13.2.1三角形的邊第十三章三角形人教版（2024）素養(yǎng)目標(biāo)重點1.掌握三角形的三邊關(guān)系并能夠運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決有關(guān)的問題；

2.知道三角形具有穩(wěn)定性以及三角形的穩(wěn)定性在實際生活中的應(yīng)用.重點通過平移變換的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的闡述能力。完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2在代數(shù)運(yùn)算中經(jīng)常使用。理解整式乘法的本質(zhì)有助于更好地識圖。正多邊形的每個內(nèi)角都相等，內(nèi)角和公式為(n-2)×180°。掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用的關(guān)鍵在于理解如何測量，這是解決相關(guān)問題的基本功。完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2在代數(shù)運(yùn)算中經(jīng)常使用。掌握按角分類的關(guān)鍵在于理解如何結(jié)構(gòu)化，這是解決相關(guān)問題的基本功。新知導(dǎo)入【思考】要使三條線段能夠構(gòu)成三角形，這個三角形的三條邊的長度應(yīng)該滿足什么關(guān)系呢？下面我們開始進(jìn)行本節(jié)知識的學(xué)習(xí)

路線1：從點B到點A，再從點A到點C，長度：BA+AC.

路線2：從點B直接到點C，長度：BC.BA+AC和BC的大小關(guān)系如何？

任意畫一個△ABC，從點B出發(fā)，沿三角形的邊到點C，有幾條線路可以選擇？各條線路的長有什么關(guān)系？能證明你的結(jié)論嗎？

在從點B到點C的線路中，由點B先到點A再到點C的線路，比由點B直接到點C的線路長，即BA+AC＞BC.從B到A呢？有幾條線路可以選擇？各條線路的長有什么關(guān)系？ACB新知探究ACB

這利用了在小學(xué)我們學(xué)過的“三角形兩邊的和大于第三邊”的結(jié)論.你能推理證明嗎？

證明：

對于任意一個△ABC，如果把其中任意兩個頂點(例如B，C)看成定點，由“兩點之間，線段最短”，可得

AB+AC＞BC

①

同理可得，

AC+BC＞AB②AB+BC＞AC③你能得出什么結(jié)論呢？

結(jié)論：三角形兩邊的和大于第三邊.新知探究

思考：對不等式②③進(jìn)行移項，你還能得出什么結(jié)論？

AC+BC＞AB②AB+BC＞AC③BC＞AB-AC

BC＞AC-AB

你又能得出什么結(jié)論呢？

結(jié)論：三角形兩邊的差小于第三邊.ACB

總結(jié)：

第三邊取值范圍：_________＜第三邊＜_________.兩邊之差兩邊之和新知探究

思考：上面的結(jié)論表明了三角形三邊之間的關(guān)系.反過來，對于三條線段，當(dāng)它們滿足什么條件時，這三條線段能組成三角形?

一般地，如果三條線段中任意兩條線段的和大于第三條線段，那么這三條線段能組成三角形;如果三條線段中有兩條線段的和小于或等于第三條線段，那么這三條線段不能組成三角形.新知探究

分析：(1)6+9＞3，9-6=3；6+3=9，6-3＜9；3+9＞6，9-3=6.

不能組成三角形.1.下列長度的三條線段能否組成三角形？為什么？

(1)6cm、9cm、3cm；

(2)4cm、5cm、3cm.(2)4+5＞3，5-4＜3；5+3＞4，5-3＜4；4+3＞5，4-3＜5.

能組成三角形.小試牛刀

例1有兩根長度分別為5cm和8cm的木棒，用長度為2cm的木棒與它們能擺成三角形嗎？為什么？長度為13cm的木棒呢？

判斷三條線段是否可以組成三角形，只需說明兩條較短線段之和大于第三條線段即可.解：取長度為2cm的木棒時，由于2+5=7<8，出現(xiàn)了兩邊之和小于第三邊的情況，所以它們不能擺成三角形.取長度為13cm的木棒時，由于5+8=13，出現(xiàn)了兩邊之和等于第三邊的情況，所以它們也不能擺成三角形.歸納例2

一個三角形的三邊長分別為4，7，x，那么x的取值范圍是(

)

A．3＜x＜11B．4＜x＜7C．－3＜x＜11D．x＞3

判斷三角形邊的取值范圍要同時運(yùn)用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．歸納解析：∵三角形的三邊長分別為4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.A例3

用一條長為18cm的細(xì)繩圍成一個等腰三角形.(1)如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少？(2)能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？解：(1)設(shè)底邊長為xcm，則腰長為2xcm,x+2x+2x=18.解得x=3.6.所以三邊長分別為3.6cm、7.2cm、7.2cm.(2)因為長為4cm的邊可能是腰，也可能是底邊，所以需要分情況討論.①若底邊長為4cm，設(shè)腰長為xcm,則有4+2x=18.解得x=7.②若腰長為4cm,設(shè)底邊長為xcm，則有2×4+x=18.

解得x=10.因為4+4＜10，不符合三角形兩邊的和大于第三邊，所以不能圍成腰長是4cm的等腰三角形.由以上討論可知，可以圍成底邊長是4cm的等腰三角形.例4如圖，D是△ABC的邊AC上一點，AD=BD，試判斷AC與BC的大小.解：在△BDC中，有BD+DC>BC（三角形的任意兩邊之和大于第三邊）.又因為AD=BD，則BD+DC=AD+DC=AC，所以AC>BC.知識點一：復(fù)習(xí)：兩點之間，線段最短1.如圖，把原來彎曲的河道改直，A，B兩地間的河道長度變短，這樣做的道理是_______________________．兩點之間，線段最短練一練2.如圖，點A是線段BC外任意一點，那么總有BC____AB＋AC(填“＞”或“＜”)，其依據(jù)是_______________________．＜兩點之間，線段最短知識點二：三角形三邊的關(guān)系3.(1)三角形三邊的關(guān)系：三角形兩邊的和_______第三邊，兩邊的差_______第三邊；(2)三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用：判斷三條線段能否組成三角形．①一般地，如果三條線段中任意兩條線段的和大于第三條線段，那么這三條線段能組成三角形；②如果三條線段中有兩條線段的和小于或等于第三條線段，那么這三條線段不能組成三角形．大于小于4.(1)下列三條線段能組成三角形的是()A．3，3，3B．5，5，11C．2，4，8D．1，2，3(2)若三角形的兩邊長是3和4，則這個三角形的第三邊c的取值范圍是

____________．A1＜c＜71.如果三角形的三邊長確定，這個三角形的形狀、大小就確定了，這就是三角形的穩(wěn)定性.知識點三角形的穩(wěn)定性2知2－講2.穩(wěn)定性是三角形特有的，在生產(chǎn)和生活中具有廣泛的應(yīng)用，有很多需要保持穩(wěn)定的物體都被制成三角形的形狀，如鋼架橋、起重機(jī)等.知2－講示圖(如圖13.2-1)知2－練平板電腦是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常使用的電子產(chǎn)品，它的很多保護(hù)殼還兼具支架功能，如圖13.2-2所示，平板電腦放在上面就可以很方便地使用了，這是利用了三角形的__________．例3穩(wěn)定性知2－練解題秘方：三角形的穩(wěn)定性在生活中有廣泛的應(yīng)用.解：保護(hù)殼從側(cè)面看是三角形，三角形具有穩(wěn)定性，因此平板電腦放在上面可以放心使用.3-1.[中考·吉林]如圖，鋼架橋的設(shè)計中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)道理是___________________.三角形具有穩(wěn)定性知2－練當(dāng)堂小練2.下列長度的三條線段能組成三角形的是(

)A．5，6，10B．5，6，11C．3，4，8D．4a，4a，8a(a＞0)1.已知三角形兩邊的長分別是4和10，則此三角形第三邊的長可能是(

)A．5B．6C．12D．16CA方法點撥：已知三角形兩邊長分別為：a、b（a>b），則a-b<第三邊<a+b當(dāng)堂小練2.

某同學(xué)從長度分別為10cm，6cm，5cm，4cm的四根木棒中，任選其中三根組成三角形，則能組成的三角形的個數(shù)是（

）A.1B.2C.3D.4解析：轉(zhuǎn)化為去掉四根中的一根B當(dāng)堂小練3.若三角形的兩邊長分別是2和7，第三邊長為奇數(shù)，求第三邊的長.解：設(shè)第三邊長為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，可得，7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，又因為x為奇數(shù)，所以x=7，即第三邊的長為7.當(dāng)堂小練4.四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化.當(dāng)△ABC為等腰三角形時，對角線AC的長為（

）A．2

B．3

C．4

D．5B當(dāng)堂小練5.已知三角形兩邊的長分別為7和4，第三邊的長是整數(shù)，這個三角形周長