期中重難點檢測卷（培優(yōu)卷）（滿分100分，考試時間120分鐘，共27題）注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上；2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效；3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效；4.測試范圍：1~2章（一元二次方程+對稱圖形——圓全部內容）；5.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）選擇題（8小題，每小題2分，共16分）1．（2025九年級上·江蘇常州·模擬預測）是下列哪個一元二次方程的根（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查解一元二次方程，根據一元二次方程的求根公式逐項判斷即可．【詳解】解：A．中，，不合題意；B．中，，不合題意；C．，，不合題意；D．中，，符合題意；故選：D．2．（2025九年級上·江蘇無錫·模擬預測）下圖中，每張方格紙上都畫有一個圓，只用不帶刻度的直尺就能確定圓心位置的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了圓心的確定方法，網格內的圖形問題須充分利用格線互相垂直的特點．圓心是圓中兩條不平行的弦的垂直平分線的交點，因此看圖中弦的垂直平分線是否為網格線便可求解．【詳解】解：觀察圖形，根據圓的軸對稱性，可知是正確的．故選：D．3．（25-26九年級上·江蘇宿遷·階段練習）的半徑為3，點到圓心的距離為2，點與的位置關系是（

）A．點在外 B．點在內C．點在上 D．不能確定【答案】B【分析】本題考查了點與圓的位置關系，根據點到圓心的距離與圓的半徑的關系進行判定即可求解．【詳解】解：設點到圓心的距離，∵，∴點在內，故選：B．4．（25-26九年級上·江蘇常州·階段練習）若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（

）A． B．且C．且 D．且【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．根據一元二次方程根的判別式列不等式，求得，再根據二次項系數，即得答案．【詳解】解：關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，，解得，又二次項系數，的取值范圍是且．故選：C．5．（24-25九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）反比例函數的圖象與直線有個交點，且兩交點橫坐標的積為負數，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查反比例函數與一次函數圖象交點問題，將兩個解析式聯(lián)立，得出整式方程，由圖象有兩個交點，可得有兩個不相等的實數根，由兩交點橫坐標的積為負數，可得，求不等式組的解集即可．【詳解】解：將與聯(lián)立，得：，化為整式方程，得：，反比例函數的圖象與直線有個交點，且兩交點橫坐標的積為負數，有兩個不相等的實數根，且，，解得，故選：B．6．（2025·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預測）如圖，在中，，，則的度數為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理，連接是解題的關鍵；連接，利用圓周角定理求出，，再由求解即可．【詳解】解：如圖，連接，根據圓周角定理，可得，，．故選：D．7．（2025·江蘇徐州·模擬預測）如圖所示，①中多邊形（邊數為12）是由正三角形“擴展”而來的，②中多邊形是由正方形“擴展”而來的，，依此類推，則當多邊形的邊數為90時，該多邊形是由正（

）邊形“擴展”得到的（

）A．七 B．八 C．九 D．十【答案】C【分析】本題考查圖形的變化類，一元二次方程的解法，首先要正確數出這幾個圖形的邊數，從中找到規(guī)律，進一步推廣．正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數為是解題關鍵．①邊數是，②邊數是，依此類推，則由正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數為．【詳解】解：∵①正三邊形“擴展”而來的多邊形的邊數是，②正四邊形“擴展”而來的多邊形的邊數是，③正五邊形“擴展”而來的多邊形的邊數為，④正六邊形“擴展”而來的多邊形的邊數為，∴正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數為．當多邊形的邊數為90時，∴，解得：或（舍去），故選：C．8．（2025·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，在中，，，，點A，B在直線l上．將沿直線l向右作無滑動翻滾，則翻滾一周時點A經過的路線長是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了弧長的計算以及旋轉的性質．根據題意得出翻滾一周時點A經過的路線長，進而求出即可．【詳解】解：如圖所示：

∵，，，∴，∴翻滾一周時點A經過的路線長是：．故選：C．第II卷（非選擇題）二、填空題（8小題，每小題2分，共16分）9．（24-25九年級上·江蘇南京·期中）方程的解為：．【答案】，【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，理解因式分解法解方程的依據是關鍵．首先把方程移項，把方程的右邊變成0，然后對方程左邊分解因式，根據幾個因式的積是0，則這幾個因式中至少有一個是0，即可把方程轉化成一元一次方程，從而求解．【詳解】解：移項得：，即，于是得：或，則方程的解為：，．故答案為：，．10．（24-25九年級上·江蘇淮安·期中）半徑為、弧長是的扇形，面積為，此扇形的圓心角為度．【答案】125.6144【分析】本題考查了弧長公式與扇形面積的計算，掌握弧長與扇形面積計算公式是解題的關鍵，由弧長及半徑即可計算扇形的面積，由弧長利用方程即可計算扇形圓心角．【詳解】解：扇形面積為，設扇形圓心角為度，則，解得：，即扇形圓心角為，故答案為：．11．（25-26九年級上·江蘇揚州·期中）已知，是一元二次方程的兩個根，且該方程的兩根互為倒數，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系，倒數，解一元一次方程，公式法解一元二次方程等知識點，熟練掌握一元二次方程的根與系數的關系是解題的關鍵：如果一元二次方程的兩個實數根是，，那么，．根據一元二次方程的根與系數的關系可得，根據已知條件“該方程的兩根互為倒數”可得，于是可得關于的一元一次方程，解方程即可求出的值．【詳解】解：，又該方程的兩根互為倒數，即：，，解得：，12．（24-25九年級上·江蘇常州·階段練習）對于實數、，定義運算“⊙”：⊙（1）則⊙．（2）若、是一元二次方程的兩個實數根，⊙．【答案】或8【分析】本題考查新定義運算以及一元二次方程的求解，解題關鍵是：對于新定義運算，要根據所給的運算規(guī)則，判斷、的大小關系，然后選擇對應的運算公式進行計算．（1）已知，，因為，根據新定義運算“⊙”，當時，；（2）先求解一元二次方程，解得，，所以、的值為2和4，分兩種情況討論：①若，，即；②若，，即；分類求解即可．【詳解】解：（1），6⊙3；（2），解得：，①若，，即⊙；②若，，即⊙；綜上所述⊙或8．13．（24-25九年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，分別切于點A，B，，那么的長為．【答案】2【分析】本題考查切線長定理，等邊三角形的判定和性質，掌握等邊三角形的判定和性質是解決本題的關鍵．由切線長定理知，根據已知條件即可判定是等邊三角形，由此可求得的長．【詳解】解：∵分別切于點A，B，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，故答案為：2．14．（25-26九年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，為圓的直徑，弦于點，若，，則圓的直徑為．

【答案】【分析】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．連接，如圖，設的半徑為r，根據垂徑定理得到，然后利用勾股定理得到，然后解方程即可．【詳解】解：連接，如圖，設的半徑為r，則，

∵，∴，在中，，∴，解得，∴的直徑為20．故答案為：20．15．（24-25九年級上·江蘇泰州·期中）商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．（1）若某天該商品每件降價3元，當天可獲利多少？（2）在上述銷售正常情況下，每件商品降價元時，商場日盈利可達到2000元．【答案】169225【分析】（1）根據“盈利=單件利潤×銷售數量”即可得出結論；（2）根據“盈利=單件利潤×銷售數量”即可列出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根據盡快減少庫存即可確定x的值．【詳解】解：（1）當天盈利：（元）；故答案為：1692．（2）設每件商品降價x元，根據題意，得：，整理，得：，解得：，∵商城要盡快減少庫存，∴．故答案為：25．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，根據數量關系列出一元二次方程（或算式）是解題的關鍵．16．（24-25九年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，在中，，，，以為對稱軸，作的軸對稱圖形，點A的對稱點恰好與的內切圓圓心O重合，則，與圓周圍成的陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查了三角形內切圓與內心，含30度角的直角三角形，扇形面積的計算，勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．設的內切圓與三邊相切于點F，G，H，連接，，，得四邊形為正方形，設正方形的邊長為r，然后利用含30度角的直角三角形和切線長定理可以求出，再利用扇形面積公式即可解決問題．【詳解】解：如圖，設的內切圓與三邊相切于點F，G，H，連接，，，可得四邊形為正方形，設正方形的邊長為r，在中，，∵，，∴，，∴，，∵，∴，解得，由翻折可知：，∴，與圓周圍成的陰影部分的面積為．故答案為：．三、解答題（11小題，共68分）17．（25-26九年級上·江蘇蘇州·階段練習）解下列一元二次方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關鍵．（1）把方程左邊利用完全平方公式分解因式，再解方程即可；（2）把方程左邊利用提公因式法分解因式，進而得到兩個一元一次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，解得；（2）解：∵，∴，∴或，解得．18．（24-25九年級上·江蘇淮安·期中）如圖，在中，弦，相交于點，．求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查圓心角、弧、弦的關系，理解在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等是解題關鍵，證明即可證明結論．【詳解】證明：，，，．19．（25-26九年級上·江蘇無錫·課后作業(yè)）如圖是一段彎形管道，其中，，中心線的兩條圓弧半徑都為．求圖中管道的展直長度（?。敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了弧長公式，熟記弧長公式是解題關鍵．根據圖中管道的展直長度等于與兩條圓弧的長度之和即可得．【詳解】解：由圖可知，，答：圖中管道的展直長度為．20．（2025·江蘇淮安·模擬預測）如圖，線段長為8，O是上一點，且，以O為圓心，為半徑作圓在的上方求作點P使得相切于．【答案】見解析【分析】本題考查了過圓外一點作圓的切線．以為直徑作圓，與在上方的交點即為所求點P．【詳解】解：如圖，點P即為所作．21．（24-25九年級上·江蘇連云港·期中）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；(2)若，是該方程的兩根，且滿足，求m的值．【答案】(1)見解析(2)或【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數之間的關系，正確理解題意是解題的關鍵：（1）根據根的判別式得出，再根據完全平方式轉化，進而可得出結論；（2）根據一元二次方程根與系數之間的關系得出，，再將其代入得出，求解即可【詳解】（1）證明：，故無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；（2）解：，，，，，，．故m的值為或．22．（24-25九年級上·江蘇泰州·階段練習）某店購進一批單價16元的商品，一段時間后，發(fā)現(xiàn)若按20元/件銷售時，每月能賣360件；若按每件25元銷售時，每月能賣210件，若每月銷售件數（件）與單價（元/件）存在(1)確定值；(2)為使每月獲利為1920元，商品應定價為每件多少元？【答案】(1)，(2)24元【分析】本題考查的是待定系數法求函數解析式，一元二次方程的應用，正確列出一元二次方程是解決本題的關鍵．（1）利用待定系數法求解即可；（2）寫出利潤與售價x的函數關系式，當利潤是1920元時，就得到關于x的方程，從而求解．【詳解】（1）解：每月銷售件數y（件）與價格x（元/件）滿足關系式為，∴根據題意得：，解得；（2）解：根據解析（1）可知：每月銷售件數y（件）與價格x（元/件）滿足關系式為：，∵每月獲利為1920元，∴，解得：．答：為了獲得1920元的利潤，商品價格每件應定為24元．23．（2025·江蘇南通·模擬預測）如圖，中，與相切于點D．(1)求圖中陰影部分的面積；(2)設上有一動點P，連接．當的長最大時，求的長．【答案】(1)陰影部分的面積(2)【分析】本題考查了切線的性質，勾股定理的逆定理，扇形的面積公式等知識，（1）連接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切線的性質得出，利用等面積法求出，然后利用求解即可；（2）延長交于P，連接，則的長最大，然后在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：連接，，，，，，與相切于點，，，；（2）解：延長交于P，連接，此時的長最大，，，，，．24．（25-26九年級上·江蘇常州·階段練習）學校為了讓學生觀察植物的生長習性．打算在校區(qū)建立一個如圖所示的實驗田（矩形），該實驗田兩面靠墻（位置的墻最大可用27米，位置的墻最大可用15米），另外兩邊用柵欄圍成，中間也用柵欄隔開，分成兩個場地及一個1米寬的通道，兩個場地分別留出一個1米寬的門（不用柵欄），建成后柵欄總長為45米，設實驗田的長為米．(1)的長為________米（用含的式子表示）；(2)若實驗田（矩形）的面積為180平方米，求的值；(3)通過計算說明該實驗田的面積能否為240平方米．【答案】(1)(2)10(3)不能【分析】本題考查了列代數式、一元二次方程的應用，找準等量關系，正確建立方程是解題關鍵．（1）根據題意列出，計算整式的加減即可得；（2）根據題意建立方程，解方程求出的值，再根據位置的墻最大可用27米，位置的墻最大可用15米即可得；（3）根據題意建立方程，利用一元二次方程根的判別式求解即可得．【詳解】（1）解：由題意得：（米），故答案為：．（2）解：由題意得：，整理得：，解得或，當時，，不符合題意，舍去；當時，，符合題意；答：的值為10．（3）解：假設該實驗田的面積能為240平方米，則，整理得：，這個方程根的判別式為，方程沒有實數根，假設不成立，答：該實驗田的面積不能為240平方米．25．（24-25九年級上·江蘇鹽城·期中）如圖1所示，的外接圓的半徑為2，，P為圓O中弧上一點，連接，，．(1)若，求證：；(2)如圖2，若，若關于直線的對稱圖形為，連接，試探究，，三者之間滿足的數量關系，并證明你的結論．【答案】(1)證明見解析(2)，證明見解析【分析】（1）在上截取，連接，先證出是等邊三角形，再證出，根據全等三角形的性質可得，由此即可得；（2）過點作，且，連接，，利用勾股定理可得，再證出，根據全等三角形的性質可得，證出，然后利用勾股定理可得，由此即可得．【詳解】（1）證明：如圖，在上截取，連接，∵，，∴是等邊三角形，∴，，由圓周角定理得：，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴．（2）解：，證明如下：如圖，過點作，且，連接，，∵，且，∴，，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，由圓周角定理得：，∵和關于直線的對稱，∴，∴，∴在中，，∴，即．【點睛】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質、勾股定理、軸對稱的性質、全等三角形的判定與性質等知識，通過作輔助線，構造全等三角形是解題關鍵．26．（25-26九年級上·江蘇南京·階段練習）在平面直角坐標系中，點，將繞點A逆時針旋轉得到．(1)畫出，并寫出點和點的坐標；(2)求點B在旋轉過程中運動的路徑長（結果保留）；(3)如果將扇形圍成一個圓錐，圓錐的底面圓的半徑是多少？【答案】(1)圖象見解析，(2)(3)【分析】本題考查圖形的旋轉：（1）畫出旋轉后的圖形，根據圖形可得旋轉