2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)應(yīng)用題專項強化試題（二）一、函數(shù)模型及其應(yīng)用（共3題，每題12分）1.成本與利潤問題某工廠生產(chǎn)一種智能手環(huán)，固定成本為50000元，每生產(chǎn)1個手環(huán)的可變成本為30元。根據(jù)市場調(diào)研，當(dāng)手環(huán)售價為x元/個時，月銷售量p（單位：個）與售價x的關(guān)系滿足$p=2000-10x$（$40\leqx\leq150$，x為整數(shù)）。（1）寫出月利潤y（元）關(guān)于售價x的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)售價為多少元時，月利潤最大？最大利潤是多少？（3）若工廠要求月利潤不低于80000元，求售價x的取值范圍。2.分段函數(shù)與優(yōu)化問題某市居民生活用水實行階梯收費，收費標(biāo)準(zhǔn)如下表：用水量范圍（立方米/月）單價（元/立方米）0~180（含180）5.0181~300（含300）7.5300以上12.0（1）寫出月水費y（元）關(guān)于用水量x（立方米）的分段函數(shù)解析式；（2）若某家庭2025年3月水費為1200元，求該家庭當(dāng)月用水量；（3）若某家庭計劃每月水費不超過1500元，求每月最多可用水量。3.函數(shù)圖像與實際問題某物體從地面豎直向上拋出，其高度h（米）與時間t（秒）的關(guān)系滿足$h(t)=-5t^2+40t$（$t\geq0$）。（1）求物體拋出后第2秒和第5秒時的高度；（2）求物體達到最高點的時間及最大高度；（3）畫出函數(shù)$h(t)$在$t\in[0,8]$的圖像，并結(jié)合圖像說明物體從拋出到落地的運動過程。二、三角函數(shù)與解三角形（共2題，每題15分）4.三角函數(shù)模型的應(yīng)用某港口的潮汐現(xiàn)象可用三角函數(shù)模型近似描述，其水深d（米）與時間t（小時，$0\leqt\leq24$）的關(guān)系為$d(t)=8+4\sin\left(\frac{\pi}{6}t+\frac{\pi}{3}\right)$。（1）求港口一天內(nèi)的最大水深和最小水深；（2）若某貨船的吃水深度（船底到水面的距離）為6米，安全水深需滿足$d(t)\geq10$米，求該貨船在一天內(nèi)可以進出港口的時間段；（3）若當(dāng)天為農(nóng)歷初一，潮汐周期為12小時，調(diào)整模型參數(shù)后水深函數(shù)變?yōu)?d'(t)=8+4\sin\left(\frac{\pi}{6}t+\varphi\right)$，且當(dāng)天凌晨3點出現(xiàn)第一次高潮，求$\varphi$的值。5.解三角形的實際應(yīng)用如圖，某觀測站C在目標(biāo)A的南偏西20°方向，在目標(biāo)B的南偏東40°方向，且觀測站C與目標(biāo)A、B的距離分別為2km和3km。（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）求目標(biāo)A與B之間的距離（精確到0.01km）；（3）若目標(biāo)A在目標(biāo)B的正西方向，求觀測站C到直線AB的距離。三、數(shù)列與不等式（共3題，每題14分）6.等差數(shù)列與實際問題某企業(yè)為提升員工技能，計劃每年投入培訓(xùn)經(jīng)費，2025年投入100萬元，以后每年比上一年增加15萬元，設(shè)第n年（2025年為第1年）的培訓(xùn)經(jīng)費為$a_n$萬元。（1）寫出數(shù)列${a_n}$的通項公式，并判斷其是否為等差數(shù)列；（2）求前n年的培訓(xùn)經(jīng)費總和$S_n$；（3）若該企業(yè)計劃培訓(xùn)經(jīng)費累計達到1000萬元時，啟動新的培訓(xùn)項目，求最早啟動年份。7.等比數(shù)列與增長率問題某城市2025年初人口為100萬，假設(shè)人口年增長率為r（r為常數(shù)），且每年新增就業(yè)崗位數(shù)為當(dāng)年人口的5%。（1）寫出2025年后第n年（n∈N*）的人口數(shù)$P_n$（單位：萬）的表達式；（2）若2030年初人口為121萬，求年增長率r；（3）在（2）的條件下，求2025-2030年（共6年）新增就業(yè)崗位的總和（精確到0.1萬）。8.不等式的實際應(yīng)用某農(nóng)場計劃用200米長的籬笆圍一個矩形菜園，菜園一邊靠墻（墻長100米），另外三邊用籬笆圍成。（1）設(shè)菜園垂直于墻的一邊長為x米，寫出菜園面積S（平方米）關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出定義域；（2）求菜園面積的最大值及對應(yīng)的邊長；（3）若菜園面積不小于2400平方米，求x的取值范圍。四、立體幾何與空間向量（共2題，每題15分）9.空間幾何體的體積與表面積如圖，一個直三棱柱ABC-A?B?C?的底面是直角三角形，AB=AC=3，∠BAC=90°，側(cè)棱長AA?=5。（1）求該三棱柱的表面積；（2）求三棱錐A?-BCC?的體積；（3）若在棱B?C?上取一點D，使得A?D⊥B?C?，求線段A?D的長度。10.空間向量與位置關(guān)系在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，E、F分別為棱BB?、CC?的中點，以D為原點，DA、DC、DD?所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。（1）求點E、F的坐標(biāo)及向量$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{DF}$的坐標(biāo)；（2）證明：直線AE與DF平行；（3）求平面AEFD的法向量，并計算直線AD與平面AEFD所成角的正弦值。五、概率與統(tǒng)計（共2題，每題14分）11.統(tǒng)計圖表與數(shù)據(jù)分析某學(xué)校為了解高一學(xué)生每周體育鍛煉時間，隨機抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（注：頻率分布直方圖中，組距為2，區(qū)間為[0,2)，[2,4)，…，[14,16]）（1）求直方圖中a的值；（2）估計該校高一學(xué)生每周體育鍛煉時間的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從每周鍛煉時間在[12,14)和[14,16]的學(xué)生中任選2人，求至少有1人鍛煉時間在[14,16]的概率。12.古典概型與獨立性檢驗?zāi)彻S生產(chǎn)A、B兩種零件，質(zhì)檢員隨機抽取A零件100個、B零件80個進行質(zhì)量檢測，結(jié)果如下表：零件類型合格不合格A8515B6812（1）分別計算A、B兩種零件的合格率；（2）從檢測的A、B零件中各隨機抽取1個，求至少有1個合格的概率；（3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認(rèn)為零件合格與類型有關(guān)？（參考公式：$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中n=a+b+c+d；臨界值：$\chi^2_{0.05}=3.841$）六、綜合應(yīng)用題（共1題，20分）13.多知識點綜合問題某新能源汽車廠商研發(fā)一款新型電池，其充電效率y（%）與充電電流I（A）的關(guān)系滿足$y=-\frac{1}{20}I^2+\frac{9}{2}I+20$（$10\leqI\leq60$，I為整數(shù)），電池容量為50kWh，充電時的電功率P（kW）與電流I的關(guān)系為$P=0.5I$。（1）求充電效率y關(guān)于電流I的函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)，并說明其實際意義；（2）充電時間t（小時）與電功率P、充電效率y的關(guān)系為$t=\frac{50}{P\cdoty}$，寫出