由題意得，PM⊥x軸，∴∠PMO又∠MON∴四邊形PMON是矩形，∵四邊形PMON的面積為定值2，∴S矩形∴ab=-2代入x=a到y(tǒng)=代入y=b到y(tǒng)=x+2∴Ea,a∴E=2=2=2a∵A-2,0，∴AE2=∴AE∴AE∴以線段AE，EF，F(xiàn)B為邊的三角形為直角三角形．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，等邊對等角，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理及勾股定理的逆定理的運用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵B卷（共50分）一、填空題（本大題共5小題，每小題4分，滿分20分）19．關(guān)于x的方程ax+m2+b=0的解是x1=-5，x2=3（a【答案】x1=-3，x2=5【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程，首先把方程ax+m-22+b=0，整理成ax-2+m2【詳解】解：ax整理得：ax∵方程ax+m2+∴方程ax-2+m解得：x1=-3，故答案為：x1=-3，x20．右圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．設(shè)正方形ABCD的面積為S1，正方形EFGH的面積為S2，連接BG．若BG=BC，則S1【答案】S【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，先根據(jù)正方形的性質(zhì)推出△ABG是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得AH=GH，設(shè)AH=GH=a，則AG=BH【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=∵BG=∴AB=∴△ABG∵∠AHB∴BH⊥∴AH=設(shè)AH=GH=在Rt△ABH中，AB∴正方形ABCD的面積為S1=5a2∴S1故答案為：S121．已知等腰△ABC的一邊BC=6，而△ABC另外兩邊的邊長恰好是關(guān)于x的一元二次方程x2+【答案】14或16/16或14【分析】本題考查了解一元二次方程、等腰三角形的定義、三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題關(guān)鍵．先解一元二次方程可得x1=4,x2=-【詳解】解：x2x2x-x-4=0或x1∵△ABC∴-m=4或∴m=-4或m①當?shù)妊鰽BC的三邊長分別為4,4,6則此時這個三角形的周長為4+4+6=14；②當?shù)妊鰽BC的三邊長分別為4,6,6則此時這個三角形的周長為4+6+6=16；綜上，這個三角形的周長為14或16，故答案為：14或16．22．設(shè)實數(shù)m，n分別滿足3m2+99m-2=0，【答案】-【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．根據(jù)3m2+99m-2=0，2n【詳解】∵2n∴3×1∵3m∴m，1n是方程∴m+1∴mn故答案為：-23．如圖，在正方形ABCD中，點P在對角線AC上，過點P分別作PE⊥AB于點E，PF⊥BC于點F，連接EF，PD．過點P作PG∥EF交AB于點G，若BG=2【答案】3【分析】連接PB，DG，根據(jù)題意及正方形的性質(zhì)，證得四邊形GEFP是平行四邊形，得到PG=EF，PF=GE，進而證明四邊形EBFP是矩形，得到PB=EF，EB=PF，從而得到GE=EB，結(jié)合BG=2AG，得到AB=3AG，根據(jù)正方形的對稱性得到∠PDA=∠PBG，PB=PD【詳解】解：如圖，連接PB，DG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∵PF∴PF∥∵PG∴四邊形GEFP是平行四邊形，∴PG=EF，∵AB⊥BC，PF∴∠EBF=∠∴四邊形EBFP是矩形，∴PB=EF，∴GE=∴BG=2∵BG∴GE∴AB=3∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=∵AC是正方形ABCD的對角線，即AC也是正方形ABCD的對稱軸，∴∠PDA=∠PBG，∵EF=PB∴PB∴∠PBG=∠∴∠PDA∵∠PGB+∠∴∠PDA∵∠DAG+∠AGP∴∠GPD=90°∴△DPG是等腰直角三角形，∵PD=∴DG=在Rt△AGD中，AG2+A∴AG=∴AB即正方形ABCD的邊長為32故答案為：32二、解答題（本大題共3小題，其中24題8分，25題10分，26題12分，共30分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）24．（滿分8分）“七里山塘，枕河而居”，蘇州市的山塘街是具有江南風(fēng)貌特色的歷史文化街區(qū)，現(xiàn)在已成為網(wǎng)紅打卡地．據(jù)統(tǒng)計，2014年10月1日截至21時山塘歷史街區(qū)累計客流量為8萬人次，第三天游客人數(shù)達到11.52萬人次．(1)求游客人數(shù)從假期第一天到第三天的平均日增長率；(2)景區(qū)內(nèi)某文創(chuàng)小店推出了特色絲綢團扇，每把扇子的成本為7元．根據(jù)銷售經(jīng)驗，每把扇子定價為25元時，平均每天可售出300把．若每把扇子的售價每降低1元，平均每天可多售出30把．設(shè)每把扇子降價x元．請解答以下問題：①填空：每天可售出扇子_______________把（用含x的代數(shù)式表示）；②若該文創(chuàng)小店想通過售出這批扇子每天獲得5760元的利潤，又想盡可能地減少庫存，每把扇子應(yīng)降價多少元？【答案】(1)20%(2)①300+30x；【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式．根據(jù)題意正確的列等式方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)從假期第一天到第三天的平均日增長率為x，依題意得81+（2）①由題意知，每天可售出扇子300+30x②依題意得25-x【詳解】（1）解：設(shè)從假期第一天到第三天的平均日增長率為x，依題意得，81+解得，x=0.2=20%或x∴從假期第一天到第三天的平均日增長率為20%；（2）①解：由題意知，每天可售出扇子300+30x故答案為：300+30x②解：依題意得，25-x整理得，x-解得，x=2或x∵想盡可能地減少庫存，∴每把扇子應(yīng)降價6元．25．（滿分10分）閱讀材料：材料1：類比解一元二次方程，解一元二次不等式，x解：∵x2-9=x由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，有（1）x+3>0x-3>0或（2）x+3<0x-3<0解不等式組（故x+3x-3>0的解集為x>3或x<-3材料2：對于一個關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+ca≠0，除了可以利用配方法求該多項式的取值范圍外，還可以用其他的方法：比如先令解：令x2+2x+5=∴y≥4解決問題：請根據(jù)上述材料，解答下列問題．(1)直接寫出不等式x+42-x(2)求出代數(shù)式x2(3)若關(guān)于x的代數(shù)式2bx+ax2-2x+3（其中a、b為常數(shù)，且ab【答案】(1)x>2或(2)x2-(3)a=-4,b【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系及解不等式組，讀懂閱讀材料中的方法并明確一元二次方程的根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意有理數(shù)乘法法則列不等式組求解即可得到答案；（2）根據(jù)材料，令y=x2-4（3）根據(jù)材料，令y=2bx+ax2【詳解】（1）解：∵x∴