專(zhuān)題01勾股定理重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+13大題型+4拓展訓(xùn)練+自我檢測(cè)）題型一勾股定理的證明方法題型二以弦圖為背景的計(jì)算題題型三勾股定理的基本計(jì)算題型四利用勾股定理求長(zhǎng)度題型五利用勾股定理求面積題型六勾股定理與無(wú)理數(shù)題型七用勾股定理解三角形題型八勾股數(shù)問(wèn)題題型九以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積問(wèn)題題型十勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題題型十一勾股定理與折疊問(wèn)題題型十二利用勾股定理證明線(xiàn)段平方關(guān)系題型十三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題拓展訓(xùn)練一勾股定理中的面積問(wèn)題拓展訓(xùn)練二勾股定理中的折疊問(wèn)題拓展訓(xùn)練三勾股定理中的最值問(wèn)題拓展訓(xùn)練四勾股定理中的新定義問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一：勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．如圖所示，如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么.勾股定理的變式：.1.勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，使用的前提條件是在直角三角形中；2.在使用勾股定理過(guò)程中，一定要分清楚直角邊和斜邊，當(dāng)題目中已知條件中沒(méi)有明確哪條是斜邊的情況下，要分類(lèi)討論，避免漏解.【即時(shí)訓(xùn)練】1．（2024八年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）在中，，，，的對(duì)應(yīng)邊分別是，，，則下列式子成立的是（）A． B． C． D．2．（24-25八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）在中，斜邊，則的值為．知識(shí)點(diǎn)二、勾股定理的證明1.證法一如圖所示，用4個(gè)全等的直角三角形，可以得到一個(gè)以為邊長(zhǎng)的小正方形和一個(gè)以c為邊長(zhǎng)的大正方形.由圖示可得，即；2.證法二如圖所示，用4個(gè)全等的直角三角形，可以得到一個(gè)以為邊長(zhǎng)的正方形.由圖示可得，即；3.證法三如圖所示，用兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形，可以得到一個(gè)直角梯形.由圖示可得，即.【即時(shí)訓(xùn)練】3．（23-24八年級(jí)下·河南新鄉(xiāng)·期末）勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（

）．A． B．C． D．4．（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）我們?cè)趯W(xué)習(xí)勾股定理的第二課時(shí)時(shí)，以下圖形可以用來(lái)驗(yàn)證勾股定理的有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【即時(shí)訓(xùn)練】5．（24-25八年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）如圖，在中，，的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若的周長(zhǎng)為12，，則的周長(zhǎng)為（

）A．12 B．10 C．8 D．66．（24-25八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期末）在中，，．如圖D、E分別是和邊上的點(diǎn)，把沿直線(xiàn)折疊，若點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)F處，則的最小值是．【經(jīng)典例題一勾股定理的證明方法】【例1】（24-25八年級(jí)下·河北邢臺(tái)·期中）在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，甲同學(xué)用兩個(gè)相同的直角三角形和一個(gè)等腰三角形構(gòu)成如圖甲所示的直角梯形；乙同學(xué)用四個(gè)相同的直角三角形構(gòu)成如圖乙所示的大正方形，中間是一個(gè)小正方形，甲、乙兩位同學(xué)給出的構(gòu)圖方案，可以證明勾股定理的是（

）A．甲 B．乙C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以1．（24-25八年級(jí)下·山西大同·階段練習(xí)）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載，勾股定理的公式與證明是在周朝由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱(chēng)之為“商高定理”．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（

）A． B．C． D．2．（24-25八年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）到目前為止，勾股定理的證明已超過(guò)種，其中一種簡(jiǎn)潔易懂方法叫做“常春證法”，兩個(gè)直角三角形如圖擺放，已知，點(diǎn)F落在上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，斜邊與斜邊交于點(diǎn)M，連接，，若，，則四邊形的面積為．3．（24-25七年級(jí)下·江蘇徐州·期中）如圖，用4個(gè)完全相同的直角三角形能?chē)梢粋€(gè)大正方形和一個(gè)較小的正方形（問(wèn)空白部分），其中較小正方形的面積可以用兩個(gè)不同的代數(shù)式表示，進(jìn)而得到一個(gè)等式.（說(shuō)明：直角三角形的兩條直角邊分別為、，斜邊為）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）代數(shù)式1：_________.代數(shù)式2：________；（2）這個(gè)等式為（直接寫(xiě)化簡(jiǎn)后的結(jié)果），用文字語(yǔ)言表達(dá)為_(kāi)________；【學(xué)以致用】（3）在直角三角形中，，，.求的長(zhǎng).【經(jīng)典例題二以弦圖為背景的計(jì)算題】【例2】（24-25八年級(jí)下·貴州黔南·期末）如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成．若，，則正方形的邊長(zhǎng)是（

）A．5 B．6 C．7 D．81．（24-25八年級(jí)下·四川自貢·期末）如圖，此圖取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》（也稱(chēng)《趙爽弦圖》），它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果大正方形的面積是12，小正方形式面積是2，直角三角形的短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b，那么的值為（

）A．144 B．28 C．22 D．202．（24-25八年級(jí)下·上?！て谥校┯幸粋€(gè)大正方形，是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，那么直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是．3．（2025八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，將長(zhǎng)為，寬為的矩形分割成四個(gè)全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到兩個(gè)正方形．

(1)圖2中小正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)__________（用含的代數(shù)式表示）：(2)當(dāng)時(shí)，該大正方形的面積是___________．【經(jīng)典例題三勾股定理的基本計(jì)算】【例3】（24-25九年級(jí)下·廣東陽(yáng)江·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)、分別為和的中點(diǎn)，，，則（

）A．3 B．6 C．8 D．101．（24-25八年級(jí)下·河北滄州·期末）如圖，在中，，，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（24-25八年級(jí)上·河北唐山·期末）如圖，在中，，，，射線(xiàn)BC上有一點(diǎn)P．當(dāng)是以BP為腰的等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．3．（24-25八年級(jí)下·陜西渭南·期末）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題四利用勾股定理求長(zhǎng)度】【例4】（24-25八年級(jí)下·山西忻州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，是邊上的高，則的長(zhǎng)為（

）A．5 B． C． D．1．（24-25八年級(jí)下·湖南邵陽(yáng)·期末）如圖，是的角平分線(xiàn)，，則點(diǎn)D到的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（24-25八年級(jí)下·湖北荊州·期中）如圖，王大爺開(kāi)辟了一塊直角三角形的菜地種蔬菜，用柵欄將三角形菜地分成面積相等的兩部分．若，，，則柵欄的長(zhǎng)為．3．（24-25八年級(jí)下·廣東廣州·期中）如圖，在中，于點(diǎn)D，，求的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題五利用勾股定理求面積】【例5】（24-25八年級(jí)下·廣東汕頭·階段練習(xí)）如圖，在中，，分別以為邊作正方形．若，則正方形和正方形的面積和為（

）A． B． C． D．1．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）在中，，若，則的面積為．2．（24-25八年級(jí)下·四川達(dá)州·期末）如圖，將沿射線(xiàn)方向平移，得到，已知，，則陰影部分的面積為．3．（24-25八年級(jí)下·陜西渭南·期中）如圖，在四邊形中，，連接，，，以為邊向外做正方形，求正方形的面積．【經(jīng)典例題六勾股定理與無(wú)理數(shù)】【例6】（24-25八年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在中，在數(shù)軸上，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．1．（24-25八年級(jí)上·四川成都·期末）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交最上方的網(wǎng)格線(xiàn)于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為（

）A． B．0．8 C． D．2．（24-25八年級(jí)下·陜西安康·期末）利用勾股定理可以作出長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的線(xiàn)段，如圖，在中，，，點(diǎn)恰好落在數(shù)軸上表示的點(diǎn)上，以原點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)，使點(diǎn)落在點(diǎn)的左側(cè)，則點(diǎn)所表示的數(shù)是．3．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（1）請(qǐng)你在圖1中畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，要求所畫(huà)正方形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上；（2）如圖2，面積為7的正方形的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且點(diǎn)A表示的數(shù)為，若點(diǎn)E在數(shù)軸上，（點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)）且，則點(diǎn)E所表示的數(shù)為；（3）以圖1中1個(gè)方格的邊長(zhǎng)為單位1，畫(huà)出數(shù)軸，然后在數(shù)軸上表示和．【經(jīng)典例題七用勾股定理解三角形】【例7】（24-25八年級(jí)下·遼寧丹東·期中）如圖在中，，按以下步驟作圖：①以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于兩點(diǎn)；②分別以為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；③作射線(xiàn)，交邊于點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．1．（24-25八年級(jí)下·云南文山·期末）如圖，在中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，將沿翻折得到，若點(diǎn)在邊上，，，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（24-25八年級(jí)下·北京順義·期末）如圖，在中，，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)是．3．（24-25八年級(jí)下·新疆喀什·期中）如圖，在中，于點(diǎn)D，．求：(1)的長(zhǎng)；(2)的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題八勾股數(shù)問(wèn)題】【例8】（24-25八年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A． B． C． D．1．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）在下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10C．，，1 D．，，2．（24-25八年級(jí)下·廣東珠?！て谥校┤鐖D，圖中所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知最大的正方形的邊長(zhǎng)為6，則四個(gè)正方形的面積之和為．3．（24-25八年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）學(xué)習(xí)勾股定理后知道：直角三角形的三邊長(zhǎng)是正整數(shù)時(shí)稱(chēng)之為“勾股數(shù)”．小明在探究勾股數(shù)的規(guī)律時(shí)關(guān)注到這樣一組勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)都是由一個(gè)大于1的奇數(shù)和兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)組成．(1)小明根據(jù)他的發(fā)現(xiàn)寫(xiě)出了這樣一組數(shù)：9，40，41，這是一組勾股數(shù)嗎？并說(shuō)明理由；(2)為了進(jìn)一步探究這組勾股數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，小明猜想這樣的勾股數(shù)可以為，，（n為正整數(shù)），請(qǐng)幫小明證明他的猜想的正確性．【經(jīng)典例題九以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積問(wèn)題】【例9】（24-25八年級(jí)上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，中，，以的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為，，，且，．則（

）A．5 B．12 C．15 D．161．（24-25八年級(jí)下·廣東·期中）如圖，在中，，分別以，，為邊向外作半圓，并分別記它們的面積為，，，若，，則（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面積依次為、、，則正方形的面積為．3．（24-25八年級(jí)下·四川廣安·階段練習(xí)）圖甲是任意一個(gè)直角三角形，它的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c．如圖乙、丙那樣分別取四個(gè)與直角三角形全等的三角形，放在邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)．(1)圖乙、圖丙中①②③都是正方形．由圖可知：①是以______為邊長(zhǎng)的正方形，②是以______為邊長(zhǎng)的正方形，③是以______為邊長(zhǎng)的正方形；(2)圖乙中①的面積為_(kāi)_____，②的面積為_(kāi)_____，圖丙中③的面積為_(kāi)_____；(3)圖乙中①②面積之和為_(kāi)_____；(4)圖乙中①②的面積之和與圖丙中正方形③的面積有什么關(guān)系？為什么？【經(jīng)典例題十勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題】【例10】（2024·河北邯鄲·二模）如圖，在網(wǎng)格圖（每個(gè)小方格均是邊長(zhǎng)為1的正方形）中，以為一邊作直角三角形，要求頂點(diǎn)C在格點(diǎn)上，則圖中不符合條件的點(diǎn)是（

）A． B． C． D．1．（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）如圖，M，N為方格紙中格點(diǎn)上的兩點(diǎn)，若以為邊，在方格中取一點(diǎn)P(在格點(diǎn)上)，使得為等腰三角形，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)2．（23-24七年級(jí)上·山東淄博·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，P為上任一點(diǎn)，則的值是．

3．（23-24七年級(jí)上·山東泰安·期末）問(wèn)題情境：在一次綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“已知三角形三邊的長(zhǎng)度，求三角形面積”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，小穎想到借助正方形網(wǎng)格解決問(wèn)題．圖1圖2都是8×8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)．操作發(fā)現(xiàn)：小穎在圖1中畫(huà)出，其頂點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)，同時(shí)構(gòu)造正方形，使它的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且它的邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、A，她借助此圖求出了的面積．(1)在圖1中，小穎所畫(huà)的的三邊長(zhǎng)分別是______，______，______；(2)的面積為_(kāi)_____；(3)已知中，，，，請(qǐng)你根據(jù)小穎的思路，在圖2的正方形網(wǎng)格中畫(huà)出，并求出的面積．【經(jīng)典例題十一勾股定理與折疊問(wèn)題】【例11】（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古通遼·期中）有一塊直角三角形紙片，如圖所示，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線(xiàn)折疊，使它落在斜邊上，且與重合，則等于（

）A． B． C． D．1．（24-25八年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．1 D．2．（24-25八年級(jí)上·山東青島·期末）如圖，中，，，，將折疊，使點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，折痕為，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級(jí)上·江蘇泰州·期末）在中，，進(jìn)行如下操作：(1)如圖1，將沿某條直線(xiàn)折疊，使斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)與重合，折痕為，若，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，將直角邊沿直線(xiàn)折疊，使它落在斜邊上，且與重合，若，，求的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題十二利用勾股定理證明線(xiàn)段平方關(guān)系】【例12】（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，在等邊三角形中，在邊上（不包含A、C）取兩點(diǎn)M、N，使，若，則x，m，n滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為（

）A． B． C． D．1．（24-25八年級(jí)上·江蘇泰州·期中）對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，點(diǎn)E為對(duì)角線(xiàn)BD上任意一點(diǎn)，連接AE、CE．若AB=5，BC=3，則AE2-CE2等于(

)A．7 B．9 C．16 D．252．（23-24八年級(jí)下·河南商丘·期中）對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，如圖，在“垂美”四邊形中，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，若，則．3．（23-24八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）在中，，D是的中點(diǎn)，以為腰向外作等腰直角連接，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)試判斷線(xiàn)段與三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【經(jīng)典例題十三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題】【例13】（24-25八年級(jí)下·山東臨沂·階段練習(xí)）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推送(水平距離)時(shí)，踏板離地的垂直高度，秋千的繩索始終拉得很直，則秋千繩索的長(zhǎng)度是（

）．A． B． C． D．1．（24-25八年級(jí)下·湖北黃岡·階段練習(xí)）如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)同學(xué)為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花圃?xún)?nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了米，卻踩傷了花草．2．（24-25八年級(jí)下·遼寧撫順·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=8cm，BC=17cm，在頂點(diǎn)C處有一只蝸牛M，以1cm/s的速度沿CA方向爬行，頂點(diǎn)A處有一只螞蟻N，以4cm/s的速度沿AB方向爬行，兩個(gè)小家伙同時(shí)出發(fā)，若它們都爬行3s，求此時(shí)MN的長(zhǎng)．3．（24-25八年級(jí)下·湖北武漢·期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”（注：丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈＝10尺，1尺＝米），這段話(huà)翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)，即為：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為一丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少米？請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問(wèn)題．【拓展訓(xùn)練一勾股定理中的面積問(wèn)題】1．（24-25八年級(jí)下·廣西河池·期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別是．如果大正方形的面積是25，且，則小正方形的面積為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中）如圖，在四邊形中，，分別以四邊形的四條邊為邊長(zhǎng)，向外作四個(gè)正方形，面積分別為，，，．若，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2025·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）如圖是由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)正方形組成的圖形，，則陰影部分的面積之和為．4．（2025·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，平分于點(diǎn)，連接，則的面積是．【拓展訓(xùn)練二勾股定理中的折疊問(wèn)題】5．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖是長(zhǎng)方形紙片，已知，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)M處，且，折痕為，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．2.5 D．1.56．（24-25八年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，已知在中，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，連接．將沿翻折，將沿翻折，翻折后，點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)處，且邊與在同一直線(xiàn)上，連接，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，則．7．（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)分別在邊上，沿著折疊長(zhǎng)方形，使點(diǎn)分別落在處．（1）如圖1，當(dāng)落在線(xiàn)段的中點(diǎn)位置時(shí)，則；（2）如圖2，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，當(dāng)線(xiàn)段的值最小時(shí)，的長(zhǎng)度為．8．（24-25八年級(jí)上·四川眉山·期末）（1）如圖1，已知是的中線(xiàn)，，把沿所在直線(xiàn)對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置（如圖1），則等于度．（2）如圖2，有一直角三角形紙片，兩直角邊，，將直角邊沿直線(xiàn)折疊，使它落在斜邊上，且與重合，求的長(zhǎng)．【拓展訓(xùn)練三勾股定理中的最值問(wèn)題】9．（24-25八年級(jí)上·福建三明·階段練習(xí)）如圖，圓柱底面周長(zhǎng)為，高為，在圓柱的側(cè)面上點(diǎn)A和點(diǎn)C相對(duì)，表面嵌有一圈過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C的金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為（

）

A． B． C． D．10．（24-25八年級(jí)下·陜西寶雞·期中）如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在上確定一點(diǎn)，使最小，則這個(gè)最小值為．11．（24-25七年級(jí)下·山東青島·期末）問(wèn)題解決策略【提出問(wèn)題】唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——將軍飲馬．如圖1，將軍從山腳下的點(diǎn)A出發(fā)，到達(dá)河岸飲馬后再回到點(diǎn)B宿營(yíng)，他時(shí)常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？【分析問(wèn)題】小亮：作B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接與直線(xiàn)l交于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是飲馬的地方，此時(shí)所走的路程之和就是最短的（如圖2）．小慧：你能詳細(xì)解釋為什么嗎？小亮：如圖3，在直線(xiàn)l上另取任意一點(diǎn)，連接，，，我只要說(shuō)明即可．因?yàn)橹本€(xiàn)l是點(diǎn)B，的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)C，在l上，所以，，所以．在中，因?yàn)?，所以，即最?。?）請(qǐng)完善小亮的說(shuō)明過(guò)程．（2）本問(wèn)題實(shí)際上是利用轉(zhuǎn)化的思想，把在直線(xiàn)同側(cè)的A，B轉(zhuǎn)化在直線(xiàn)的兩側(cè)，從而利用“”及“三角形兩邊之和大于第三邊”加以解決（在連接A，兩點(diǎn)的線(xiàn)中，線(xiàn)段最短）．【解決問(wèn)題】（3）如圖4，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)畫(huà)出最短路徑．【拓展應(yīng)用】（4）如圖5，在中，，，，．若P、Q分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．12．（24-25七年級(jí)下·山東青島·期末）轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的重要策略，線(xiàn)段最值問(wèn)題中“線(xiàn)段和最小”與“線(xiàn)段差（絕對(duì)值）最大”經(jīng)常借助軸對(duì)稱(chēng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”予以解決．【模型建立】（1）如圖①，點(diǎn)、在直線(xiàn)同側(cè)，請(qǐng)?jiān)谥本€(xiàn)上作一點(diǎn)，使得最?。唬ㄕ?qǐng)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)）（2）如圖②，在網(wǎng)格中，點(diǎn)、在直線(xiàn)異側(cè)，請(qǐng)?jiān)谥本€(xiàn)上作一點(diǎn)，使得最大；（請(qǐng)用直尺作出點(diǎn)）【模型應(yīng)用】（3）如圖③，在中，，射線(xiàn)在內(nèi)部，，點(diǎn)是射線(xiàn)上一點(diǎn)，連接和，則的最大值為_(kāi)____．（4）如圖④，在中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接和，求的最小值．【拓展訓(xùn)練四勾股定理中的新定義問(wèn)題】13．（24-25八年級(jí)下·安徽六安·期中）定義：我們把三角形某邊上高的長(zhǎng)度與這邊中點(diǎn)到高的距離的比值稱(chēng)為三角形某邊的“中偏度值”．在中，，則中邊的“中偏度值”為(

)A．2 B．3 C． D．14．（24-25七年級(jí)上·山東威?！て谀┒x：如圖，點(diǎn)把線(xiàn)段分割成，若以為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)是線(xiàn)段的勾股分割點(diǎn)．已知點(diǎn)、是線(xiàn)段的勾股分割點(diǎn)，且為直角邊，若，則的長(zhǎng)為．15．（2025·河南南陽(yáng)·一模）綜合與實(shí)踐在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過(guò)程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)對(duì)“對(duì)等垂美四邊形”進(jìn)行研究．定義：對(duì)角線(xiàn)相等且垂直的四邊形叫作對(duì)等垂美四邊形．(1)定義理解請(qǐng)?jiān)谙旅嫒鐖D1所示的網(wǎng)格中確定兩點(diǎn)C和D，使四邊形為對(duì)等垂美四邊形，且C和D均在格點(diǎn)上．（畫(huà)出一種即可）(2)深入探究如圖2，在對(duì)等垂美四邊形中，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)O，且，．將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）．B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、．如圖3．請(qǐng)判斷四邊形是否為對(duì)等垂美四邊形，并說(shuō)明理由．（僅就圖3的情況證明即可）(3)拓展運(yùn)用在（2）的條件下，若，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)到的距離．16、（2025·湖南湘西·模擬預(yù)測(cè)）我們定義：在一個(gè)圖形上畫(huà)一條直線(xiàn)，若這條直線(xiàn)既平分該圖形的面積，又平分該圖形的周長(zhǎng)，我們稱(chēng)這條直線(xiàn)為這個(gè)圖形的“等分積周線(xiàn)”．(1)如圖1，在中，，且，請(qǐng)你在圖1中作出的一條“等分積周線(xiàn)”；(2)在圖1中，過(guò)點(diǎn)C能否畫(huà)出一條“等分積周線(xiàn)”？若能，說(shuō)出確定的方法；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，四邊形中，，垂直平分，垂足為F，交于點(diǎn)E，已知，，．求證：直線(xiàn)為四邊形的“等分積周線(xiàn)”；(4)如圖3，在中，，，請(qǐng)你不過(guò)的頂點(diǎn)，畫(huà)出的一條“等分積周線(xiàn)”，并說(shuō)明理由．A基礎(chǔ)訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，為斜邊，則此三角形的周長(zhǎng)為（

）A．30 B．36 C．48 D．502．（24-25八年級(jí)上·江西吉安·期末）如圖，在中，，底邊上的高，，這個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為（

）A． B．，C． D．，3．（24-25八年級(jí)上·河北唐山·期末）如圖是由邊長(zhǎng)都是1的小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，其中，，是網(wǎng)格中的三個(gè)格點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，則（

）A．2 B． C．3 D．4．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，有一塊直角三角形紙片，，，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，在中，，分別以、為邊作正方形．若，則正方形和正方形的面積和為（

）A．16 B．24 C．32 D．646．（24-25八年級(jí)上·甘肅酒泉·期末）如圖，陰影部分是長(zhǎng)方形，則陰影部分面積為．7．（24-25八年級(jí)上·四川成都·期末）有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為尺．8．（24-