第05講橢圓(重點題型方法與技巧)目錄類型一：橢圓的定義及辨析類型二：橢圓的標準方程類型三：橢圓中的焦點三角形問題角度1：焦點三角形的邊長或周長問題角度2：焦點三角形的面積角度3：焦點三角形的其他問題類型四：橢圓上的點到焦點和定點距離的和、差最值類型五：與橢圓有關的軌跡問題類型六：橢圓的離心率問題角度1：求橢圓的離心率或離心率取值范圍角度2：由橢圓的離心率求參數(shù)的取值范圍類型七：橢圓上點到直線距離最值問題類型八：橢圓中的弦長問題角度1：求橢圓中的弦長角度2：根據(jù)弦長求參數(shù)類型九：橢圓中三角形（四邊形）面積問題角度1：定值問題角度2：最值問題類型十：橢圓中的中點弦問題角度1：點差法角度2：韋達定理法類型十一：橢圓中定點問題類型十二：橢圓中定值問題類型十三：橢圓中定直線問題類型十四：橢圓中向量問題類型一：橢圓的定義及辨析典型例題例題1．設P為橢圓上的點，，分別為橢圓的左、右焦點，且，則（

）A． B．2 C． D．3例題2．已知，是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6同類題型歸類練1．橢圓的焦點為，，與軸的一個交點為，若，則（

）A．1 B． C． D．22．若橢圓上一點到C的兩個焦點的距離之和為，則（

）A．1 B．3 C．6 D．1或3類型二：橢圓的標準方程典型例題例題1．已知橢圓的兩個焦點為，，是橢圓上一點，若，，則該橢圓的方程是（

）A． B． C． D．例題2．若橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為，則這個橢圓的方程為（

）A． B．或C． D．例題3．已知，是橢圓的兩個焦點，過且垂直于軸的直線交于，兩點，且，則橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．例題4．已知橢圓的焦點為，()，過點與軸垂直的直線交橢圓于第一象限的點，點關于坐標原點的對稱點為，且，，則此橢圓的標準方程為___________.同類題型歸類練1．焦點在軸上，長軸長為10，離心率為的橢圓的標準方程為（

）A． B．C． D．2．（多選）已知橢圓的長軸長為10，其焦點到中心的距離為4，則這個橢圓的標準方程可以為（

）A． B． C． D．3．以橢圓的兩個焦點和短軸的兩個頂點為四個頂點的橢圓的標準方程為______．類型三：橢圓中的焦點三角形問題角度1：焦點三角形的邊長或周長問題典型例題例題1．已知分別為橢圓的左右焦點，傾斜角為的直線經(jīng)過，且與橢圓交于兩點，則△的周長為___．例題2．已知橢圓：的左?右焦點分別為，，點在橢圓上，的周長為16，則___________.例題3．已知橢圓的右焦點為，上頂點為，是橢圓上一點，則的周長最大值為（

）A．14 B．16 C．18 D．20同類題型歸類練1．已知分別為橢圓的左右焦點，直線橢圓交于兩點，則△的周長為_________.2．已知橢圓的右焦點，是橢圓上任意一點，點，則的周長最大值為（

）A． B． C．14 D．角度2：焦點三角形的面積典型例題例題1．已知點在橢圓上，與分別為左、右焦點，若，則的面積為（

）A． B． C． D．例題2．設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且.則的面積為（

）A．6 B． C．8 D．例題3．已知橢圓，，為的左、右焦點，為上一點，且的內(nèi)切圓半徑為1，若的面積為，則的值為（

）A． B． C． D．3例題4．已知、為橢圓的左、右焦點，為上的點，則面積的最大值為（

）A． B．2 C． D．4同類題型歸類練1．（多選）雙曲線的左，右焦點分別為，，點P在C上.若是直角三角形，則的面積為（

）A． B． C．4 D．22．若橢圓的焦點分別為，，點P為橢圓上一點，且，則的面積為______．3．已知是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，且，則（

）A． B． C． D．角度3：焦點三角形的其他問題典型例題例題1．已知，是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，，點為坐標原點，則（

）A．1 B． C． D．例題2．如圖，己知,是橢圓的焦點，，為橢圓上兩點，滿足，且，則的余弦值為___________.同類題型歸類練1．已知橢圓的焦點為、，點在橢圓上，若，則________，的大小為________.類型四：橢圓上的點到焦點和定點距離的和、差最值典型例題例題1．已知是橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，點坐標為，則的最大值為（

）A． B．13 C．3 D．5例題2．已知點，且是橢圓的左焦點，是橢圓上任意一點，則的最小值是（

）A．6 B．5 C．4 D．3例題3．已知橢圓，是橢圓的左焦點，是橢圓上一點，若橢圓內(nèi)一點，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．例題4．已知為橢圓的左焦點，是其內(nèi)一點，為橢圓上的動點，則的最大值為__，最小值為__.同類題型歸類練1．已知橢圓的右焦點為，為橢圓上一動點，定點，則的最小值為（

）A．1 B．－1 C． D．2．已知是橢圓的左焦點，P是此橢圓上的動點，是一定點，則的最大值為______．3．已知點，是橢圓內(nèi)的兩個點，M是橢圓上的動點，則的最大值為______．類型五：與橢圓有關的軌跡問題典型例題例題1．如果點在運動過程中，總滿足關系式，那么點的軌跡是______．例題2．已知動點與平面上兩定點，連線的斜率的積為定值－．則動點的軌跡方程為________例題3．如圖，兩個定圓和內(nèi)切，且半徑分別為，，動圓與外切且與內(nèi)切，那么動圓圓心的軌跡是什么？并說明理由．例題4．已知點，的坐標分別為，，直線，相交于點，且它們的斜率之積是，求點的軌跡方程．同類題型歸類練1．已知圓：和圓：，動圓同時與圓外切和圓內(nèi)切，則動圓的圓心的軌跡方程為________．2．一個動圓Q與圓外切，與圓內(nèi)切，試判斷圓心Q的軌跡，并說明理由．3．已知點M到定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，設點M的軌跡為曲線C，求曲線C的方程，并說明軌跡是什么圖形．4．設動點M到定點的距離與它到直線的距離之比為，求點M的軌跡方程．類型六：橢圓的離心率問題角度1：求橢圓的離心率或離心率取值范圍典型例題例題1．已知是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．例題2．設是橢圓：上任意一點，為的右焦點，的最小值為，則橢圓的離心率為_________．例題3．已知橢圓，分別為橢圓左右焦點，過作兩條互相平行的弦，分別與橢圓交于四點，若當兩條弦垂直于軸時，點所形成的平行四邊形面積最大，則橢圓離心率的取值范圍為______________.例題4．已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點，使得由點所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．同類題型歸類練1．設，為橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，，，，則橢圓的離心率_________.2．已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．3．設，同時為橢圓：與雙曲線：的左右焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，為坐標原點．若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知橢圓，對于C上的任意一點P，圓上均存在點M，N使得，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．角度2：由橢圓的離心率求參數(shù)的取值范圍典型例題例題1．已知橢圓()的離心率為，則等于()A．3 B．C． D．例題2．（多選）橢圓的離心率為，則的值為（

）．A． B． C． D．例題3．已知橢圓的離心率，則實數(shù)的取值范圍是_____．同類題型歸類練1．已知橢圓的離心率為，則的值為（

）A． B． C．或 D．或2.焦點在x軸上的橢圓的離心率為，則實數(shù)k的值為___________.3．橢圓（）的左、右焦點分別是，，斜率為1的直線l過左焦點，交C于A，B兩點，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓C的離心率的取值范圍為，則線段AB的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．類型七：橢圓上點到直線距離最值典型例題例題1．已知橢圓，直線，則橢圓上的點到直線距離的最大值為（

）A． B． C． D．例題2．橢圓上的點到直線：的距離的最小值為（

）A． B． C． D．例題3．已知點在橢圓上運動，則的最大值是_________；點到直線：的最小距離是________.同類題型歸類練1．設B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（

）A． B． C． D．22．已知點是橢圓上任一點，那點到直線：的距離的最小值為（

）A． B． C． D．角度1：求橢圓中的弦長典型例題例題1．一條過原點的直線與橢圓的一個交點為，則它被橢圓截得的弦長等于（

）A．3 B．6 C． D．例題2．橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓經(jīng)過點且長軸長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，求弦長.例題3．已知橢圓的中心在原點，焦點為，，且長軸長為4.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于A，兩點，求弦長.例題4．已知橢圓：（其中）的離心率為，左右焦點分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)過點作斜率為的直線與橢圓交于不同的，兩點，過原點作的垂線，垂足為.若點恰好是與的中點，求線段的長度.同類題型歸類練1．已知為橢圓上任意一點，為左?右焦點，為中點.如圖所示：若，離心率.(1)求橢圓的標準方程；(2)已知直線經(jīng)過且斜率為與橢圓交于兩點，求弦長的值.2．已知橢圓：的離心率為，為過橢圓右焦點的一條弦，且長度的最小值為2．(1)求橢圓的方程．(2)若斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，點，直線的斜率為，求線段的長度．角度2：根據(jù)弦長求參數(shù)典型例題例題1．已知斜率為2的直線l與橢圓交于、兩點且，求直線的方程．例題2．橢圓的方程為，右焦點為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與圓相切，與橢圓交于兩點，且，求直線的方程．例題3．已知橢圓經(jīng)過點和點.(1)求橢圓的標準方程；(2)設圓，直線l與圓C相切于，與橢圓交于，兩點，且，求直線的方程.例題4．已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程；(2)已知直線與橢圓交于，兩點，點是線段的中點，直線過點，且與直線垂直.記直線與軸的交點為，是否存在非零實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.例題5．已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為，若，求直線的方程．同類題型歸類練1．已知橢圓（）的兩焦點為和，過的直線與橢圓C交于A，B兩點，且的周長為8.(1)求橢圓C的方程；(2)若的面積為，求直線的方程.2．已知橢圓：的離心率為且經(jīng)過點1)，直線經(jīng)過且與橢圓相交于兩點．(1)求橢圓的標準方程；(2)當求此時直線的方程；3．已知橢圓的離心率為，上頂點為．(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，且，求的值．4．橢圓C：的左右焦點分別為，，P為橢圓C上一點.(1)當P為橢圓C的上頂點時，求的余弦值；(2)直線與橢圓C交于A，B，若，求k.類型九：橢圓中三角形（四邊形）面積問題定值（最值）問題典型例題例題1．已知橢圓的焦點為、，為橢圓上的一點，若，則的面積為（

）A．3 B．9 C． D．例題2．橢圓的左右焦點分別為、，為橢圓上一點，且，則的面積為_____________.例題3．已知直線：與軸，軸分別交于點，，點在橢圓上運動，則面積的最大值為A．6 B． C． D．例題4．已知橢圓的中心在原點，焦點，且經(jīng)過點．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上有一點，另一焦點，求的面積的最大值．例題5．已知動點到定點和的距離之和為4(1)求動點軌跡的方程；(2)若直線交橢圓于兩個不同的點，，是坐標原點，求的面積例題6．點是曲線上任一點，已知曲線在點處的切線方程為．如圖，點是橢圓上的動點，過點作橢圓的切線交圓于點、，過、作圓的切線交于點．(1)求點的軌跡方程；(2)求面積的最大值．例題7．已知橢圓：的長軸長為4，左、右頂點分別為，，經(jīng)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，（不與點，重合）．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)求四邊形面積的最大值；同類題型歸類練1．已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，橢圓上一點P滿足|OP|＝3，則△F1PF2的面積為________．2．已知曲線過點和．(1)求曲線C的方程，并指出曲線類型；(2)若直線2x－y－2＝0與曲線C的兩個交點為A，B，求△OAB的面積（其中O是坐標原點）．3．已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，左焦點為.(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓的右焦點，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，求的面積.4．橢圓的左右焦點分別為，，焦距為，為原點.橢圓上任意一點到，距離之和為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的斜率為2的直線交橢圓于?兩點，求的面積.5．已知：橢圓，直線，直線與橢圓相交于兩點.(1)若的中點的橫坐標為1，求的值；(2)求面積的最大值.6．已知①如圖，長為，寬為的矩形，以?為焦點的橢圓恰好過兩點②設圓的圓心為，直線過點，且與軸不重合，直線交圓于兩點，過點作的平行線交于，判斷點的軌跡是否橢圓（1）在①②兩個條件中任選一個條件，求橢圓的標準方程；（2）根據(jù)（1）所得橢圓的標準方程，若直線與橢圓相交于?兩點，求的最值.7．已知橢圓的左，右焦點分別為且經(jīng)過點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點，求面積的最大值（O為坐標原點）類型十：橢圓中的中點弦問題角度1：點差法典型例題例題1．（斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，且過的左焦點，線段的中點為，的右焦點為，則的周長為______.例題2．已知橢圓：的左?右焦點分別為，，離心率為，過點的直線交橢圓于兩點，的中點坐標為.求橢圓的標準方程；例題3．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，短軸頂點分別為、，四邊形的面積為32.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線交橢圓于，兩點，若的中點坐標為，求直線的方程.例題4．已知橢圓的焦點，，是橢圓上一點，且滿足，(1)求橢圓的標準方程.(2)若直線與橢圓相交于，兩點，且的中點為，求直線的方程.例題5．已知橢圓：的左，右焦點分別為，，點在上，且．(1)求的標準方程；(2)若直線與交于，兩點，且中點為，求直線的方程．同類題型歸類練1．已知橢圓：（）過點，直線：與橢圓交于兩點，且線段的中點為，為坐標原點，直線的斜率為，求橢圓的標準方程；2．已知橢圓C：），O為坐標原點，若直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，直線l與直線OM的斜率乘積為．(1)求橢圓C的離心率；3．橢圓，A，B為其左右頂點，G點坐標為，c為橢圓的半焦距，且有，橢圓E的離心率.(1)求橢圓E的標準方程；(2)已知O為坐標原點，M，N為橢圓上不重合兩點，且M，N的中點H在直線上，求面積的最大值.4．已知橢圓C：的左?右焦點分別為，，離心率為，短軸頂點分別為M，N，四邊形的面積為32.(1)求橢圓C的標準方程；(2)直線l交橢圓C于A，B兩點，若AB的中點坐標為，求直線l的方程.角度2：韋達定理法典型例題例題1．已知橢圓()與直線交于、兩點，，且中點的坐標為，則此橢圓的方程為________．同類題型歸類練1．已知橢圓與直線交于A、B兩點，，且AB的中點的坐標為，求此橢圓的方程．類型十一：橢圓中定點問題典型例題例題1．已知橢圓的一個頂點為，離心率為.(1)求橢圓的方程(2)過橢圓右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點，，與軸交于點，線段的中點為，直線過點且垂直于（其中為原點），證明直線過定點.例題2．設橢圓過兩點，O為坐標原點(1)求橢圓的方程;(2)設的右頂點為，若直線與橢圓交于，兩點(，不是左右頂點)且滿足，證明:直線過定點，并求該定點坐標.同類題型歸類練1．已知橢圓的離心率，上頂點是，左?右焦點分別是，，若橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）點和是橢圓上的兩個動點，點，，不共線，直線和的斜率分別是和，若，求證直線經(jīng)過定點，并求出該定點的坐標.2．已知橢圓：的短軸長為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）求過橢圓的右焦點且傾斜角為135°的直線，被橢圓截得的弦長；（3）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．類型十二：橢圓中定值問題典型例題例題1．在平面直角坐標系中，動點到點的距離和它到直線的距離之比為.動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程，