函數(shù)的概念及其表示方法一函數(shù)的概念1概念設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：y=f(x),x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y2定義域①概念函數(shù)自變量x的取值范圍.②求函數(shù)的定義域主要應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1；(5)指數(shù)為零底不可以等于零；(6)抽象函數(shù)的定義域較為復(fù)雜.3值域 ①概念函數(shù)值y的取值范圍②求值域的方法(1)配方法(2)數(shù)形結(jié)合(3)換元法(4)函數(shù)單調(diào)性法(5)分離常數(shù)法(6)基本不等式法4區(qū)間實(shí)數(shù)集R表示為(-∞,+∞).二函數(shù)的表示方法1表格法如上表，我們很容易看到y(tǒng)與r之間的函數(shù)關(guān)系.在初中剛學(xué)畫一次函數(shù)圖像時(shí)，第一步就是列表，其實(shí)就是用表格法表示一次函數(shù).2圖像法如上圖，很清晰的看到某天空氣質(zhì)量指數(shù)I與時(shí)間t兩個(gè)變量之間的關(guān)系，特別是其趨勢(shì).數(shù)學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”也就是這回事，它是數(shù)學(xué)一大思想，在高中解題中識(shí)圖和畫圖尤為重要.3解析式求函數(shù)解析式的方法(1)配湊法(2)待定系數(shù)法(3)換元法(4)構(gòu)造方程組法(5)代入法

【題型一】函數(shù)概念的理解【典題1】設(shè)集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},給出如下四個(gè)圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是()【解析】(本題相當(dāng)把M={x|0≤x≤2}看成定義域，N={y|0≤y≤2}看成值域)圖象A不滿足條件，因?yàn)楫?dāng)1<x≤2時(shí)，N中沒有y值與之對(duì)應(yīng).圖象B不滿足條件，因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，N中沒有y值與之對(duì)應(yīng).圖象C不滿足條件，因?yàn)閷?duì)于集合M={x|0<x≤2}中的每一個(gè)x值，在集合N中有2個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義.只有D中的圖象滿足對(duì)于集合M={x|0≤x≤2}中的每一個(gè)x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一確定的一個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，故選D.【典題2】給定的下列四個(gè)式子中，能確定y是x的函數(shù)的是()①x2+③x-1+y-1=1A．① B．② C．③ 【解析】①由x2+y比如x=0，y=±1，所以②由|x－1|+y2-1所以x=1,y=±1，所以②不是函數(shù)．③由x-1+y-1=1得y=④要使函數(shù)y=x-2+1-x有意義，則x-2≥01-x≥0，解得故選：C．【點(diǎn)撥】函數(shù)中自變量x與函數(shù)值y的關(guān)系是“一對(duì)一或多對(duì)一”的關(guān)系，不能是“一對(duì)多”.【題型二】求函數(shù)的定義域【典題1】函數(shù)y=-x2+2x+3【解析】要使函數(shù)有意義，則-x2+2x+3≥0x≠0，即即-1≤x<0或0<x≤3，即函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,0)?0,3【典題2】下列各組函數(shù)中表示的函數(shù)不同的是()A．f(x)=x,g(x)=3x3C．fx=【解析】A,B,C的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，表示同一函數(shù)，D中g(shù)(x)=x+2的定義域是R，fx=x兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù).故選：D．【點(diǎn)撥】①判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)，看函數(shù)的定義域和解析式是否均相同；②函數(shù)反應(yīng)的是兩個(gè)變量的關(guān)系，至于用什么字母表示都一樣，故選項(xiàng)C的fx=【典題3】已知fx2-1定義域?yàn)閇0,3]，求【解析】∵0≤x≤3∴-1≤∴-1≤2x-1≤8∴0≤x≤故函數(shù)f(2x-1)的定義域是0,9【點(diǎn)撥】抽象函數(shù)的定義域理解起來不容易，由于函數(shù)的解析式與字母的選擇無關(guān)，若把題目換成“已知fx2-1定義域?yàn)閇0,3]，求f(2t-1)的定義域①謹(jǐn)記定義域指的是自變量的取值范圍，所以由“fx2-1定義域?yàn)閇0,3]”得到的是“0≤x≤3”，“求f(2t-1)的定義域”指的就是求②把“x2-1”和“2t-1”都看成整體，它們的范圍這樣就有“-1≤【題型三】求函數(shù)的值域方法1配方法【典題1】求函數(shù)y=5x2-4x+1【解析】y=∵x∈14,1即y=5x2【點(diǎn)撥】配方法針對(duì)二次函數(shù)型的函數(shù)值域.方法2數(shù)形結(jié)合【典題2】求函數(shù)fx=【解析】(這是分段函數(shù)，兩段函數(shù)均為二次函數(shù)，其圖像易得，故可用數(shù)形結(jié)合求值域)fx=2x-而f(0)=0,f(3)=-3,fx=x2可得到函數(shù)圖像如右圖，易得函數(shù)值域?yàn)閇-8,1].【點(diǎn)撥】數(shù)形結(jié)合最大的好處是直觀.方法3換元法【典題3】求函數(shù)fx=2x+【解析】令t=1-x(t≥0)，(要注意新變量t得x=-t∴原函數(shù)化為y=-2t2+t+2=-2∴函數(shù)fx=2x+1-x【點(diǎn)撥】本題利用換元法把不熟悉函數(shù)值域問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)值域問題，即求函數(shù)fx=2x+1-x的值域?y=-2t【典題4】函數(shù)f(x)=-9-x+(13)x-1【解析】f(x)=-(本題主要是注意到了9-x和(13)x-1均可令t=(13)x，因?yàn)樵瘮?shù)的值域等價(jià)于函數(shù)g(t)=-由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)=[34,3]【點(diǎn)撥】①換元法的本質(zhì)就是“整體思想”，它能把“不太友善的”表示形式轉(zhuǎn)化為“友善的”，前2題均用換元法把復(fù)雜形式函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，故解題過程中特別要注意式子的結(jié)構(gòu)特征.②換元法要注意換元后變量的取值范圍，比如典題3的“t≥0”，典題4中的“方法4函數(shù)單調(diào)性法【典題5】函數(shù)f(x)=2x2【解析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f(x)在[0,1]上單減，在[1,3]又f0∴函數(shù)值域?yàn)閇4,64]．【點(diǎn)撥】①利用函數(shù)單調(diào)性是求函數(shù)值域最常見的方法，高二還會(huì)學(xué)到導(dǎo)數(shù)，它是一把利器.②復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是"同增異減".方法5分離常數(shù)法【典題6】求函數(shù)fx=【解析】函數(shù)fx(在分子2x2-1中“湊出”分母x2∵x故函數(shù)fx=【點(diǎn)撥】形如f(x)=a?g(x)+bc?g(x)+d均可用分離常數(shù)法求函數(shù)值域，比如求函數(shù)y方法6基本不等式法(對(duì)勾函數(shù)法)【典題7】求函數(shù)f(x)=x2【解析】∵f(x)=x2+4x+1∴①當(dāng)x=0時(shí)，fx=1；(x=0②當(dāng)x>0時(shí)，0<4xx2+1=此時(shí)1<fx≤3，(利用對(duì)勾函數(shù)∴函數(shù)f(x)=x2+4x+1【點(diǎn)撥】利用基本不等式法(對(duì)勾函數(shù)法)能處理二次分式函數(shù)y=dx2鞏固練習(xí)1(★)函數(shù)y=f(x-1)與函數(shù)y=f(x+1)()A．是同一個(gè)函數(shù)B．定義域相同C．圖象重合 【答案】D【解析】由于函數(shù)y=f(x－1)中x－1的范圍與函數(shù)y=f(x+1)中故函數(shù)y=f(x－1)與函數(shù)故選：D．2(★)函數(shù)f(x)=-x2+4x+12+1x-4【答案】[-2,4)∪【解析】解-x2+4x+12≥0x-4≠0得，∴f(x)的定義域?yàn)椋篬3(★★)已知函數(shù)f(x+1)定義域?yàn)閇1,4]，則函數(shù)f(x－1)的定義域?yàn)椤敬鸢浮縖3,6]【解析】∵f(x+1)的定義域?yàn)閇1,4]；∴∴f(x)的定義域?yàn)閇2∴f(x－1)滿足：2∴f(x－1)4(★★)函數(shù)y=2--x2+4x的值域是為【答案】0,2【解析】∵0≤－x∴0≤2-故函數(shù)y=2--x2+4x的值域是5(★★)函數(shù)y=x-1+x+1,(x≥1)的值域?yàn)椤敬鸢浮?,+∞【解析】函數(shù)y=x-1+x+1顯然在6(★★)函數(shù)f(x)=x-1x+3(x≥1)的值域?yàn)椤敬鸢浮縖0,1)【解析】f(x)=x+3-4則當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)為增函數(shù)，則f(1)≤f(x)＜1，即即函數(shù)的值域?yàn)閇0,1)．7(★★)函數(shù)y=4x+2x+1+3【答案】(3,+∞)【解析】令t=2∴函數(shù)y=4x∴f(t)>3，即函數(shù)y=4x+8(★★★)求函數(shù)y=2x【答案】[【解析】y=∵x>12，∴x-當(dāng)且僅當(dāng)x-12=12x-所以原函數(shù)的值域?yàn)閇12+【題型四】分段函數(shù)【典題1】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2(x≤2)2x(x>2)，若f(x0【解析】由題意，得①當(dāng)x0≤2時(shí)，有x0而6>2不符合，所以x②當(dāng)x0>2時(shí)，有2x綜上所述，得x0=4或【典題２】已知函數(shù)f(x)=x2-6x+6,x≥0f(x1)=f(x2)=f(x【解析】(乍眼一看，不太理解題意，設(shè)fx1=t，本題就函數(shù)y=函數(shù)f(x)=x不妨設(shè)x1則x2,x3關(guān)于直線且x1滿足-則x1+x即x1【點(diǎn)撥】分段函數(shù)本質(zhì)上是“分類討論”，特別要注意“每段函數(shù)”的定義域.處理分段函數(shù)的性質(zhì)問題(值域、交點(diǎn)等)常常用數(shù)形結(jié)合的方法.【題型五】求函數(shù)解析式方法1配湊法【典題1】已知f(x+1x)=x【解析】∵x>0∴x+∵fx+1x=x+1【點(diǎn)撥】本題主要是觀察到x+1x與x2+1x方法2待定系數(shù)法【典題２】已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1，求【解析】依題意可設(shè)fx若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1，∴c=0且即c=0且∴c=02a+b=b+1a+b+c=c+1∴f(x)=【點(diǎn)撥】當(dāng)函數(shù)的類型已知，利用待定系數(shù)法可求函數(shù)解析式.方法3 換元法【典題３】已知f(x+1)=x+2x【解析】令t=x+1，則∵f(∴f(t)=t-12∴fx+1【點(diǎn)撥】用換元法時(shí)注意新變量的取值范圍.②用配湊法fx+1方法4構(gòu)造方程組法【典題４】設(shè)f(x)滿足f(x)-2f(1x)=x,求【解析】∵f(x)-2f(1x)=x顯然x≠0，將x換成1x，得：f(1解①②聯(lián)立的方程組，得：f(x)=-x方法5代入法【典題５】與函數(shù)y=x2-3x+2的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱的函數(shù)是【解析】設(shè)P(x,y)為所求函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱的點(diǎn)是Q(-x,2-y)．由題意知點(diǎn)Q(-x,2-y)在函數(shù)則2-y=x2+3x+2【點(diǎn)撥】①由下圖可對(duì)本題有個(gè)更清晰的理解.②求與一已知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱或軸對(duì)稱的函數(shù)解析式均可以用“代入法”.若把本題的函數(shù)y=x2-3x+2換成y=2x或者把“關(guān)于點(diǎn)鞏固練習(xí)1(★)已知函數(shù)y=x2+1(x≤0)2x(x>0)，若f(a)=10，則a的值是【答案】－3或5【解析】由題意，當(dāng)x≤0時(shí)，fx又x≤0，所以當(dāng)x>0時(shí)，fx=-2(★★)已知函數(shù)f(x)=(2a-1)x+7a-2(x<1)ax(x≥1)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為【答案】[3【解析】若函數(shù)f(x)=(2a-1)x+7a-2(x<1)ax則2a-1<0故答案為：[3(★★)已知一次函數(shù)f(x)滿足條件f(x+1)+f(x)=2x，則函數(shù)f(x)的解析式為．【答案】f(x)=x-【解析】設(shè)f(x)=kx+b，k≠∵f(x+1)+f(x)=2x∴k(x+1