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文檔簡介
2025-2026學(xué)年九年級上學(xué)期期中模擬卷數(shù)學(xué)·全解全析(考試時間:120分鐘試卷滿分:120分)注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。4.測試范圍:蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊第1~3章(一元二次方程+對稱圖形——圓+數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度)。第一部分(選擇題共12分)選擇題(本大題共6小題,每小題2分,滿分12分.在每個小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求的)1.若關(guān)于x的一元二次方程(,a、b為常數(shù))的一個根是,則代數(shù)式的值為(
)A.-2025 B.2025 C. D.2026【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義,解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解定義.根據(jù)一元二次方程的解的定義,得出,整理得,然后代入求值即可.【詳解】解:將代入得,,∴,∴,故選:B.2.已知的半徑為,圓心到直線l的距離為,則直線與的位置關(guān)系是(
)A.相離 B.相切 C.相交 D.相交或相切【答案】A【分析】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系,根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系進行判斷:當(dāng)時,直線與圓相交;當(dāng)時,直線與圓相切;當(dāng)時,直線與圓相離,即可判斷求解,掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:∵的半徑為,圓心到直線l的距離為,,∴直線與相離,故選:.3.某小組5人在一次數(shù)學(xué)測驗中的成績分別是:110,105,105,100,98,則他們的成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是(
)A.110和105 B.110和100 C.105和100 D.105和105【答案】D【分析】本題考查中位數(shù)和眾數(shù),將這組數(shù)字從小到大排列,根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求解.【詳解】解:這5個數(shù)從小到大排列為:98,100,105,105,110,中位數(shù)為排在第三位的105,105出現(xiàn)次數(shù)最多,故眾數(shù)為105,故選:D.4.若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根,則k的取值范圍是(
)A. B.C.且 D.且【答案】C【分析】本題考查一元二次方程根的判別式,熟知一元二次方程的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.根據(jù)一元二次方程的定義得到,由根的判別式得到△,由此求得的值.【詳解】解:當(dāng)時,此方程是一元二次方程,方程有實數(shù)根,△,即△,解得.綜上所述,的取值范圍是且故選:C.5.如圖,中,弦、相交于點P,,,則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì),同弧所對的圓周角相等,先由三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù),再由同弧所對的圓周角相等即可得到答案.【詳解】解:∵,,∴,∵,∴,故選:B.6.如圖,是以正方形的頂點為圓心,為半徑的弧上的點,連接,,將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到線段,連接.若,則的最大面積是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】本題考查正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理;過點Q作于點E,過點C作交延長線于點F,連接交弧于點,則可得到,即可得到,根據(jù)垂線段最短和三角形三邊關(guān)系得到,即可得到點P在時,的值最大為長,利用勾股定理和三角形的面積公式計算解答即可.【詳解】解:過點Q作于點E,過點C作交延長線于點F,連接交弧于點,則,又∵,∴,∴,由旋轉(zhuǎn)得,∴,∴,∵,∴,∴,即當(dāng)點P在時,的值最大為長,∵是正方形,,∴,∴的值最大為,∴的最大面積是,故選:C.第二部分(非選擇題共108分)二、填空題(本大題共10小題,每小題2分,滿分20分)7.當(dāng)時,關(guān)于的方程是一元二次方程.【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的概念,注意一元二次方程中,方程最高次數(shù)為二次;二次項系數(shù).【詳解】解:由題意可得:,且,解得:.故答案為:.8.北京市某校名同學(xué)參加某區(qū)初中數(shù)學(xué)競賽,其中位男同學(xué)的平均成績?yōu)榉?,名女同學(xué)的平均成績?yōu)榉?,則該校名同學(xué)的平均成績?yōu)榉帧敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了平均數(shù),根據(jù)平均數(shù)的定義求解即可.【詳解】解:其中位男同學(xué)的平均成績?yōu)榉?,名女同學(xué)的平均成績?yōu)榉郑撔C瑢W(xué)的平均成績?yōu)椋ǚ郑?,故答案為:?.已知圓錐的底面半徑為,母線長為,則該圓錐的側(cè)面積是【答案】【分析】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積計算,熟練掌握圓錐側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵.先明確圓錐側(cè)面積公式,再代入底面半徑和母線長計算.【詳解】解:故答案為:.10.在振興鄉(xiāng)村的農(nóng)業(yè)發(fā)展中,為比較甲、乙、丙三種改良玉米種子的發(fā)芽情況穩(wěn)定性,農(nóng)業(yè)技術(shù)員在相同試驗條件下,對每種玉米種子各隨機選取80粒進行發(fā)芽試驗,統(tǒng)計發(fā)芽數(shù)量.經(jīng)計算,三種玉米種子的平均發(fā)芽數(shù)相同,甲、乙、丙三種玉米種子發(fā)芽數(shù)的方差分別是2.3、6.7、9.4.由此可知,種玉米種子發(fā)芽情況更穩(wěn)定(填“甲”“乙”或“丙”).【答案】甲【分析】本題主要考查了方差的意義,熟練掌握方差越小,數(shù)據(jù)的波動越小,穩(wěn)定性越好是解題的關(guān)鍵.根據(jù)方差的意義,方差越小,數(shù)據(jù)的波動越小,穩(wěn)定性越好,比較三種玉米種子發(fā)芽數(shù)的方差大小即可.【詳解】解:∵甲、乙、丙三種玉米種子發(fā)芽數(shù)的方差分別是、、,且,∴甲種玉米種子發(fā)芽情況更穩(wěn)定.故答案為:甲.11.某電子產(chǎn)品經(jīng)過連續(xù)兩次降價,售價由4900元降到了3600元.設(shè)平均每次降價的百分率為,根據(jù)題意列出的方程是.【答案】【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.利用該電子產(chǎn)品經(jīng)過兩次降價后的價格原售價(每次降低百分率),即可列出關(guān)于的一元二次方程.【詳解】解:根據(jù)題意得:.故答案為:.12.如圖,是的弦,的延長線交過點B的的切線于點C,如果,則的度數(shù)是.【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì),等邊對等角,直角三角形兩個銳角互余,三角形外角性質(zhì),首先利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)求得的度數(shù),然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得是直角三角形,然后根據(jù)直角三角形兩個銳角互余進行列式,即可求解.【詳解】解:∵,∴,∴,又∵是的切線,∴,則,∴.故答案為:.13.已知,是一元二次方程的兩個實數(shù)根,則的值是.【答案】5【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,多項式乘多項式,解題的關(guān)鍵是熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系.利用根與系數(shù)的關(guān)系及多項式乘多項式的法則進行求解即可.【詳解】解:根據(jù)題意得,,,將代入上式得,原式,故答案為:5.14.如圖,一個隧道的橫截面是以為圓心的圓的一部分,路面,高,則此圓的半徑長為.【答案】【分析】本題考查了垂徑定理與勾股定理;連接,設(shè)圓的半徑為r,則,由垂徑定理得,由,由勾股定理建立方程即可求解.【詳解】解:如圖,連接,設(shè)圓的半徑為r,則,∵,且過圓心O,∴,∵,∴由勾股定理得:,即,解得:,故答案為:.15.關(guān)于的方程的解是,(、、均為常數(shù),),則方程的解是.【答案】,/,【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程,首先把方程,整理成的形式,根據(jù)方程的解是,,可知方程的解是,,從而求出方程的解.【詳解】解:,整理得:,方程的解是,,方程的解是,,解得:,.故答案為:,.16.如圖,中,,,,則外接圓的面積為.【答案】【分析】先連接,在截取一點,連接使得,證明是等腰直角三角形,結(jié)合三角形的外角性質(zhì)以及角的和差關(guān)系得,即,設(shè),則,得,根據(jù),得,整理得,運用圓周角定理以及勾股定理,得再代入數(shù)值計算,即可作答.【詳解】解:連接,在截取一點,連接使得,如圖所示:∵,∴,即是等腰直角三角形,∵,,∴,即,∴,設(shè),則,∴,過作,∴,同理證明是等腰直角三角形∴,∵,∴,整理得,過作,∵,∴,∵,∴是等腰直角三角形,∴,設(shè),∴,即,∴,∴,則即∴,∵,∴,整理得,∴,則外接圓的面積為,故答案為:.【點睛】本題考查了圓周角定理,勾股定理,等腰直角三角形的判定與性質(zhì),三角形外角性質(zhì),難度較大,綜合性較強,正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.三、解答題(本大題共11小題,滿分88分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(10分)解下列方程:(1)(2)【答案】(1),(2),【分析】本題主要考查解一元二次方程,熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法,結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.(1)先移項,再用提公因式法因式分解求解可得;(2)直接利用十字相乘法因式分解求解可得.【詳解】(1)解:,,,,或,解得:,;······(5分)(2)解:,,或,解得:,.······(5分)18.(7分)如圖,在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系,一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)格的交點為A、B、C.(1)在圖中標(biāo)出該圓弧所在圓的圓心D,連接.(2)在(1)的基礎(chǔ)上,完成下列填空:①寫出點的坐標(biāo):C______、D______;②的半徑是______結(jié)果保留根號;③若扇形是一個圓錐的側(cè)面展開圖,則該圓錐的底面的面積(結(jié)果保留).【答案】(1)見解析(2)①,;②;③【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理、弧長公式、全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點,能綜合運用性質(zhì)和定理進行推理和計算是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)找出圓的圓心即可;(2)①根據(jù)圖形和已知點的位置寫出坐標(biāo)即可;根據(jù)勾股定理求出即可;求出,根據(jù)弧長公式求出弧的長,然后求出底面半徑,最后根據(jù)圓的面積公式求解即可.【詳解】(1)解:如圖:即為所求.······(2分)(2)解:①由(1)作圖可知:,;故答案為:,;······(1分)②的半徑是:.······(1分)如圖:在和中,,,,,,,,弧的長為,設(shè)底面的半徑為r,則,解得:.扇形是一個圓錐的側(cè)面展開圖,則該圓錐的底面的面積是······(3分)19.(6分)已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根.(1)求實數(shù)m的取值范圍;(2)若一元二次方程的兩個根和滿足,求實數(shù)m的值.【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.(1)利用一元二次方程根的判別式解答即可;(2)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得,,再代入即可解答.【詳解】(1)解:∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根,∴,解得,即當(dāng)時,方程有兩個實數(shù)根;······(3分)(2)解:∵,∴由根與系數(shù)的關(guān)系,得,.,.,.解方程,得或.∵,.······(3分)20.(8分)學(xué)校打算建立一塊矩形的生物種植田來種植水果黃瓜,一面利用學(xué)校的墻(墻的最大可用長度為米),其余部分需要用總長為米的柵欄圍成,且矩形中間需用柵欄隔開,柵欄因?qū)嶒炐枰?,有兩個寬為1米的門(門無需柵欄,如圖所示).設(shè)種植田為m米.若該種植田的面積為平方米(柵欄的占地面積忽略不計),求該種植田的寬m.【答案】6米【分析】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用,解題關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的條件,找出合適的等量關(guān)系,正確列出方程求解.根據(jù)題意可得種植田的長為米,再根據(jù)面積公式列一元二次方程,解方程,最后根據(jù)墻的最大可用長度為米對求出的根進行取舍.【詳解】解:∵種植田為m米,柵欄總長為米,有兩個寬為1米的門,∴種植田的長為米,∵該種植田的面積為平方米,∴,整理得:,解得,,當(dāng)時,,不合題意,舍去;當(dāng)時,,符合題意.答:該種植田的寬m為6米.······(8分)21.(8分)為了迎接市里舉辦的舞蹈比賽,某校分別對甲、乙兩支舞蹈隊8名隊員的身高做了調(diào)查,收集數(shù)據(jù)并整理如下.1號2號3號4號5號6號7號8號甲169165168169172173169167乙160168172162162172172176【數(shù)據(jù)收集】甲、乙兩支舞蹈隊的8名隊員的身高(單位:cm)如下表:【數(shù)據(jù)分析】分析以上數(shù)據(jù),得到下表:平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲ab1695.75乙16817017231請你根據(jù)以上信息完成下列問題:(1)此次采用的調(diào)查方式屬于.(填“抽樣調(diào)查”或“全面調(diào)查”)(2)______,________.【數(shù)據(jù)運用】(3)如果要選擇身高比較整齊的舞蹈隊參加比賽,該選哪個隊?請說明理由.(4)現(xiàn)學(xué)校決定從甲、乙兩隊中分別挑選若干名隊員,組建一支身高更加整齊的8人舞蹈隊參加比賽,則應(yīng)在甲隊中挑選名隊員.【答案】(1)全面調(diào)查;(2)169,;(3)選擇甲隊比較合適,見解析;(4)5【分析】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義,抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別.(1)根據(jù)抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別即可解答;(2)根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義即可解答;(3)利用方差的意義即可解答;(4)析兩隊隊員的身高數(shù)據(jù),即可解答.【詳解】(1)解:此次采用的調(diào)查方式屬于全面調(diào)查,故答案為:全面調(diào)查;······(2分)(2)解:,將甲隊的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,最中間的兩個數(shù)是169,169,,故答案為:,;······(2分)(3)應(yīng)選擇甲隊,理由:∵,∴甲隊隊員的身高比乙隊更整齊,∴選擇甲隊比較合適;······(2分)(4)解:從甲隊選擇身高分別為169,169,169,172,173的5名隊員,從乙隊選擇身高分別為172,172,172的3名隊員組建新的舞蹈隊.故應(yīng)從甲隊挑選5名隊員,故答案為:.······(2分)22.(7分)如圖,是三角形的外接圓,是的直徑,于點.(1)求證:;(2)若長為8,,求的半徑長.【答案】(1)見解析(2)5【分析】本題主要考查了垂徑定理,圓周角定理,勾股定理,掌握垂徑定理:“垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧”是解題關(guān)鍵.(1)根據(jù)垂徑定理和圓周角定理進行判斷即可;(2)設(shè)的半徑為,根據(jù)垂徑定理得出點為的中點,在中,利用勾股定理列式計算,即可求出結(jié)果.【詳解】(1)證明:,,;······(3分)(2)解:連接,如圖,設(shè)的半徑為,則,,,在中,,解得,即的半徑長為5.······(4分)23.(8分)暑假期間某景區(qū)商店推出銷售紀(jì)念品活動,已知紀(jì)念品每件的進貨價為30元,經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),當(dāng)該紀(jì)念品的銷售單價為40元時,每天可銷售280件;當(dāng)銷售單價每增加1元,每天的銷售數(shù)量將減少10件.(銷售利潤=銷售總額-進貨成本)(1)若該紀(jì)念品的銷售單價漲價為5元時,則當(dāng)天銷售量為______件.(2)當(dāng)該紀(jì)念品的銷售單價漲價為多少元時,該產(chǎn)品的當(dāng)天銷售利潤是2610元.【答案】(1)230(2)當(dāng)該紀(jì)念品的銷售單價漲價為19元時,該紀(jì)念品的當(dāng)天銷售利潤是2610元【分析】(1)因為“當(dāng)銷售單價每增加1元,每天的銷售數(shù)量將減少10件”,所以銷售單價漲價為5元,當(dāng)天銷售數(shù)量將減少5個10件,結(jié)合已知的銷售單價和銷售量即可求解;(2)設(shè)該紀(jì)念品的銷售單價漲價為元,用分別表示銷售單價、每件的利潤和每天的銷售數(shù)量,根據(jù)“當(dāng)天銷售利潤是2610元”列方程求解即可;本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,設(shè)該紀(jì)念品的銷售單價漲價為元,利用銷售利潤是2610元列方程并解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.【詳解】(1)解:(件),故答案為:230.······(3分)(2)設(shè)該紀(jì)念品的銷售單價漲價為元,此時紀(jì)念品的銷售單價為元,每件的利潤為元,每天的銷售數(shù)量為件,由題意得,整理得,因式分解得,解得,(舍去).則當(dāng)該紀(jì)念品的銷售單價漲價為19元時,該紀(jì)念品的當(dāng)天銷售利潤是2610元.······(5分)24.(8分)如圖,已知的直徑,內(nèi)接于,且,延長至點G,連接,.(1)求證:直線是的切線;(2)若,求圖中陰影部分的面積.【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)根據(jù)等邊對等角得出相等的角,證明,得出對應(yīng)角相等,根據(jù)垂徑定理得出直角,即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系求出,利用銳角三角函數(shù)求出,利用三角形的面積和扇形的面積差即可求解.【詳解】(1)證明:連接,連接交于點M,,,,,,,,于點M,,于點C,又∵點C在上,∴直線CG是的切線;······(4分)(2)解:,,,,∴.······(4分)【點睛】本題主要考查了垂徑定理,等邊對等角,平行線的判定和性質(zhì),切線的判定,圓周角和圓心角的關(guān)系,銳角三角函數(shù),扇形的面積公式,解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì).25.(8分)某數(shù)學(xué)興趣小組進行數(shù)學(xué)實踐活動,內(nèi)容如下:任務(wù):測量圓口水杯的杯口直徑工具:一張寬度為(小于杯口半徑)的矩形硬紙板、一支筆和一把刻度尺.以下為小組成員耀耀和亮亮的測量方法耀耀的測量方法:如圖(1),將硬紙板緊貼在杯口上,紙板的兩個頂點A,B分別靠在杯口,用筆標(biāo)記上下邊沿與杯口的交點C,D,連,利用刻度尺測得的長;亮亮的測量方法:如圖(2),將硬紙板緊貼在杯口,紙板的一邊與杯口相切,用筆標(biāo)記切點P及另一邊與杯口的交點E,F(xiàn),利用刻度尺測得長為.(1)①耀耀認(rèn)為,他所測量出的長就是杯口的直徑,他的依據(jù)是;②請根據(jù)亮亮的測量方法和得到的數(shù)據(jù),計算出杯口的直徑(2)請你利用提供的工具,設(shè)計另一種測量方案,在圖(3)中畫出示意圖,并簡述測量過程.【答案】(1)①在圓中,圓周角所對的弦是直徑;②杯口的直徑為(2)見解析【分析】本題考查了圓周角定理、勾股定理、垂徑定理、切線的性質(zhì)定理等知識,熟練掌握圓的性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵.(1)①根據(jù)的圓周角所對的弦是直徑進行解答即可;②(2)設(shè)圓心為O,連接交于點G,由垂徑定理得,設(shè),則.由勾股定理列方程,解得,即可得到答案.(2)利用提供的工具,設(shè)計另一種測量方案,并在圖(3)中畫出示意圖,簡述測量過程即可.【詳解】(1)解:①用到的幾何知識是:在圓中,圓周角所對的弦是直徑;故答案為:圓周角所對的弦是直徑;······(2分)②如圖(1),設(shè)圓心為O,連接交于點G,則,∴點G是的中點,∴,設(shè),則.在中,,∴,解得,即,∴杯口的直徑為.······(2分)(2)解:示意圖如圖(2)所示測量過程:將矩形硬紙板的一邊與杯口相切,切點為P,另一邊與杯口交于E,F(xiàn)兩點,利用刻度尺找出的中點M,直線與杯口交于另一點N,用刻度尺測得的長,即為杯口的直徑.······(4分)26.(8分)如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根,,且其中一個根比另一個根大1,那么稱這樣的方程為“鄰近根方程”,例如,一元二次方程的兩個根是,,,則方程是“鄰近根方程”.(1)判斷方程是否是“鄰近根方程”;(2)已知關(guān)于x的方程(m是常數(shù))是“鄰近根方程”,求的值;(3)若關(guān)于x的方程(a,b是常數(shù),且)是“鄰近根方程”,令,試求t的最大值.【答案】(1)方程是“鄰近根方程”,理由見詳解(2)0或(3)t的最大值為【分析】(1)根據(jù)解一元二次方程的方法求出已知方程的兩個根,再計算兩根的差是否為1,從而確定方程是否為“鄰近根方程”;(2)先解方程求得其根,再根據(jù)新定義列出關(guān)于m的方程,注意有兩種情況;(3)根據(jù)新定義得方程得大根與小根的差為1,列出a與b的關(guān)系式,再由,得t與a的關(guān)系,化簡即可.【詳解】(1)解:方程是“鄰近根方程”,理由:在方程中,,∴,,∴,∴方程是“鄰近根方程”.······(2分)(2)解:,,,,,,∵關(guān)于x的方程(m是常數(shù))是“鄰近根方程”,,即,∴,解得:或.······(3分)(3)解:∵關(guān)于x的方程(a,b是常數(shù),且)是“鄰近根方程”,設(shè)兩個根為、,∴,∵,,∴,∴,∴,∴當(dāng)時,,即t的最大值為.······(3分)【點睛】本題考查一元二次方程,解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法以及正確理解“鄰近根方程”的定義.27.(10分)現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片,點O是圓心,直徑,P是半圓弧上的一點(點P與點A、B不重合),(1)連接,沿剪下,則是________三角形(填“銳角”、“直角”
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