2025-2026學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷全解全析（考試時(shí)間：120分鐘，分值：120分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：蘇科版九上第一章~第二章。第一部分（選擇題共16分）選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．將一元二次方程化為一般形式后，常數(shù)項(xiàng)為，則一次項(xiàng)系數(shù)是（

）A． B．5 C．4 D．【答案】A【詳解】解：∵一元二次方程化為一般形式后，常數(shù)項(xiàng)為，∴一般形式為，∴一次項(xiàng)系數(shù)是，故選：A．2．將方程降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程，得（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】解：∵，兩邊都加4得：，∴，∴或，故選：C．3．已知點(diǎn)，點(diǎn)．若的半徑為5，則點(diǎn)P與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)P在內(nèi) B．點(diǎn)P在上 C．點(diǎn)P在外 D．無(wú)法確定【答案】A【詳解】解：∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴軸，∴，∴點(diǎn)P在內(nèi)，故選：A．4．問(wèn)題“解方程”，嘉嘉說(shuō)“其中一個(gè)解是”，琪琪說(shuō)“方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和為”，珍珍說(shuō)“，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根”，判斷下列結(jié)論正確的是（

）A．嘉嘉說(shuō)得對(duì) B．琪琪說(shuō)得對(duì)C．珍珍說(shuō)得對(duì) D．三名同學(xué)說(shuō)法都不對(duì)【答案】C【詳解】解：方程中，，，，，此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根，珍珍說(shuō)得對(duì)．故選：．5．如圖，A，B，C是上的三點(diǎn)，是等邊三角形．若，則的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖，連接OB，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，則．易得BO平分，，．，，解得．故選：.6．如圖，在的內(nèi)接四邊形中，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：A．7．九年級(jí)（1）班學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每名同學(xué)都要給其他同學(xué)寫(xiě)一份畢業(yè)留言作為紀(jì)念，全班學(xué)生共寫(xiě)了份留言．如果全班有名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：假設(shè)全班有名學(xué)生，根據(jù)題意得，故選：C．8．如圖，正方形中，，E是的中點(diǎn)．以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，若點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，連接，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，取點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、兩線交于點(diǎn)，連接，，，過(guò)作于，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，的最小值為，∴的最小值為，故選：A．第二部分（非選擇題共104分）二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分。9．方程的解為：．【答案】或【詳解】解：，，，或，解得：或．故答案為：或．10．用一個(gè)圓心角為的扇形圍成一個(gè)圓錐，若圓錐底面圓的半徑為，則扇形的半徑為．【答案】6【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為，∵扇形弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)，∴，解得：．答：扇形的半徑為．故答案為：6．11．如圖，在寬為，長(zhǎng)的矩形場(chǎng)地上，修筑同樣寬的兩條道路，余下的部分作為耕地，要使耕地的面積為，若設(shè)路寬為，則可列方程為：．【答案】【詳解】解：設(shè)路寬為，則耕地的長(zhǎng)應(yīng)該為，寬應(yīng)該為；根據(jù)面積公式可得：，故答案為：．12．方程的兩個(gè)根是直角三角形的兩邊邊長(zhǎng)，則這個(gè)直角三角形的外接圓半徑為．【答案】或【詳解】解：∵，∴，則或，解得．∵方程的兩個(gè)根分別是直角三角形兩邊邊長(zhǎng)，當(dāng)是兩直角邊長(zhǎng)時(shí)，則斜邊長(zhǎng)為，這個(gè)直角三角形的外接圓半徑為，當(dāng)是斜邊邊長(zhǎng)時(shí)，則另一條直角邊長(zhǎng)為，則這個(gè)直角三角形的外接圓半徑為，故答案為：或．13．已知α、β是方程的兩個(gè)根，則．【答案】10【詳解】解：α、β是方程的兩個(gè)根，，，，根據(jù)跟與系數(shù)的關(guān)系可得，，故答案為：．14．如圖，點(diǎn)、、、在上，，則為【答案】/度【詳解】解：∵點(diǎn)、、、在上，，∴，故答案為：．15．已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4和7，第三邊長(zhǎng)是方程的根，則第三邊的邊長(zhǎng)是．【答案】9【詳解】解：，，，，解得：；，，由于三角形兩邊之和大于第三邊，只能?。蚀鸢笧椋?．16．如圖，、分別與相切于A、B，C為上一點(diǎn)，，則的度數(shù)為．【答案】/72度【詳解】解：在優(yōu)弧上取一點(diǎn)D，連接、，、，，，，，、分別與相切，，．故答案為：．17．如圖，北京冬奧冰壺比賽中，凌智在中軸線上點(diǎn)投出一個(gè)冰壺，范蘇圓通過(guò)擦冰讓冰壺的運(yùn)行軌跡為圓弧，對(duì)方在中軸上點(diǎn)有一障礙壺，米，且冰壺偏離中軸線的最大距離為4米，如果要把對(duì)方冰壺撞開(kāi)，則圓弧的半徑為．【答案】米/【詳解】解：依題意，三點(diǎn)共圓，如圖，設(shè)圓弧的半徑為，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，，∴，在中，∴解得：故答案為：米．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，的半徑為2，P為上任意一點(diǎn)，C是的中點(diǎn)，則的最大值是．【答案】【詳解】解：如圖，連接，取的中點(diǎn)H，連接、．∵，，的半徑為2，∴∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以H為圓心半徑為1的圓，∵，，∴∴，∴OC的最大值，故答案為：．三、解答題：本題共10小題，共84分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。19．（本題8分）解方程．(1)（因式分解法）(2)（公式法）【答案】(1)，(2)，【詳解】（1）解：，，∴或，∴，．（2）解：，．20．（本題8分）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)若方程的一個(gè)根為2，求的值；(2)若方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：把代入得，解得；（2）解：方程有實(shí)數(shù)根，，．的取值范圍為．21．（本題8分）如圖，是的直徑，為的一條弦（不為直徑），點(diǎn)是與的交點(diǎn)，，，．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求的半徑．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)10【詳解】（1）解：，理由如下：如圖所示，連接，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，是的直徑，∴，設(shè)的半徑為，則，∴在中，，∴，∴，∴的半徑為10．22．（本題8分）為進(jìn)一步提高某屆學(xué)生的閱讀量，學(xué)校積極開(kāi)展課外閱讀活動(dòng)，目標(biāo)將該屆學(xué)生人均閱讀量從剛上七年級(jí)的80萬(wàn)字增加到八年級(jí)結(jié)束時(shí)的115.2萬(wàn)字．(1)求該屆學(xué)生人均閱讀量這兩年中每年的平均增長(zhǎng)率；(2)若按這兩年中每年的平均增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，學(xué)校能否實(shí)現(xiàn)九年級(jí)結(jié)束時(shí)該屆學(xué)生人均閱讀量達(dá)到140萬(wàn)字的目標(biāo)，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明．【答案】(1)20%(2)學(xué)校的目標(biāo)不能實(shí)現(xiàn)，說(shuō)明見(jiàn)解析【詳解】（1）解：（1）設(shè)該屆學(xué)生每學(xué)年學(xué)生人均閱讀量的平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意得，，解得（舍去），．答：增長(zhǎng)率為20%．（2）（2）按照（1）中的閱讀量增長(zhǎng)率，九年級(jí)的人均閱讀量為（萬(wàn)字），∵，∴學(xué)校的目標(biāo)不能實(shí)現(xiàn)．23．（本題8分）平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣傳月”期間，某商店銷售一批頭盔，進(jìn)價(jià)為每頂元，售價(jià)為每頂元．平均每周可售出頂，商店計(jì)劃將頭盔降價(jià)銷售，但每頂售價(jià)要高于元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)元，平均每周可多售出頂．該商店若希望每周獲利元，則每頂頭盔應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】每頂頭盔應(yīng)降價(jià)元．【詳解】解：設(shè)每頂頭盔應(yīng)降價(jià)元，則每頂頭盔的銷售利潤(rùn)為元，平均每周的銷售量為頂，依題意得：，整理得：，解得：，，，，，答：每頂頭盔應(yīng)降價(jià)元．24．（本題8分）科學(xué)家阿基米德曾說(shuō)：“假如給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬起整個(gè)地球！”這運(yùn)用的是杠桿原理．如圖1，表示地球，點(diǎn)是支點(diǎn)．(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在圖1中作出撬起地球的杠桿（直線），使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與相切于點(diǎn)．（標(biāo)明字母，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(2)如圖2，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，為下方的上一點(diǎn)，且，在圖1的條件下，若為的中點(diǎn)，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)15°【詳解】（1）解：如圖（1），直線即為所求作的直線；（2）解：如圖，連接，∵是的切線，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∴．25．（本題8分）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)．如果，分別從，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．．(1)當(dāng)為何值時(shí)，的長(zhǎng)度等于？(2)連接，是否存在的值，使得的面積等于？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）解：在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，，，，四邊形是矩形，，在中，由勾股定理得，，解得（舍去），，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度等于；（2）由題意得：，的面積等于，，，，或（舍去），當(dāng)時(shí)，使得的面積等于．26．（本題8分）如圖，中，，以為直徑作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是圓O的切線；(2)若為等邊三角形，，求圓半徑的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)2【詳解】（1）證明：連接，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：為等邊三角形，，是的直徑，，，，，，，在中，，，，，．半徑的長(zhǎng)為2．27．（本題10分）閱讀材料，并解決問(wèn)題．【學(xué)習(xí)研究】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，以為例，構(gòu)造方法如下：首先將方程變形為，然后畫(huà)四個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形，按如圖1所示的方式拼成一個(gè)“空心”大正方形，則圖1中大正方形的面積可表示為，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形面積之和，即．因此，可得新方程．因?yàn)楸硎具呴L(zhǎng)，所以，即．遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個(gè)正根．【理解應(yīng)用】參照上述圖的方法，請(qǐng)?jiān)谙旅嫒齻€(gè)構(gòu)圖中選擇能夠用幾何法求解方程的正確構(gòu)圖是______．（從序號(hào)①②③中選擇）【類比遷移】小穎根據(jù)以上解法解方程，請(qǐng)將其解答過(guò)程補(bǔ)充完整：第一步：將原方程變形為，即；第二步：利用四個(gè)全等的矩形構(gòu)造“空心”大正方形；第三步：根據(jù)大正方形的面積可得新的方程______，解得原方程的一個(gè)根為_(kāi)_____；【拓展應(yīng)用】一般地，對(duì)于形如的一元二次方程可以構(gòu)造圖2來(lái)解．已知圖2是由四個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4，那么此方程的系數(shù)______，______，求得方程的正根為_(kāi)_____．【答案】【理解應(yīng)用】②【類比遷移】【拓展應(yīng)用】；3；1或【詳解】解：[理解應(yīng)用]變形為，如圖所示，圖①一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為：；圖②一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為；圖③一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為：；∴當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意，故選：②；[類比遷移]第一步：將原方程變形為，即；第二步：利用四個(gè)全等的矩形構(gòu)造“空心”大正方形；第三步：根據(jù)大正方形的面積可得新的方程，解得原方程的一個(gè)根為；故答案為：；[拓展應(yīng)用]∵∴，∴四個(gè)小矩形的面積為，大正方形的面積是，其中它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，∵圖2是由四個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4，∴，解得，，當(dāng)時(shí)，，∴，解得，，即方程的一個(gè)正根為1；當(dāng)時(shí)，，∴，解得，，即方程的一個(gè)正根為；綜上所述，方程的一個(gè)正根為或，故答案為：或．28．（本題10分）（1）如圖1，在足球比賽場(chǎng)上，甲帶球奔向?qū)Ψ角蜷T(mén)，當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，同伴乙已沖到B點(diǎn)，甲是自己射門(mén)好，還是將球傳給乙，讓乙射門(mén)好？對(duì)上面這個(gè)問(wèn)題，小明結(jié)合圖1判斷甲的視角小于乙的視角，根據(jù)“僅從射門(mén)角度考慮，球員對(duì)球門(mén)的視角越大，足球越容易被踢進(jìn)”的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為甲應(yīng)該將球傳給乙．請(qǐng)結(jié)合圖1給出小明得到的理由；（2）德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問(wèn)題，并得到這樣的結(jié)論：如圖2，點(diǎn)A，B是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，C是直線l上的